专题3.13探索与表达规律 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题3.13 探索与表达规律（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】探索规律的一般方法
（1）从具体的、实际的问题出发，观察各个事物的特点及相互之间的变化规律；
（2）由此及彼，合理联想，大胆猜想；
（3）善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点；
（4）总结规律，得出结论，并验证结论是否正确．
【知识点2】常见规律类问题
（1）对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分，数与算式的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律；
（2）探索图形变化的规律，要注意观察图形，分析图形特点及数量的关系，由特殊到一般，从不同的角度探索，最后用代数式表示出一般规律，不同代数式表达的结果可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的．
特别说明：
1．若是整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律；
2．若是等式，可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数或式子之间的关系，从而找出规律；
3．若是分数，可观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系．
【类型一】数字规律类型问题
【考点一】利用列举法探索规律
【例1】
1．仔细观察下列三组数：
第一组：1、4、9、16、25…
第二组：0、3、8、15、24…
第三组：0、6、16、30、48…
解答下列问题：
(1)每一个组的第7个数分别是______、______、______．
(2)分别写出第一组和第三组的第n个数：______、______．
(3)分别取每组数的第8个数，并计算它们的和．
【变式1】
2．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算规律如下，，，，…；利用以上规律计算 ．
【变式2】
3．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2022应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么的值是 ．

【考点二】利用周期探究法探索规律
【例2】
4．如图，每个格子中都是整数，若任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则从左边第一个格子开始向右数，第2021个格子中的数为 ．
2 2 3 …
【变式1】
5．当时，我们把称为x的“和1负倒数”．如：2的“和1负倒数”为，若，是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”…依次类推，则的值为（ ）．
A．1 B． C． D．
【变式2】
6．观察下列算式：；；；；；；；，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是 ．
【类型二】图形规律类型问题
【考点三】利用列举法探索规律
【例3】
7．用小棒按照如下方式摆图形．

摆第7个图形需要( )根小棒，摆第n个图形需要( )根小棒．
【变式1】
8．以下是2003年1月份的日历，如果用表示类似灰色矩形框中4个数字，试用等式写出之间的关系 ．

【变式2】
9．阅读材料：
多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线将多边形分割成若干个小三角形，如图①②③，图中给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2，3，4个小三角形．

