专题3.8整式 分层练习（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题3.8 整式（分层练习）
一、单选题
1．下列各式：，其中单项式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于多项式的说法中，错误的是（ ）
A．该多项式是二次三项式 B．该多项式的最高次项的系数是1
C．该多项式的一次项系数是3 D．该多项式的常数项是2
4．当（ ）时，多项式中不含项．
A．1 B．2 C．3 D．
5．观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2022个单项式是（ ）
A． B． C． D．
6．单项式的系数、次数分别为（ ）
A．4和4 B．4和3 C．和3 D．和4
7．按一定规律排列的单项式：2x，-3x2，4x3，-5x4，6x5，-7x6，…第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中正确的是（　　）
A．是整式
B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣4x3y3+2x2+xy﹣y2
C．2x是一次单项式
D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是3
9．如图是小明完成的作业，则他做对的题数是（ ）
填空题． ①1的相反数是． ②的次数是 2 ． ③精确到是． ④多项式的常数项是1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列说法正确的有（　　）个．
①在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数；
②在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂；
③代数式，不符合代数式的书写要求；
④m是单项式，它既没有系数，也没有次数．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．下列代数式中，次数是3的单项式是（　　）
A． B． C． D．
12．按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
13．在代数式；;，中，下列判断正确的是（ ）
A．是单项式 B．是二次三项式 C．是多项式 D．是整式
14．关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　）
①当是关于x的三次三项式时，则；
②当中不含x3时，则；
③当时，；当时，，则，；
④；
⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
15．已知多项式（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或4 D．或4
二、填空题
16．单项式的系数是 ．
17．多项式的次数是 ，常数项是 ．
18．按规律排列的单项式：，，，，，…则第16个单项式是 ．
19．已知是一个5次单项式，则式子3m2-6m+1的值是 ．
20．如果多项式不含和项，则 ．
21．已知单项式与的和仍是单项式，则 .
22．写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ．
23．当 时，多项式中不含xy项．
24．下列说法正确的是 （填写序号）
①0是单项式； ②若的次数是5，则；
③是单项式，它的系数是2，次数是7；
④单项式的系数是； ⑤单项式的次数是2；
⑥多项式的一次项是x；
⑦多项式按y升幂排列是．
25．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（1）每千克苹果8元，则千克苹果 元；
（2）王明同学买2本练习册花了元，则买本练习册要花 元．
26．已知、是正整数，是含有字母和的五次单项式，则的最大值为 ．
27．观察下面的一列单项式：，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ，第个单项式为 ．
28．单项式的系数是m，多项式的次数是n，则的值为 ．
29．若关于x的多项式与多项式的次数相同，且m、n互为相反数，则的值为 ．
30．已知关于的多项式与多项式的和不含项，则的值为 ．
三、解答题
31．把下列代数式分别填在相应的括号内．
2－ab，－3a2＋，－ ，－4，－a，，－2a2＋3a＋1，，πa＋1， .
①单项式：{ }.
②多项式：{ }.
③二次二项式：{ }.
④整式：{ }.
