第2章实数 单元测试拔尖卷（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版

第2章 实数（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知，且，化简（ ）．
A． B．1 C．或 D．3或1或或
2．如图，点P，Q对应的数分别为p，q，则下列说法正确的是（ ）
A．点P向右平移3个单位长度与点Q重合 B．
C．的相反数的整数部分为2 D．
3．李老师设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数，乘以后再减去，输出结果．若小刚按程序输入2，则输出的结果应为（　　）
A．2 B． C．﹣ D．3
4．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（ ）
①一定是三角数组；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知实数满足，那么的值是( )
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
7．已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
9．有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ）
A．10 B．10（-1） C．100 D．-1
10．从，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则S的最大值（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．设5-的整数部分为，小数部分为，则的值为
12．已知，则的值为 ．
13．阅读以下材料：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．则函数y＝2x＋（x＜0）的最大值为 ．（提示：可以先求－y的最小值）
14．a，b为有理数，且，则 ．
15．利用下面表格中的规律计算：已知，，，则 ．（用含的代数式表示）
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
16．如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上．
（Ⅰ）线段的长为 ；
（Ⅱ）在上找E点使；
请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的．（不要求证明） ．
17．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是 ．
18．观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．计算：
(1)
(2)
20．已知，，c是的倒数，d是的整数部分．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
21．已知a、b满足，求的值．
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m.
(1) ______.
(2)求的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟.
23．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接DE，DF⊥DE交BC于点F．
(1)求证：DE＝DF；
(2)连接EF交CD于点G，若AC＝，当AD＝CE时，求EG2的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据绝对值的性质化简解答即可．
【详解】由题意得：，解得，
∵，
∴，
∴或，
∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法法则，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
2．C
【分析】由图可知，进而根据平移、绝对值以及化简二次根式即可得解．
【详解】解：由图可知，
∴，即点P向右平移3个单位长度不与点Q重合，故A错误；
，
∴，故B错误；
∵，
∴，
∴，即的相反数的整数部分为2，故C正确；
∵，
∴，故D错误．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴、平移、绝对值以及化简二次根式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键．
3．B
【分析】首先用小刚按程序输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积减去，求出输出的结果应为多少即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减法，解答此题的关键是要弄清楚先求什么，再求什么．
4．B
【分析】，且，先证明，即可证明，由此即可判断①②；根据是一个三角数组，不是一个三角数组即可判断③④．
【详解】解：∵是三角数组，
∴可设，且，
∴，
∵，
∴，
∴一定是三角数组，故①正确，②不正确；
∵是一个三角数组，，
∴不是一个三角数组，
∴当是三角数组时，不一定是三角数组，故③错误，④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．
5．B
【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定．
【详解】解：成立，
，，
，，
故①③正确，④不正确；
②当时，，
故②不正确；
故正确的有：2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：，
，即，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
7．A
【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解．
【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点，
设， ，
∴，，
∴在、、中，依次可得到：
，
，
，
∴
．
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．
8．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
9．B
【详解】由于计算器显示结果的位数有限，要想在原来显示的结果的右端再多显示一位数字，则应该设法去掉左端的数字“1”.
对于整数部分不为零的数，计算器不显示位于左端的零. 于是，先将原来显示的结果左端的数字“1”化为零，即计算. 为了使该结果的整数部分不为零，再将该结果的小数点向右移动一位，即计算. 这样，位于原来显示的结果左端的数字消失了，空出的一位由原来显示结果右端数字“7”的后一位数字填补，从而实现了题目的要求.
根据以上分析，为了满足要求，应该在这个计算器中计算的值.
故本题应选B.
点睛：
本题综合考查了计算器的使用以及小数的相关知识. 本题解题的关键在于理解计算器显示数字的特点和规律. 本题的一个难点在于如何构造满足题目要求的算式. 解题过程中要注意，只将原结果的左端数字化为零并不一定会让这个数字消失. 只有当整数部分不为零时，左端的零才不显示. 另外，对于本题而言，将结果的小数点向右移动是为了使该结果的整数部分不为零，要充分理解这一原理.
