专题3.15探索与表达规律 直通中考（含解析）2023-2024学年七年级数学上册北师大版专项讲练

专题3.15 探索与表达规律（直通中考）
一、单选题
（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
1．观察下面两行数：
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92 B．87 C．83 D．78
（2023·重庆·统考中考真题）
2．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14 B．20 C．23 D．26
（2023·重庆·统考中考真题）
3．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）

A．39 B．44 C．49 D．54
（2023·山东·统考中考真题）
4．已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
（2022·西藏·统考中考真题）
5．按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）
A． B． C． D．
（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
6．观察下列数据：，，，，，…，则第12个数是（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川德阳·统考中考真题）
7．在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
（2022·内蒙古·中考真题）
8．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
（2023·湖南常德·统考中考真题）
9．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )



……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
（2022·湖北鄂州·统考中考真题）
10．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
（2021·湖北十堰·统考中考真题）
11．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
（2021·江苏镇江·统考中考真题）
12．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
二、填空题
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
13．用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．

（2023·山西·统考中考真题）
14．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）

（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）
15．在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）

（2023·四川·统考中考真题）
16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．

（2023·四川遂宁·统考中考真题）
17．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

（2023·湖北恩施·统考中考真题）
18．观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）
19．按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 ．
（2022·青海·统考中考真题）
20．木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料 根.
（2022·山东泰安·统考中考真题）
21．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是 ．
（2021·江苏扬州·统考中考真题）
22．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 ．
（2022·四川德阳·统考中考真题）
23．古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是 ．
（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）
24．下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第个图形中三角形个数是 ．
（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
25．如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．
（2023·湖北随州·统考中考真题）
26．某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】先分别找出每行数字的规律，求出每行第7个数，将这两个数相加即可．
【详解】解：第一行的数字规律为：，第二行的数字规律为：，
第一行的第7个数字为：，第二行的第7个数字为：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查规律探究，发现每行数字的排布规律是解题的关键．
2．B
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
3．B
【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
【详解】解：第①个图案用了根木棍，
第②个图案用了根木棍，
第③个图案用了根木棍，
第④个图案用了根木棍，
……，
第⑧个图案用的木棍根数是根，
故选：B．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
5．A
【分析】把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
【详解】原数据可转化为：，
∴，
，
，
..．
∴第n个数为：，
∴第10个数为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
6．D
【分析】仔细观察给出的一列数字，从而可发现，分子等于其项数，分母为其所处的项数的平方加1，根据规律解题即可．
【详解】解：，，，，，…，根据规律可得第n个数是，
∴第12个数是，
故选：D．
【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
7．D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．
8．C
【分析】观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9，每4个数一组进行循环，所以，进而可得的结果的个位数字．
【详解】解：观察下列等式：
，，，，，，，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7，，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，
，
每4个数一组进行循环，
所以，
而，
，
所以的结果的个位数字是7．
故选：C．
【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律．
9．C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
10．C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
11．B
【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
12．B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
13．##
【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可．
【详解】解：当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
当时，有个三角形；
第n个图案有个三角形，
每个三角形用三根，
故第n个图案需要火柴棍的根数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．
14．
【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．
【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片，
第2个图案中有6个白色圆片，
第3个图案中有8个白色圆片，
第4个图案中有10个白色圆片，
，
∴第个图案中有个白色圆片．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
15．##
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
16．
【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解．
【详解】解：根据规律可得第七行的规律为
第八行的规律为
∴根据规律第八行从左到右第三个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
17．
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
18． 1024
【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.
【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；
第二行数的规律为，
∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，
∴，
故答案为：1024；．
【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.
19．
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．
【详解】解：∵，，，…，
∴第n个数是，
当n＝30时，==，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
20．
【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料．
【详解】解：∵第一个图形有根木料，
第二个图形有根木料，
第三个图形有根木料，
第四个图形有木料，
∴第个图形有根木料，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．
21．
【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第行的第一个数字为，从而求得最终的答案．
【详解】第1行的第一个数字：
第2行的第一个数字：
第3行的第一个数字：
第4行的第一个数字：
第5行的第一个数字：
…..，
设第行的第一个数字为，得
设第行的第一个数字为，得
设第n行，从左到右第m个数为
当时
∴
∵为整数
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．
22．1275
【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，
故答案为：1275．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
23．45
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】根据图形，规律如下表：
三角形 3 正方形 4 五边形 5 六边形 6 M边形 m
1 1 1 1 1 1
2 1+2 1+2 1 1+2 1 1 1+2 1 1 1 1+2
3 1+2+3 1+2+3 1+2 1+2+3 1+2 1+2 1+2+3 1+2 1+2 1+2 1+2+3
4 1+2+3+4 1+2+3+4 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3 1+2+3 1+2+3 1+2+3+4
n
由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
24．
【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．
【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，
则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，
下半部规律为：12、22、32、42……n2，
∴上下两部分统一规律为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．
25．OC
【详解】解∶∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…
∴每六个一循环．
∵2013÷6=335…3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样．
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC
26．10
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页