32．如图， 在宽为米，长为米的长方形地面上，修筑宽度为米的两条互相垂直的小路，余下的部分作为草地，现给两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是每平米元．
（1）买地砖需要多少元 (用含的式子表示)；
（2）当时，计算地砖的费用．
33．（1）已知代数式的值为9，求代数式的值；
（2）如果关于字母x的多项式是五次三项式，分别求m、n的值．
34．用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
（1）每包书有12册，n包书有______册；
（2）底边长为，高为的三角形的面积是______；
（3）棱长为的正方体的体积是______．
（4）一台电视机原价b元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价是______元；
（5）一个长方形的长是，宽是，这个长方形的面积是______．
35．已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数．
（1）求m的值．
（2）求．
36．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
①；②；③．
(2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值；
(3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：所给式子中，是单项式，有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
2．A
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意；
B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意；
C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意；
D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义．
3．D
【分析】根据多项式的定义逐项判断．
【详解】解：多项式，
该多项式是二次三项式，故选项A正确；
该多项式的最高次项的系数是1，选项B正确；
该多项式的一次项系数是3，选项C正确；
该多项式的常数项是，选项D错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了多项式的定义，熟练掌握多项式的定义及各项的意义是解题的关键．
4．C
【分析】不含有xy项，说明整理后其xy项的系数为0．
【详解】解：整理含xy的项得：（k-3）xy，
∴k-3=0，k=3．
故答案为C．
【点睛】本题考查多项式的概念．不含某项，说明整理后的这项的系数之和为0．
5．C
【分析】找出系数和次数的规律，然后写出第n个单项式即可．
【详解】解：根据题意可得：
系数依次为连续的奇数，次数依次为连续的正整数，
则第n个单项式为：，
当时，，
故选：C．
【点睛】此题考查单项式问题，分别找出单项式的系数和指数的规律是解决此类问题的关键．
6．D
【分析】由单项式的系数，次数的概念，即可选择．
【详解】解：单项式的系数是，次数是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
7．D
【分析】通过观察题意可得：奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且系数的绝对值是从2开始的连续整数，次数是连续整数，由此可解出本题．
【详解】解：第1个单项式是2x=（-1）1+1（1+1）x1，
第2个单项式是-3x2=（-1）2+1（1+2）x2，
第3个单项式是4x3=（-1）3+1（1+3）x3，
，
第n个单项式是（-1）n+1（n+1）xn．
故选：D．
【点睛】本题考查单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
8．C
【分析】根据整式的定义即可判断选项A，先按x的指数从小到大的顺序排列，再判断选项B即可，根据单项式的定义和单项式的次数定义即可判断选项C，根据单项式的系数和次数的定义即可判断选项D．
【详解】解：A．分母中含有字母，是分式，不是整式，故不符合题意；
B．多项式2x2﹣y2+xy﹣4x3y3按字母x升幂排列为﹣y2+xy+2x2﹣4x3y3，故不符合题意；
C．2x是一次单项式，故符合题意；
D．a3b+2a2b﹣3ab的二次项系数是﹣3，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了整式，单项式的系数和次数,多项式的升幂排列等知识．解题的关键在于熟练掌握整式、单项式的定义，多项式的升幂排列．
9．B
【分析】根据相反数的含义可判断A，根据多项式的次数可判断B，根据近似数的含义可判断C，根据多项式的项的含义可判断D，从而可得答案．
【详解】解：1的相反数是，故①符合题意，
的次数是3，故②不符合题意，
精确到是，故③符合题意；
多项式的常数项是，故④不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是近似数的精确度问题，相反数的含义，多项式的项与次数的含义，熟记基础概念是解本题的关键．
10．B
【分析】根据相反数的定义，乘方的定义，代数式的书写要求，单项式的相关定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：①在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，原说法正确；
②在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂，原说法正确；
③代数式，不符合代数式的书写要求，正确的书写是，原说法错误；
④m是单项式，它的系数是1，次数也是1，原说法错误，
说法正确的有①②，共2个，
故选B．
【点睛】本题考查了相反数，乘方，代数式，单项式的相关知识，熟练掌握相关定义是解题关键．
11．C
【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
是4次单项式，故A不符合题意；
是4次单项式，故B不符合题意；
是3次单项式，故C,符合题意；
是3次2项式，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数．
12．C
【分析】根据所给的式子，分别找出分式的分母和分子的规律，从而求出第n个单项式.
【详解】解：，，，，
第n个单项式是.
故选：C.
【点睛】本题考查的是探索数字规律，解题的关键要利用已知式子找出所存在的规律.