10．C
【分析】找出的值，结合对于任意的和都有，即可得出的最大值．
【详解】∵，，，，，，
∴共有5个不同的值，
又∵对于任意的和都有，
∴的最大值为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出共有几个不同的值是解题的关键．
11．
【分析】根据算术平方根得到，则，因此，即可确定a，b的值，再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点实数的计算，估算是我们应具备的数学能力，“夹逼法”是估算的常用方法．
12．##
【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
13．
【分析】根据阅读材料，求出-y的最小值，即可求出y的最大值．
【详解】解：∵x＜0，则2x＜0，＜0，
∴－y＝－(2x＋)≥－2＝，
∴，
当且仅当2x＝，即x＝时，函数有最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是阅读型问题，解题的关键是读懂题目中给出的信息，理解阅读材料介绍的知识，主要培养自学能力．
14．2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到．
【详解】解：
a，b为有理数
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
15．
【分析】根据已知条件将a+b化为，利用二次根式的乘法法则的逆运算以及求一个数的算术平方根，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴
=
=
=0.1k+10k
=10.1k，
故答案为：．
【点睛】此题考查多项式的求值计算，二次根式的乘法法则的逆运算，求一个数的算术平方根，将a+b化为是解题的关键．
16． 如图，取格点D，连接并延长与交于E点；则点E即为所求
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求解；
（Ⅱ）如图，取格点D，连接并延长与交于E点；则点E即为所求作的点，然后根据全等三角形的判定与性质即可证明．
【详解】解：（1）如图，在Rt△ABF中，；
（Ⅱ）如图，取格点D，连接并延长与交于E点；则点E即为所求．
证明：如图，取格点△BGH，∵AF=HG，∠F=∠G=90°，BF=BG=2，
∴△ABF≌△HBG，
∴∠ABF=∠HBG，
∵∠HBG+∠HBF=90°，
∴∠ABF+∠HBF=90°，
即∠ABH=90°，
由作图可得DE∥BH，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AB．
故答案为：；取格点D，连接并延长与交于E点；则点E即为所求作的点．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，根据格点的特点构造全等三角形从而得到∠ABH=90°是解题关键．
17．1
【分析】根据的取值范围，求出的取值区间，将区间的上下限取整数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵介于整数n和n+1之间，
∴n=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查无理数的估算，能够求出无理数的整数部分是解决本题的关键．
18．##
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
20．(1)或
(2)或14
【分析】（1）由，得或，计算即可；
（2）先求出c，再根据，求出a、b，最后求出d，代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
或，
或；
（2）是的倒数，
，
，
或，
是的整数部分，
，
或，
或．
【点睛】本题考查了绝对值、平方、有理数的大小比较，有理数的加、减、乘、除法，倒数、无理数，解题的关键是注意分情况讨论．
21．
【分析】根据二次根式的非负性列出方程组，通过解方程组求出a，b的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
【详解】解：依题意有，
解得：
当时
【点睛】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键．
22．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可；
（2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答；
（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
∴
．
（3）解：∵与互为相反数
∴
∴，
∴，
∴
∴，
即的平方根是．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)14或46
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
24．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由题可得△ABC是等腰直角三角形，当D是AB边中点时，可以得到∠CDA＝90°，AD＝CD，由∠FDE＝∠CDA＝90°，可得∠FDC＝∠EDA，接着证明△FCD≌△EDA即可；
（2）由①可得DE＝DF，所以△DEF为等腰直角三角形，所以∠DEG＝∠DCE＝45°，由于∠DGE＝∠DCE+∠GEC＝45°+∠GEC，∠DEC＝45°+∠GEC，所以∠DGE＝∠DEC＝∠CDE，所以ED＝GE，故过E作EQ⊥DG于Q，则DQ＝GQ，在直角△ACD中，利用勾股定理，求出CD和CE的长度，同理，在△CEQ中，求出CQ的长度，得到DQ的长度，即可解决．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠CDA＝90°，
∴∠FDC＝∠EDA，
在△DFC与△DEA中，
，
∴△DFC≌△DEA（ASA），
∴CF＝AE，
即AE＝CF；
（2）解：由（1）可得，△DFC≌△DEA，
∴DF＝DE，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠CED＝∠EDF+∠CEF＝45°+∠CEF，
又∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF，
∴∠EGD＝∠CED，
∵CE＝AD，AD＝CD，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠EGD，
∴EG＝DE，
过E作EQ⊥DC于Q，如图1，
∴DQ＝GQ，且∠QCE＝∠QEC＝45°，
∴CQ＝EQ，
∵AC＝，
∴，
同理，CQ＝QE＝，
∴DQ＝CD﹣CQ＝
在中，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，特别要注意（2）中辅助线的构造是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页