12.3角平分线的性质（1）
学习目标
1.通过角平分线仪器的探究，理解角平分线画法的原理，掌握角的平分线的画法，培养学生的几何直观、推理能力.
2.经历操作、猜想、证明等过程探究并掌握角平分线的性质定理和逆定理，能运用角平分线的定理和逆定理解决问题，培养抽象能力、推理能力、几何直观.
3.经历命题证明的学习，掌握命题证明的思路和步骤，能证明简单的命题，培养推理能力、几何直观.
学习过程
复习引入
新知探究
活动一：角平分线性质探究
思考1：如图是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
提示：已知是什么？求证什么？
思考2：用尺规作角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
提示：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
思考3：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 通过测量你发现角平分线的什么性质？
归纳总结：
思考：怎么样证明命题？角平分线有什么性质？
活动二：角平分线性质定理的逆定理
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）
角的平分线的判定:
活动三：角平分线性质定理的运用
例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三、课堂巩固
1.判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB ，则PE=PF.( )
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE=PF.( )
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3 cm，则P到OB的距离为3 cm.( )
2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
3.如图，△ABD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且BD=10，BC=6，则点C到AB的距离是 .
4.直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )
A. 一处 B. 两处
C. 三处 D. 四处
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
四、课堂小结
1. 从以下方面想一想，本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗？
基础知识： .
基本技能： .
基本思想： .
发现、提出问题： .
分析、解决问题： .
品格与价值观： .
基本活动经验： .
核心素养： .
五、课后练习
见精准作业单12.3角平分线的性质（1）
教学目标
1.通过角平分线仪器的探究，理解角平分线画法的原理，掌握角的平分线的画法，培养学生的几何直观、推理能力.
2.经历操作、猜想、证明等过程探究并掌握角平分线的性质定理和逆定理，能运用角平分线的定理和逆定理解决问题，培养抽象能力、推理能力、几何直观.
3.经历命题证明的学习，掌握命题证明的思路和步骤，能证明简单的命题，培养推理能力、几何直观.
教学重点
角平分线的性质定理
教学难点
命题的证明
教学过程
复习引入
新知探究
活动一：角平分线性质探究
思考1：如图是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
提示：已知是什么？求证什么？
证明：在△ACD和△ACB中，
AD=AB（已知），
DC=BC（已知） ，
CA=CA（公共边），
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）.
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
思考2：用尺规作角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
提示：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
思考3：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 通过测量你发现角平分线的什么性质？
测量：几何画板展示
结论：PD=PE
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴ PD=PE.
归纳总结：
思考：怎么样证明命题？角平分线有什么性质？
几何命题证明步骤：
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ .
∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等).
活动二：角平分线性质定理的逆定理
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）
解：在Rt△ABC与Rt△ABD中：
AB=AB
BC=BD
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
∴∠CAB=∠DAB
即点B在∠CAD的角平分线上
角的平分线的判定: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
活动三：角平分线性质定理的运用
例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，PF⊥AC交于点F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理：PE=PF
∴ PD=PE=PF
∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
三、课堂巩固
1.判断正误：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB ，则PE=PF.( 错 )
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE=PF.( 错 )
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3 cm，则P到OB的距离为3 cm.( 对 )
2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，BE= BF .
3.如图，△ABD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且BD=10，BC=6，则点C到AB的距离是 4 .
4.直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( D )
A. 一处 B. 两处
C. 三处 D. 四处
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴DE＝DC.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC,
∴ △BDE ≌ △FDC ,
∴ BD=DF .
四、课堂小结
1. 从以下方面想一想，本节课你有哪些收获？ 2.还有没解决的问题吗？
基础知识： .
基本技能： .
基本思想： .
发现、提出问题： .
分析、解决问题： .
品格与价值观： .
基本活动经验： .
核心素养： .
五、课后练习
见精准作业单
六、板书设计
12.3角平分线的性质（1）
尺规作图： 例题讲解
性质的证明：课前诊测
1. 我们学习了那些三角形全等的判定方法？分别是什么？
精准作业
必做题
1.如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
2.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
探究题
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
课前诊测
1. 边边边：三边对应相等的两个三角形全等(SSS)
边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)
角边角：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(ASA）
角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）
斜边、直角：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
精准作业
1.证明：∵ DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴ DE＝DF.
又 ∵ DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴ AD平分∠BAC.
2.证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
探究题
1.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.(共20张PPT)
12.3角平分线的性质（1）
复习旧知
边边边
角角边
边角边
角边角
斜边直角边
三
形
角
全
等
边相等
角相等
性质
边的和差倍分
推理
判定
角的和差倍分
判定直角三角形
垂直
平行
多次证全等
如图是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
证明：在△ACD和△ACB中，
AD=AB（已知），
DC=BC（已知） ，
CA=CA（公共边），
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）.
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
思考1
提示：已知是什么？求证什么？
活动一：角平分线性质探究
用尺规作角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
思考：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
思考2
A
B
O
M
N
C
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
思考3：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.通过测量你发现角平分线的什么性质？
实验操作
测量：
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
结论：PD=PE
求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴ PD=PE.
归纳总结
几何命题证明步骤：
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
符号语言表示：
角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等).
归纳总结
OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∵ .
S
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）
思考3
活动二：角平分线性质定理的逆定理
B
A
S
C
D
M
N
解：在Rt△ABC与Rt△ABD中：
∴ Rt△ABC ≌ Rt△ABD（HL）．
AB=AB
BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
即点B在∠CAD的角平分线上
角的平分线的判定:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
你能得出什么结论呢？
例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB交于点D，PE⊥BC交于点E，PF⊥AC交于点F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴ PD=PE（角平分线上的点到角两边的
距离相等）
同理：PE=PF
∴ PD=PE=PF
∴点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
D
E
F
M
N
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
活动三：角平分线性质定理的运用
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
A
C
P
D
E
F
M
N
∵ PD⊥AB，PF⊥AC，PD=PF
∴ P在∠A的平分线上
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
1.判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB ，则PE=PF.( )
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE=PF.( )
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3 cm，则P到OB的距离为3 cm.( )
A
O
B
P
E
F
图2
C
A
O
B
P
E
F
图1
C
图3
A
O
B
P
E
C
活动四：课堂巩固
错
错
对
2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
3.如图，△ABD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且BD=10，BC=6，则点C到AB的距离是 .
60
4
BF
4.直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )
A. 一处 B. 两处
C. 三处 D. 四处
D
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC,
∴ △BDE ≌ △FDC ,
∴ BD=DF .
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴DE＝DC.
基础知识： .
基本技能： .
基本思想： .
发现、提出问题： .
分析、解决问题： .
品格与价值观： .
基本活动经验： .
核心素养： .
请同学们从以下方面回顾本节可所学？
课堂小结
角
平
分
线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结
