全等三角形 章末复习小结（1）基本知识
导学案
学习目标：
了解全等形概念.
理解并掌握全等三角形的性质和判定.（重点）
3.在复杂的图形中抽象、构造全等三角形，解决实际问题.（难点）
一、知识梳理
(
定义
) (
全等形
)
(
定义
) (
全等三角形
) (
全
等
三
角
形
)
(
性质
)
(
性质
) (
判定
) (
角的平分线的性质和判定
)
(
判定
)
直击考点
例1 如图，△ABC≌△DEF，AD = 16 cm，CF = 2 cm，求 AC 的长.
小试牛刀：
1.如图所示，△AOC≌△BOC，∠ACB=90°．
（1）求∠A；
（2）判断AB与OC的位置关系，并说明理由．
例2 如图，已知AD=BC，∠BAD=∠ABC，∠C=∠D.求证：△ACE≌△BDE.
小试牛刀：
2. 如图，已知 ∠ADB =∠ACB = 90°，AC = BD，AC，BD 相交于点 O，给出下列五个结论 ①AD = BC；②∠DBC =∠CAD；③AO = BO；
④AB∥CD；⑤DO = CO. 其中正确结论有______.
例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 于点O，交 AB 于点 M，MN∥BC 交 AC 于点N.
求证：∠DMC =∠NMC.
小试牛刀：
如图，∠ACB=90°，AC=BC. CD是∠ACB内部的一条射线，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F. 求证：CE=BF.
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°. 求证：PA = PC.
思考：还有其他方法吗？
小试牛刀：
4.如图，∠1=∠2，点 P 为 BN 上的一点，PA = PC.求证：∠PCB +∠BAP = 180°.
三、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
四、布置作业
见精准作业单全等三角形 章末复习小结（1）基本知识
教学设计
学习目标：
了解全等形概念.
理解并掌握全等三角形的性质和判定.（重点）
3.在复杂的图形中抽象、构造全等三角形，解决实际问题.（难点）
一、知识梳理
(
定义
) (
全等形
)
(
定义
) (
全等三角形
) (
全
等
三
角
形
)
(
性质
)
(
性质
) (
判定
) (
角的平分线的性质和判定
)
(
判定
)
直击考点
例1 如图，△ABC≌△DEF，AD = 16 cm，CF = 2 cm，求 AC 的长.
解：∵△ABC≌△DEF
则：AC=DF
∴AF=DC=1/2（AD CF）=7cm
∴AC=AF+CF=9cm
学生自主完成，教师巡视，引导并归纳.
两个全等三角形：
1.长边与长边，短边与短边分别是对应边；
2.大角与大角，小角与小角分别是对应角；
3.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角；4.有公共边的，公共边一定是对应边；
5.有公共角的，公共角一定是对应角.
小试牛刀：
1.如图所示，△AOC≌△BOC，∠ACB=90°．
（1）求∠A；
（2）判断AB与OC的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵△AOC≌△BOC，
∴∠A=∠B，
又∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°；
（2）AB⊥OC．理由：∵△AOC≌△BOC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，∴AB⊥OC．
例2 如图，已知AD=BC，∠BAD=∠ABC，∠C=∠D.求证：△ACE≌△BDE.
证明：在△ABC和△BAD中，
{█(AD=BC@∠BAD=∠ABC@AB=BA)┤
∴△ABC≌△BAD ∴AC=BD
在△ACE和△BDE中，
{█(∠AEC=∠BED@∠C=∠D@AC=BD)┤
∴△ACE≌△BDE
小试牛刀：
2. 如图，已知 ∠ADB =∠ACB = 90°，AC = BD，AC，BD 相交于点 O，给出下列五个结论 ①AD = BC；②∠DBC =∠CAD；③AO = BO；
④AB∥CD；⑤DO = CO. 其中正确结论有_①②③④⑤_____.
例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 于点O，交 AB 于点 M，MN∥BC 交 AC 于点N.
求证：∠DMC =∠NMC.
证明：∵ CE⊥AD，
∴∠AGE =∠AGC = 90°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠EAG =∠CAG.
在△AGE 和△AGC 中，
∠AGE =∠AGC，
AG = AG，
∠EAG =∠CAG，
∴△AGE≌△AGC (ASA).
∴ GE = GC.