13．D
【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解题即可．
【详解】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式；
选项A、B、C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式、单项式以及整式的概念，解题时牢记概念是关键．
14．D
【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤．
【详解】解：＝
＝，
∵是关于x的三次三项式，，
∴，
解得，故①正确；
＝，
∵中不含，
∴，
∴，故②正确；
∵时，；当时，，
∴，
解得，，故③正确；
在中，令得：
，
∴，故④正确；
在中，令得：
，
∵，
∴，故⑤正确，
∴正确的有①②③④⑤，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．
15．C
【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，或，，
当，时，；
当，时，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
16．##
【分析】利用单项式系数定义可得答案．
【详解】解：单项式的系数是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了单项式的系数，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
17． 五##5
【分析】多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项．由此即可求解．
【详解】解：中，项的次数是次，项的次数是次，
∴多项式的次数是五次，
∵不含字母的项式，
∴常数项是，
故答案为：五，．
【点睛】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的次数和常数项的定义是解题的关键．
18．
【分析】由题意可得第n个单项式是，当时代入即可求解．
【详解】解：∵，，，，，…，
∴第n个单项式是，
∴第16个单项式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给的单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．
19．1
【分析】根据单项式的次数的定义求得m的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵是一个5次单项式，
∴2+m+1=5，解得：m=2
∴3m2-6m+1=3×22-6×2+1=12-12+1=1
故答案为：1
【点睛】本题主要考查单项式次数的概念和求代数式的值，理解相关概念正确计算是解题的关键．
20．-3
【分析】根据题意得出和项的系数为0，即，，解方程求出a和b的值，代入即可求出的值．
【详解】∵不含和项，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了多项式的知识点，解题的关键是多项式不含有的项的系数为零．
21．1
【分析】它们的和为单项式，说明为同类项，根据同类项定义，求出x，y；即可完成解答.
【详解】解：由与的和仍是单项式，即它们是同类项
则有：解得：
所以x+y=1，故答案为1.
【点睛】本题考查了同类项的定义和代数式求值，其关键是灵活应用同类项的定义求得x、y的值.
22．（答案不唯一）
【分析】根据题目要求写出这个单项式即可，答案不唯一．
【详解】根据题意可得：
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了单项式的概念，解题的关键是熟悉单项式的概念．
23．5
【分析】先合并同类项，然后使xy的项的系数为0，即可得出答案．
【详解】解：=，
∵多项式不含项，
解得：
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．
24．①②⑦
【分析】根据单项式的定义，单项式的系数，次数概念可判断①②③④⑤是否正确，根据多项式的定义，多项式的项，次数，系数的概念可以判断⑥⑦是否正确，最后写出正确的答案．
【详解】解：一个数也是单项式，所以①正确；
单项式的次数是未知数的次数和，所以，，②正确；
是单项式，它的系数是，次数是4，所以③错误；
单项式的系数是，所以④错误；
单项式的次数是3，所以⑤错误；
多项式的一次项是，所以⑥错误；
多项式按y升幂排列是，所以⑦正确．
故答案为：①②⑦
【点睛】本题考查了单项式和多项式的概念，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．
25．
【分析】（1）先利用每千克苹果8元乘以x千克苹果列出代数式，再指出它们的系数与次数即可；
（2）先求出练习本单价再乘以买的本书列代数式，再指出它们的系数与次数即可．
【详解】解：（1）每千克苹果8元，则x千克苹果元，的系数是8，次数是1；
故答案；
（2）因为买2本练习册花n元，所以买1本练习册花元，买m本练习册要花元，的系数是．次数是2．
故答案．
【单价】本题考查列代数式，确定单项式的系数与次数，掌握单项式定义，列代数式的书写规则是解题关键．
26．6
【分析】根据单项式的次数的概念可得，结合、是正整数可确定、的四种可能结果，然后分别代入求解即可获得答案．
【详解】解：∵是含有字母和的五次单项式，
∴，
又∵、是正整数，
∴或或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴的最大值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数、代数式求值等知识，理解并掌握单项式的相关概念是解题关键．
27．
【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式的系数为负，为偶数时，系数为正；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是指数的规律：第个对应的指数是，进而解答即可．
【详解】解：由系数及字母两部分分析的规律：
①系数：，得系数规律为，
②字母及其指数：，得到字母规律为，
综合起来规律为，
第个单项式是，第个单项式为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
28．3
【分析】直接利用多项式的次数以及单项式的次数确定方法分别得出，的值进而得出答案．
【详解】解：单项式的系数是，
，
多项式的次数是，
，
则．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多项式和单项式，正确把握相关定义是解题关键．
29．或或或
【分析】分和两种情况讨论，根据多项式的定义求得b的值，再利用互为相反数的定义即可求解．
【详解】当时，依题意得：，
解得：或，
当时，依题意得：，
解得：或，
∵m、n互为相反数，
∴，
∴，
∴的值为：或或或．
【点睛】本题考查了整式，解题的关键是正确理解多项式的概念，难点是分类讨论．
30．
【分析】将两个多项式相加，得出项的系数，令其为0，即可得出答案．
【详解】解：
∵多项式与多项式的和不含项，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是整式的加减运算和多项式的项，解题的关键是通过计算得出xy项的系数．
31．详见解析.