请你按照上述方法对图①⑤⑥中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广至n边形．
【考点四】利用周期探究法探索规律
【例4】
10．用 表示实心圆，用〇表示空心圆，现有若干实心圆和空心圆按下列规律排列，
〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ，则前2008个圆中的实心圆有（　　）
A．1337 个 B．1338 个 C．1339 个 D．1340 个
【变式1】
11．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
【变式2】
12．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一个顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行起，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这利走法为一次“移位”，如：小明在编号为2的顶点比时，那么他应走2个边长，即从为第一次“移位“，这时他到达编号为4的顶点，接下来他应走4个边长后从4→5→1→2→3为第二次移位”若小明从编号1的顶点开始，第2022次“移位”后，则他所处顶点的编号为 ．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)49，48，96
(2)，
(3)253
【分析】（1）第一组是从1开始连续自然数的平方，第二组比第一组对应的数字少1，第三组数字是第二组对应数字的2倍；
（2）根据（1）中规律列式即可；
（3）求出每组的第8个数，再相加即可．
【详解】（1）解：每一个组的第7个数分别是49，48，96；
（2）第一组的第n个数为，
第三组的第n个数为；
（3）第一组的第8个数为64，
第二组的第8个数为63，
第三组的第8个数为126，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
2．
【分析】由，，，，…发现规律为，然后进行求解．
【详解】解：由，，，，…发现规律为，
由可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，掌握数字类规律求法基本步骤．
3．131
【分析】通过观察可得前a行共有个数，再由第44行最后一个数是1936，可得2022在第45行第86个数，从而求出m、n的值，然后再求和即可．
【详解】解：第一行1个数，
第二行3个数，
第三行5个数，……，
第a行个数，
∴前a行共有个数，
∴第45行最后一个数是2025，
∴2022在第45行第86个数，
∴，
∴．
故答案为：131．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列，得到每行数的个数规律是解题的关键．
4．2
【分析】由表格知第三个格子只能是3，且表格中数，2，3循环出现，按此循环即可求出结果．
【详解】∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴表格中所填数为，2，3，，2，3，……
∴表格中数，2，3循环出现，
∵，
∴第2021个格子中的数为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了数字规律的探索，找到规律是关键．
5．A
【分析】先计算发现的值分别按照依次循环的规律再求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
……
∴的值分别按照依次循环，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了数式规律题，解题关键是发现规律并正确计算．
6．
【分析】通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，根据此规律算出第个算式的个位数字即可．
【详解】解：通过观察给出算式的末尾数可发现，每四个数就会循环一次，
∵，
∴第个算式末尾数字和的尾数相同，为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳数字的变化规律是解题的关键．
7． 50 ##
【分析】摆一个八边形需要8根小棒，以后每增加一个八边形，就增加7根小棒，所以摆成n个八边形就需要根小棒，据此即可解答．
【详解】解：根据题干分析可得：摆成n个八边形就需要根小棒，
当时，需要小棒（根），
故答案为：50；．
【点睛】本题考查了图形类规律问题，先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
8．
【分析】在日历上，下面的数等于上面的数加7，后面的数等于前面的数加1，可借助这一关系用a表示b、c、d，再通过观察就可以得出答案．
【详解】解：根据题意可得：
，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查探索与表达规律，熟知日历中各个数值之间的大小关系是解决本题的关键．在本题中得出结论后可借助一些实例验证一下，可提高正确率．
9．见解析
【分析】（1）是作一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；
（2）是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；
（3）是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割．
根据上述方法分别进行分割，可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个．
根据这样的两个特殊图形，不难发现：
第一种分割法，分割成的三角形的个数比边数少2，
第二种分割法分割成的三角形的个数比边数少1，
第三种分割法分割成的三角形的个数等于多边形的边数．
【详解】解：画法不唯一，如图

分别将图①②③中的六边形分割成了4，5，6个小三角形．结论推广：第一种分割法把n边形分割成了个小三角形；第二种分割法把n边形分割成了个小三角形；第三种分割法把n边形分割成了n个小三角形．
【点睛】本题考查了从特殊中发现规律，进而推广到一般．
10．C
【分析】根据图形可以得到如下规律： 〇 〇 〇为一组，以后反复如此．首先求出2008中有多少组，再由余数来决定最后一个圆是空心还是实心．
【详解】解：由题意可知，前9个圆为本图规律，其中有6个实心圆，3个空心圆，后边就按这个规律排列．
余1，
故前2008个圆中，有个实心圆，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，重点考查学生观察，归纳和总结规律的能力．
11．黑色，51个．
【分析】从图中可以看出，按照6个为一个周期，用100除以6得到16个周期剩余4个，这一个周期当中的第四个，应该是黑色的，也就是第100个三角形是黑色的，再用16个周期中白色三角形数量加上剩余4个中的白色三角形数量计算即可．
【详解】解：从图中可以看出，按照6个为一个周期，
因为…4，
所以第100个三角形应该是与每一个周期当中的第四个同色，应该是黑色的．
每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，
余下的4个三角形中还有3个白色的，
所以一共有个．
【点睛】本题考查图形类规律题，根据题意发现规律是解题的关键．
12．4
【分析】根据“移位”的特点确定出前几次的移位情况，从而找出规律，然后根据规律解答即可．
【详解】解：根据题意，小明从编号为1的顶点开始，第1次移位到达点2，
第2次移位到达点4，
第3次移位到达点3，
第4次移位到达点1，
第5次移位到达点2，
…，
依此类推，4次移位后回到出发点，
∵，
∴第2022次“移位“后，它所处顶点的编号与第2次移位到的编号相同，为4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据“移位”的定义，找出每4次移位为一个循环组进行循环是解题的关键．
答案第1页，共2页
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