专题2.1认识一元二次方程 基础知识梳理讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.1 认识一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】一元二次方程的概念
方程中只含有一个未知数的整式方程，并可以化成
的形式，这样的方程叫一元二次方程．
构成一元二次方程的条件：（1）整式方程；（2）二次项系数; （3）一定是整理后化为的形式．
【例1】
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．（a，b，c均为常数）
C． D．
【知识点2】一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
【例2】
3．将方程化成的形式，则的值分别为（　　）
A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25
【变式】
4．把方程化成的形式后，a，b，c的值分别是多少？（ ）
A．3、7、1 B．2、 C．1、 D．3
【知识点3】根据实际问题列简单的一一元二次方程
从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤
（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间关系；
（2）选择合适的未知数，一般设为x;
（3）确定等量关系；
（4）根据等量关系列出一元二次方程，并化为一般形式．
【例3】
5．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少？
（2）有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
【变式】
6．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是，求半径；
（2）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，求较长的直角边的长．
【知识点4】一元二次方程的的近似解的具体步骤
（1）列表，根据未知数的取值，分别计算的值；
（2）在表中找出可能使的值等于0的符合要求的未知数的取值范围；
（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到近似解符合题中精确度的要求为止．
【例4】
7．根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）
x 1 4
0.06 0.02
A． B．
C． D．
【变式】
8．根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是
C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是
【考点一】根据一元二次方程的概念确定参数的值
【例1】
9．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（ ）
A． B．1 C．或 D．0
【变式】
10．若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)
A． B． C． D．不能确定
【考点二】利用一元二次方程的解求方程中待定字母的值
【例2】
11．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　）
A． B．1 C．1或 D．或0
【变式】
12．关于的一元二次方程的解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点三】根据实际问题列出一元二次方程
【例3】
13．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为步，根据题意可列方程为 ．
【变式】
14．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为

【考点四】对于含有参数的一元二次方程的系数进行讨论
【例4】
15．已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【变式】
16． 为何值时，关于 的方程 ：
(1)是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，并求出对应方程的解．
【考点五】利用一元二次方程的解求代数式的值
【例5】
17．若m是一元二次方程的根，则的值为
【变式】
18．已知是方程的一个根，则 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
2．C
【分析】根据形如（a，b，c均为常数）的整式方程判断即可．
【详解】A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、是一元二次方程，故不符合题意；
C、整理得是一元二次方程，故符合题意；
D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如（a，b，c均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
3．C
【分析】将移项化为一元二次方程的一般式即可求解．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程一般式是解决问题的关键．
4．C
【分析】把一元二次方程化成一般式，写出a，b，c的值即可．
【详解】解：
∴a，b，c的值分别是1、，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，能运用整式的乘法进行整理是解题的关键．
5．（1），；（2），；（3），
【分析】（1）设宽为xcm，根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可；
（2）设矩形的长为则矩形的宽为根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可；
（3）设有人参加聚会，根据握手次数＝×人数×（人数 1）列出方程即可．
【详解】解：（1）设矩形的宽为则矩形的长为
由矩形的面积公式得
（2）设矩形的长为则矩形的宽为
由矩形的面积公式得
（3）设有人参加聚会，根据题意得可知
即．
【点睛】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．
6．（1）；（2）；
【分析】（1）根据圆的面积公式列出方程即可；
（2）根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）设这个圆的半径为R，
由圆的面积公式得，
∴；
（2）设这个直角三角形较长的直角边为，
由直角三角形的面积公式得，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决问题的关键是找出实际问题中的相等关系．
7．C
【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围．
【详解】解：∵当时，当时，
∴当x在中取一个值时，，
∴一元二次方程的某一个解的取值范围是．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
8．B
【分析】通过观察表格可得时，，即可求解．
【详解】解：由表格可知，
当时，，
当时，，
∴时，，
∴解的整数部分是，十分位是．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．
9．A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴且，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10．C
【分析】根据一元二次方程的定义，得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11．A
【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
12．C
【分析】根据一元二次方程的概念可求出的值，根据解为可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程，
∴，解得，，
∴一元二次方程，
∵解为，
∴，解得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值的方法是解题的关键．
13．
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：若设这块矩形田地的长为步，则宽为步，依题意，得
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．
【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，

设小路宽为x米，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．
15．(1)，
(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）由是一元一次方程，得
，
解得，
原方程变为：，
∴
解得；
（2）由是一元二次方程，得
，
解得，
∴时，是一元二次方程，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
16．(1)．
(2)，．
【分析】（1）将方程整理为：，当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程；
（2）将方程整理为的形式，当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，求出的值，再解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
整理得：，
∴当，即时，方程为一元二次方程．
（2）解：由（1）知，方程为：，
∴当，即时，方程为一元一次方程，
此时方程变为：，
∴，解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．熟练掌握相关概念，正确的求出的值，是解决本题的关键．
17．6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
18．
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将a代入已知方程，即可求得和的值，从而求得的值．
【详解】∵是方程的一个根，
∴，且
∴，
两端同除以得：，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
答案第1页，共2页
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