【分析】根据单项式是数与字母的积，多项式是几个单项式的和，多项式中的每个单项式是多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式与多项式统称整式，可得答案．
【详解】(1)单项式：{－，－4，－a…}；
(2)多项式：{2－ab，－3＋，－2＋3a＋1，，πa＋1，…}；
(3)二次二项式：{2－ab，－3＋，…}；
(4)整式：{2－ab，－3＋，－，－4，－a，－2＋3a＋1，，πa＋1，…}．
【点睛】本题考查整式、 单项式、 多项式.
32．（1）；（2）11250元
【分析】（1）根据图形的特点表示出地砖的面积，即可求解；
（2）把，代入（1）中的代数式即可求解.
【详解】解:依题意, 地砖的面积为,
所以买地砖至少需要元
当时，
.
所以当时,地砖的费用是元.
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据图形的特点表示出地砖的面积.
33．（1）6；（2）
【分析】（1）已知的值为9，则可变形求出，代入求值的代数式计算即可；
（2）根据五次三项式的概念可知，解出m和n即可．
【详解】解：（1）
（2）∵关于字母x的多项式是五次三项式，
【点睛】本题考查了代数式求值以及多项式的相关概念，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式．
34．（1），它的系数是12，次数是1；（2），它的系数是，次数是2；（3），它的系数是1，次数是3；（4），它的系数是0.9，次数是1；（5），它的系数是0.9，次数是1．
【分析】（1）总册数等于12乘以书包的个数即可列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；
（2）根据三角形面积计算公式列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；
（3）根据正方体的体积等于棱长的立方列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；
（4）根据售价等于原价乘以0.9列式，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数；
（5）根据长方形面积等于长×宽列式，，然后根据单项式的系数和次数的定义得出系数和次数．
【详解】解：（1），它的系数是12，次数是1；
（2），它的系数是，次数是2；
（3），它的系数是1，次数是3；
（4），它的系数是0.9，次数是1；
（5），它的系数是0.9，次数是1．
【点睛】本题考查了列代数式和单项式的相关定义．注意：表示数与字母的积的代数式叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式），单项式中的数字因数，叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的指数．
35．（1）；（2）
【分析】（1）是关于x、y的三次二项式，可得出m的值；
（2）根据相反数的定义可知，倒数的定义可知，从而得出答案．
【详解】解：（1）∵是关于x、y的三次二项式，
∴，，
∴；
（2）∵a、b互为相反数，，c、d互为倒数，
∴，，
∴原式＝．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值，熟练掌握相关概念是解本题的关键．
36．(1)①③
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据“青一多项式”的定义进行解答即可；
（2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可；
（3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴属于青一多项式”；
∵（为整数），
∴不属于青一多项式”；
∵，
∴属于青一多项式”；
故属于“青一多项式”的是①③，
故答案为：①③．
（2）∵关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，
∴，即，
∵均为正整数，
∴也为正整数，
当时，则，即，则；
当时，则，即，则；
综上：的值为；
（3）是，理由如下：
∵项式是关于x，y的“青一多项式”，
∴（为整数），
∴，
∴，
∴是的整数倍，
∴多项式也是关于x，y的“青一多项式”．
【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页