专题3.10整式的加减 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题3.10 整式的加减（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】同类项
1．定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，所有的常数项都是同类项．
2．判断同类项的方法
（1）同类项必须满足两个相同：一是所含字母；二是相同字母的指数也相同，两者缺一不 可，
（2）是不是同类项与两个“无关”：一是与系数无关；二是与字母所排的顺序无关．如5mn与-nm是同类项．
特别说明：
同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式
【知识点2】合并同类项
1．合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项．
2．合并同类项的法则：合并同类项时，把系数相加，字母和字母的指数不变．
3．合并同类项的一般步骤：
（1）找出同类项，通常在同类项下面做出相同的标记；
（2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；
（3）利用合并同类项法则合并同类项；
（4）写出合并同类项的结果．
特别说明：合并同类项法则可以简记成“一相加，两不变”，其中“一相加”是指将同类项系数相加，“两不变”是指字母连同其指数不变．
【知识点3】去括号法则
（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
（2）括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．简言之：括号前“-”变而“+”不变．
2．去括号时的注意事项
（1）去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉；
（2）需要变号时，括号里的各项都变号；不需要变号时，括号里的各项都不变号．
特别说明：1．去括号是一种恒等变形，去括号时一定要保证其值不变，也就是“形变而值不变”；2．去括号实质上是乘法分配律，去括号时暨要注意符号，还要注意符号的变化．
【知识点4】整式的加减
1．整式加减的运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项．
2．整式化简求值的步骤
一化：利用整式加减的运算法则将整式化简；
二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子；
三算：依据有理数的运算法则进行计算．
特别说明：整式的加减结果要最简：（1）不能有同类项；（2）含有字母的项的系数不能出现带分数，带分数要化为假分数；（3）一般不含括号．
【考点一】同类项的判断
【例1】
1．下列各组中的两项是不是同类项 为什么
(1)与
(2)与
(3)与.
(4)与
(5)与
(6)与
【变式1】
2．下列各组单项式中，不是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2】
3．若与的和为单项式，则 ．
【考点二】同类项 指数中的字母★★代数式的值
【例2】
4．已知代数式与是同类项，求代数式的值．
【变式1】
5．已知关于，的整式与的和为单项式，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【变式2】
6．已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则的值有 个．
【考点三】合并同类项
【例3】
7．合并同类项：
(1)；
(2)；
【变式1】
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】
9．若，则 ．
【考点四】去括号
【例4】
10．化简：
(1)；
(2)．
【变式1】
11．下列式子中去括号错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】
12．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．
【考点五】添括号
【例5】
13．下面是小明计算的过程，请你认真观察，回答问题．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
(1)第一步和第三步的依据分别是________、________．
(2)你认为小明的计算是否正确？如果错误，请指出是哪一步错了，并直接写出正确的结果．如果正确，不用作任何解释．
【变式1】
14．已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式2】
15．已知，，则 ．
【考点六】整式加减
【例6】
16．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【变式1】
17．计算：．
【变式2】
18．已知有理数，，在数轴上对应点的位置如图；

(1)______0，______，______．（填“”或“”）
(2)化简：
【考点七】整式加减的应用
【例7】
19．一块地共有亩，其中有亩种粮食，种蔬菜的地的面积是种粮食的地的面积的，剩下的地种树苗，则种树苗的地有多少亩．
【变式1】
20．小丽放学回家后准备完成下面的题目：
化简，发现系数“△”印刷不消楚
(1)她把“△”猜成5，请你化简
(2)她妈妈说：你猜错了．我看到该题的答案是4.通过计算说明原题中“△”是几？
【变式2】
21．在一次课外兴趣活动中，有一半的学生学数学，四分之一的学生学音乐，七分之一的学生学英语，还有部分人在操场上踢球．
(1)若学数学的学生有人，学音乐的人数为____________；（用含的代数式表示）
(2)若参加这次课外兴趣活动共有人，求在操场上踢球的人数．（用含的代数式表示）
【考点八】整式加减中的化简求值
【例8】
22．已知关于、的整式，其中、满足与互为相反数．
(1)求的值．
(2)化简整式，并求整式的值．
【变式1】
23．先化简，再求值：，其中x，y满足．
【变式2】
24．先化简，再求值：，其中．
【考点九】整式加减中的无关型问题
【例8】
25．已知，．
(1)计算：．
(2)若的值与的取值无关，求的值．
【变式1】
26．已知代数式的值与字母的取值无关．
(1)求出、的值．
(2)若，，求的值．
【变式2】
27．多项式中不含项，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)不是同类项，理由见分析
(2)不是同类项，理由见分析
(3)是同类项，理由见分析
(4)是同类项，理由见分析
(5)不是同类项，理由见分析
(6)是同类项，理由见分析
【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）．
【详解】（1）与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项.
（2）与中两项所含的字母不同，不是同类项.
（3）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（4）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（5）与中两项不含相同字母，不是同类项.