在△DGE 和△DGC 中，
EG = CG
∠EGD =∠CGD
DG = DG
∴△DGE≌△DGC (SAS).
∴∠DEG = ∠DCG
∵ EF∥BC
∴∠FEC = ∠DCG
∴∠DEG = ∠FEC
教师引导，归纳总结：
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时需添加辅助线.
小试牛刀：
如图，∠ACB=90°，AC=BC. CD是∠ACB内部的一条射线，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F. 求证：CE=BF.
证明：∵∠ACB=90°,AE⊥CD,BF⊥CD.
则：∠AEC=∠CFB=90°
∠ACE+∠BCF = 90°,
∠ACE+∠A = 90°
∴∠A =∠BCF
在△ACE 和△CFB 中，
∠AEC=∠CFB
∠A =∠BCF
AC =BC
∴△ACE≌△CFB (ASA)
∴ CE = BF
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°. 求证：PA = PC.
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，
∴∠EAP = ∠FCP.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA =∠PFC = 90°，
∠EAP =∠FCP，
PE = PF
∴△APE≌△CPF (AAS).
∴ AP = CP.
思考：还有其他方法吗？
4.如图，∠1=∠2，点 P 为 BN 上的一点，PA = PC.求证：∠PCB +∠BAP = 180°.
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
∵∠1 =∠2，
∴PE = PF， ∠PEA =∠PFC = 90°.
在Rt△APE 和Rt△CPF 中，
PA = PC，
PE = PF，
∴ Rt△APE≌Rt△CPF (HL).
三、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
四、布置作业
见精准作业单
五、板书设计
(
定义
)全等三角形 章末复习小结（1）
(
全等形
) (
定义
) (
全
等
三
角
形
)
(
性质：对应角相等，对应边相等
) (
全等三角形
)
(
判定：
SSS
，
SAS
，
ASA
，
AAS
，
HL
)
(
性质
) (
角的平分线的性质和判定
)
(
判定
)第十二章 全等三角形 章末复习小结（1）基本知识
精准作业设计
课前诊断
1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点，∠A=∠CED，且AB=ED.求证：
（1） ABD EDC；
（2）BD=AB+BE.
精准作业
必做题
2.如图，在 ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E，求证：∠ACE=∠B+∠ECD.
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥CD于点E，CE=6，AE=4.求四边形ABCD的面积.
如图，C,D两点分别在射线OA，OB上，点P在 ∠AOB的内部，且PC=PD，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且CE=DF.
求证：OP平分∠AOB；
若CE=2，OD=3，求OC的长.
探究题
如图，在 ABC和 CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，连接AD，BE相交于点F.
如图1，当B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=∠DCE=45°时，可以得到图中的一对全等三角形吗？为什么？
当点D不在直线BC上，
①试说明AD=BE；
②试证明DFE=ACB.
图1 图2
第十二章 全等三角形 章末复习小结（1）基本知识
精准作业答案
1．证明：（1）AB∥CD
∠ABD=∠EDC
在 ABD和 EDC中，
ABD EDC（ASA）
由（1）知： ABD EDC
则：AB=ED
BD=ED+BE=AB+BE.
2．证明：如图，延长CE交AB于点F.
CE⊥AD
∠AEC=∠AEF=90°
AD平分∠BAC
∠EAC=∠EAF
在 AEC和 AEF中，
AEC AEF（ASA）
AFE=ACE
AFE=∠B+∠ECD
∠ACE=∠B+∠ECD
3.证明：如图，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F
CA平分∠BCD，AE⊥CD
AE=AF，∠AED=∠F
在Rt ADE和Rt ABF中，
Rt ADE Rt ABF（HL）
在Rt ACE和Rt ACF中，
Rt ACE Rt ACF（HL）
==2=6x4=24
4. 证明：（1）PE⊥OA，PF⊥OB
在Rt PCE和Rt PDF中，
Rt PCE Rt PDF（HL）
PE=PF
OP平分∠AOB
（2）由（1）知，Rt PCE Rt PDF
DF=CE
在Rt OPE和Rt OPF中，
Rt OPE Rt OPF（HL）
OE=OF=OD+DF=OD+CE=3+2=5
OC=OE+CE=5+2=7
5.解：（1）∠E=∠F
AD=BC
AC=BD
在 ACE与 BDF中，
，
ACE BDF
∠E=∠F
（2）成立
AD=BC
AC=BD
在 ACE与 BDF中，
，
ACE BDF
∠E=∠F
4 / 5(共22张PPT)
第十二章 全等三角形
章末复习小结（1）基本知识
人教版.八年级上册
学习目标
1. 了解全等形概念.
