专题2.4用配方法解一元二次方程 基础知识梳理讲解（含解析）2023-2024学年九年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.4 用配方法解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】用直接开平方法解一元二次方程
利用平方根的定义，直接开平方法求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
类型：
（1）；
（2）
（3）
【例1】
1．方程的两个根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1】
2．若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2】
3．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【知识点2】用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1；
（2）移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边；
（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为
（4）解：开方，解得：
【例2】
4．用配方法解方程：
(1)；
(2)．
【变式1】
5．用配方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【变式2】
6．用配方法解下列方程：
(1)．
(2)．
【考点一】配方法求值
【例1】
7．已知，则的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
【变式1】
8．对于任意实数x，多项式的值是（ ）
A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数
【变式2】
9．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【考点二】用配方法解决实际问题
【例2】
10．数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题：
“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．
“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为．

解决问题：
(1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）．
(2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？
【变式】
11．如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．

(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．
【考点三】利用配方法解与三角形的形状有关的问题
【例3】
12．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ．
【变式】
13．阅读材料：若，求、的值．
，
，
，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知一个三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，并满足：，则______．
（2）已知、、是的三边长，且满足，试判断的形状．
（3）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．
2．A
【分析】用直接开平方法即可进行解答．
【详解】解：，
，
或，
∵，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤．
3．C
【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：方程、，均为常数且的解是，，
对于关于的一元二次方程的解，
即或，
即，，
关于的一元二次方程的解是，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
4．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）（2），
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1），
，
，
，
（2），
，
，
，
，
∴
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键．
6．(1)，
(2)，
【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】（1）
或
，．
（2）化成
即
，
【点睛】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解．
7．A
【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，且即，
∴
，
∵，
∴当时，的最小值是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．
8．C
【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况．
【详解】解：∵，
∴多项式的值是正数，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．熟练掌握配方法是解决此类问题的关键．
9． 大 21
【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
故答案为：大，21
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．(1)
(2)小直角三角形的短直角边为，长直角边为
【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得，再分别求解，可得答案；
（2）由题意可得：正方形，，，可得正方形的边长为，设，，则，，再解方程即可．
【详解】（1）解：如图，
∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形，
∴，

∵正方形，，
∴，
（2）如图，由题意可得：正方形，，，

∴正方形的边长为，
设，，
∴，，
∴，
整理可得：，
解得：，（负数舍去）
∴，
答：小直角三角形的短直角边为，长直角边为．
【点睛】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键．
11．(1)
(2)60
【分析】（1）根据两个正方形区域的面积和雕塑区的面积之间的关系求解即可；
（2）根据M的面积是A的列方程求解即可．
【详解】（1）解：种植花草的面积；
（2）依题意得，，，．
列方程得，，
解得，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．直角三角形
【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
13．（1）4；（2）为等边三角形；（3）最小值为25，此时，．
【分析】（1）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a和b的值，再结合三角形三边关系即可得出c的值；
（2）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a、b、c的值，由此可判断三角形的形状；
（3）根据题干中叙述的方法，对代数式拆分后，利用完全平方公式变形，根据平方的非负性即可得出代数式的最小值和此时的x和y的值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，
∴，，符合条件的c的值为4
故答案为：4；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，为等边三角形；
（3）
=
=，
∵，，
∴当，，代数式有最小值为25，
此时，．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用．解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．
答案第1页，共2页
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