（6）与中两项是常数项，是同类项
【点睛】本题主要考点是同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，应当熟练掌握．
2．B
【分析】根据同类项的定义进行求解即可：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项．
【详解】解：A、与所含的字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，不符合题意；
B、与所含的字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，符合题意；
C、与所含的字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，不符合题意；
D、与所含的字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义．
3．
【分析】与的和为单项式，则与是同类项，根据同类项的定义确定和的值即可．
【详解】解：∵与的和为单项式，
∴与是同类项，
∵，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查同类项的概念，求代数式的值．解题的关键是掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：所含字母相同；相同字母的指数相同．
4．
【分析】由同类项的含义可得，，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是同类项的含义，求解代数式的值，理解同类项的含义是解本题的关键．
5．A
【分析】此题分两种情况进行讨论，当合并结果为的同类项时，则；当合并结果为的同类项时，则，根据算式分别求出即可．
【详解】解：∵与的和为单项式，
∴当合并结果为的同类项时，则，
得．
∴．
当合并结果为的同类项时，则，
得．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是根据已知求出a、b的值．
6．3
【分析】代数式化简之后为单项式，代数式能进行合并，根据同类项的概念即可求解．
【详解】若与为同类项，且系数互为相反数，
∴，
∴或
∴或
若与为同类项，且系数互为相反数，
∴，
∴或
∴或
综上所述：的值有3个，
故答案为：3
【点睛】本题考查同类项的概念，解题的关键是能够进行分情况讨论．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，去括号，熟知相关计算法则是解题的关键．
8．D
【分析】根据合并同类项法则逐项计算判定即可．
【详解】解：A、没有同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、没有同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减运算，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
9．
【分析】先把已知条件式左边合并同类项得到，进而求出，然后把整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，合并同类项，正确求出是解题的关键．
10．(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号和合并同类项法则．
11．D
【分析】根据去括号和添括号法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式去括号正确，不符合题意；
B、，原式去括号正确，不符合题意；
C、，原式去括号正确，不符合题意；
D、，原式去括号错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了去括号计算法则，熟知相关计算法则是解题的关键：去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
12．
【分析】根据数轴的特点确定的符号，大小，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数轴与绝对值的综合，掌握数轴上数的特点，绝对值的性质是解题的关键．
13．(1)乘法分配律；加法交换律
(2)不正确，第四步错误， 正确结果为
【分析】（1）根据前两步的步骤直接可以写出依据；
（2）第四步合并同类项错了．
【详解】（1）解：前两步的依据分别是乘法分配律，去括号法则；
故答案为：乘法分配律；去括号法则．
（2）小明的计算不正确，第四步错了，
正确答案为：
原式
．
【点睛】本题考查了整式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．D
【分析】根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
15．3
【分析】把化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
16．（1）．（2），
【分析】（1）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简；
（2）根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查的是整式的加减－化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
17．
【分析】根据整式的加减运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查整式的加减运算，正确计算是解题的关键．
18．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据数轴上点的位置可得，，进而根据有理数的加减运算法则，判断式子的符号即可求解；
（2）根据（1）的结论，化简绝对值，然后根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据数轴上点的位置可得，，
∴，，，
故答案为：，，．
（2）解：∵，，，
∴
．
【点睛】本题考查了根据数轴上的点位置判断式子的符号，整式的加减，数形结合是解题的关键．
19．种树苗的地有亩
【分析】根据题意直接列式，再根据整式的加减混合运算法则计算即可．
【详解】根据题意有：
，
答：种树苗的地有亩．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，明确题意列出代数式，是解答本题的关键．
20．(1)
(2)3
【分析】（1）原式去括号，合并同类项即可；
（2）设“△”为，将看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为4，可知二次项的系数为0，据此求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设“△”为，
即有：
化简的结果为4，
的结果与二次项无关，即二次项的系数为0，
，即，
答：“△”是3．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，整式的加减实质就是去括号、合并同类项，一般步骤是：先去括号，再合并同类项．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先用含n的式子表示参加这次课外兴趣活动的人数，再根据有四分之一的学生学音乐即可求解；
（2）用参加这次课外兴趣活动的人数减去学数学、学音乐和学英语的人数即可求解．
【详解】（1）解：∵有一半的学生学数学，学数学的学生有人，
∴参加这次课外兴趣活动的一共有人，
∵有四分之一的学生学音乐，
∴学音乐的人数为，
故答案为：；
（2）解：参加这次课外兴趣活动共有人，
则学数学的有人，学音乐的有，学英语的有，
∴在操场上踢球的人数为．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，根据题意列出代数式，掌握合并同类项法则是解题的关键．
22．(1)
(2)0
【分析】（1）根据非负数的性质以及相反数的性质可得，进而求得的值；
（2）先去括号，然后合并同类项，最后将代入即可求解．
【详解】（1）解： 与互为相反数，
，
又，，
，，；
（2）原式
，
又，
，
原式．
【点睛】本题考查了非负数的性质，相反数的性质，整式的加减与化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
23．，
【分析】先去括号，再合并同类项，根据绝对值和平方的非负性求出x、y的值，最后代入求解即可．
【详解】
．
∵，满足，
又∵，，
∴，，
∴，，
当，时，
原式.
【点睛】此题考查了整式化简求值，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性、通过整式加减运算化简．
24．，
【分析】先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）先代入，去括号，合并同类项，得到化简的结果；
（2）由，再结合的值与y的取值无关，，从而可得答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵．
又∵的值与y的取值无关，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是去括号，合并同类项，整式的加减运算中与某字母的值无关的含义，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键．
26．(1)，
(2)
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后根据代数式的值与字母的取值无关得出关于和的方程，求解即可．
（2）将化简，再将与所表示的多项式代入计算，最后再将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
代数式的值与字母的取值无关，
，，
，．
（2），，
，
，，
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
27．
【分析】先把合并同类项，再根据多项式中不含项，得关于m方程，求解得出m的值，然后把 合并同类项化简，最后代入计算即可．
【详解】解：∵
又∵多项式中不含项，
∴，
解得：．
∴
当时，．
∴的值为．
【点睛】本题考查合并同类项，整式的化简求值，熟练掌握合并同类项法则和对多项式中不含某一项的理解．
答案第1页，共2页
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