24.1.4圆周角　同步练习题 人教版九年级数学上册（含答案）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（　　）
A．130° B．100° C．120° D．110°
2．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，若∠AOB＝80°，∠A＝60°，则∠ADB的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．90°
6．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，连接OA，OC，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的度数是（　　）
A．45° B．50° C．60° D．65°
7．如图，在⊙O中，点C是上一点，若∠AOB＝126°，则∠C的度数为（　　）
A．127° B．117° C．63° D．54°
8．如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（　　）
A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
二．填空题
9．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是　 　．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝130°，则∠C的度数是 　 　．

11．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB＝6cm，AC＝4cm，则⊙O的半径等于　 　cm．
12．丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是 　 　cm．
13．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为　 　．
14．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为 　 　．
15．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 　 　．
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠AOC＝57°，∠C＝　 　，∠E＝　 　．
三．解答题
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，＝．若∠A＝50°，求∠B的度数．
18．如图，A，B是⊙O上的两点，C是的中点．求证：∠A＝∠B．
19．如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
20．在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：∠ACB＝∠AOB．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是中点，若∠BAC＝70°，求∠C．
下面是小雯的解法，请帮他补充完整．
解：在⊙O中，
∵D是的中点
∴＝，
∴∠1＝∠2（ 　 　）（填推理的依据）
∵∠BAC＝70°
∴∠2＝35°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（ 　 　）（填推理的依据）
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（ 　 　）（填推理的依据）
∴∠C＝180°﹣∠B＝　 　（填计算结果）
22．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BC．若AB＝6，∠B＝30°，求：弦CD的长．
23．如图，AB＝AC，AB是直径，求证：BC＝2DE．
24．如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若PC＝13，⊙O的半径OA＝5，求弦AB的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，
故选：B．
2．解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，
故选：C．
3．解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°
故选：C．
4．解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
5．解：∵∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°，
∴∠ADB＝∠A+∠ACB＝60°+40°＝100°．
故选：A．
6．解：∵∠ABC＝∠AOC，∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：D．
7．解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵∠AOB＝126°，
∴∠D＝∠AOB＝63°，
∵∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，
故选：B．
8．解：连接BD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AB，
∵AB的长为10cm，
∴AD＝10（cm），
故选：B．
二．填空题
9．解：∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣35°＝55°．
故答案为55°．
10．解：∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝130°，
∴∠A＝65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝115°，
故答案为：115°．
11．解：连接BC，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵AB＝6cm，AC＝4cm，
∴BC＝＝2（cm），
∴⊙O的半径为：cm．
故答案为：．
12．解：如图，连接AB，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为圆形镜子的直径，
∵CA＝8cm，CB＝6cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∴圆形镜子的半径为×10＝5（cm），
故答案为：5．
13．解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AED＝20°，
∴∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，
故答案为：110°．
14．解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
15．解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故答案为：4．
16．解：连接OD，
设∠E＝x°，
∵AB＝2DE，OA＝OB＝OD，
∴OD＝DE，
∴∠E＝∠DOE＝x°，
∴∠CDO＝∠E+∠DOE＝2x°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠CDO＝2x°，
∵∠AOC＝57°，∠AOC＝∠E+∠C，
∴57＝x+2x，
解得：x＝19，
即∠E＝19°，∠C＝38°，
故答案为：38°，19°．
三．解答题
17．解：如图，连接AC．
∵＝，∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°．
18．证明：连接OC．
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B．
19．解：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝26°，
∴∠CAB＝90°﹣26°＝64°．
20．证明：如图2：
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
同理可得：∠BOD＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD
＝2∠ACO+2∠BCO
＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
同理可得：∠BOD＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD
＝2∠BCO﹣2∠ACO
＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB．
21．解：在⊙O中，
∵D是的中点
∴＝，
∴∠1＝∠2（等弧所对的圆周角相等）
∵∠BAC＝70°
∴∠2＝35°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）
∴∠B＝90°﹣∠2＝55°
∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，
∴∠C+∠B＝180°（圆内接四边形的对角互补）
∴∠C＝180°﹣∠B＝125°
故答案为：等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补，125°．
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
又AB＝6，∠CBA＝30°
∴AC＝3，∠CAE＝60°
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径
∴CE＝ED
∵Rt△CEA中，CE＝，
∴CD＝2CE＝3．
23．证明：连接AD、DE
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴∠BAD＝∠DAC； BC＝2BD＝2DC
由圆周角定理可知：BD＝DE
∴BC＝2DE．
24．解：作OH⊥AB于H，
∴AH＝BH，
∵PC＝13，⊙O的半径OA＝OC＝5，
∴PO＝PC﹣OC＝13﹣5＝8，
∵∠CPB＝30°，
∴OH＝PO＝4，
∵AH2＝AO2﹣OH2，
∴AH2＝52﹣42，
∴AH＝3，
∴AB＝2AH＝6．
25．（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×6＝3cm，
∴∠COE＝90°，
设⊙O的半径为rcm，则OE＝（8﹣r）cm，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：
r2﹣（8﹣r）2＝32，
解得r＝，
∴⊙O的半径为cm．