2. 理解并掌握全等三角形的性质和判定.(重点)
3. 在复杂的图形中抽象、构造全等三角形，解决实际问题.（难点）
知识梳理
全等三角形
全等形
全等三角形
角的平分线的性质与判定
定义
判定
定义
性质
性质
判定
直击考点
例1 如图，△ABC≌△DEF，AD = 16 cm，CF = 2 cm，求 AC 的长.
解：
则：AC=DF
AC=AF+CF=9cm
知识归纳
两个全等三角形：
1.长边与长边，短边与短边分别是对应边；
2.大角与大角，小角与小角分别是对应角；
3.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角；4.有公共边的，公共边一定是对应边；
5.有公共角的，公共角一定是对应角.
小试牛刀
1.如图所示，△AOC≌△BOC，∠ACB=90°．
（1）求∠A；
（2）判断AB与OC的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵△AOC≌△BOC，
∴∠A=∠B，
又∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°；
（2）AB⊥OC．理由：∵△AOC≌△BOC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°，∴AB⊥OC．
例2 如图，已知AD=BC，
△ACE≌△BDE.
直击考点
直击考点
证明：在△ABC和△BAD中，
△ABC≌△BADAC=BD
在△ACE和△BDE中，
△ACE≌△BDE
2. 如图，已知 ∠ADB =∠ACB = 90°，AC = BD，AC，BD 相交于点 O，给出下列五个结论 ①AD = BC；②∠DBC =∠CAD；③AO = BO；
④AB∥CD；⑤DO = CO. 其中正确结论有______________.
小试牛刀
①②③④⑤
例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CM⊥AD 于点O，交 AB 于点 M，MN∥BC 交 AC 于点N.
求证：∠DMC =∠NMC.
直击考点
直击考点
证明：∵ CE⊥AD，
∴∠AGE =∠AGC = 90°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠EAG =∠CAG.
在△AGE 和△AGC 中，
∠AGE =∠AGC，
AG = AG，
∠EAG =∠CAG，
∴△AGE≌△AGC (ASA).
∴ GE = GC.
直击考点
在△DGE 和△DGC 中，
EG = CG
∠EGD =∠CGD
DG = DG
∴△DGE≌△DGC (SAS).
∴∠DEG = ∠DCG
∵ EF∥BC
∴∠FEC = ∠DCG
∴∠DEG = ∠FEC
归纳总结
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时需添加辅助线.
小试牛刀
3.如图，∠ACB=90°，AC=BC. CD是∠ACB内部的一条射线，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F. 求证：CE=BF.
小试牛刀
证明：∵∠ACB=90°,AE⊥CD,BF⊥CD.
则：∠AEC=∠CFB=90°
∠ACE+∠BCF = 90°,
∠ACE+∠A = 90°
∴∠A =∠BCF
在△ACE 和△CFB 中，
∠AEC=∠CFB
∠A =∠BCF
AC =BC
∴△ACE≌△CFB (ASA)
∴ CE = BF
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°. 求证：PA = PC.
直击考点
F
E
直击考点
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，
∴∠EAP = ∠FCP.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA =∠PFC = 90°，
∠EAP =∠FCP，
PE = PF
∴△APE≌△CPF (AAS).
∴ AP = CP.
直击考点
例4 如图，∠1 =∠2，点 P 为 BN 上的一点，∠PCB + ∠BAP = 180°. 求证：PA = PC.
直击考点
思考：还有其他方法吗？
小试牛刀
4.如图，∠1=∠2，点 P 为 BN 上的一点，PA = PC.求证：∠PCB +∠BAP = 180°.
E
F
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
∵∠1 =∠2，
∴PE = PF， ∠PEA =∠PFC = 90°.
在Rt△APE 和Rt△CPF 中，
PA = PC，
PE = PF，
∴ Rt△APE≌Rt△CPF (HL).
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
课堂小结
见精准作业
布置作业
谢谢大家！
