第2章实数 单元测试培优卷（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版

第2章 实数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数中，（ ）是无理数．
A．3.14 B． C． D．
2．下列式子中是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．估计与最接近的两个整数是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　）
A． B． C． D．或
6．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．2
9．若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等
D．若，则
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．的平方根是 ，的立方根是 ．
12．比较大小： ．
13．若与都是二次根式，那么 ．
14．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 ．
15．如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
16．如图，某品牌的计算器上三个按键是并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是 ．

17．观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是 ．（填写序号）
a 15 15.1 15.2 15.3 15.4 …
a2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 …
18．仔细观察图，认真分析各式，然后请利用用上述变化规律求出的值为 ．

，
，
，
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（1）已知的立方根是，是的一个平方根，求的值．
（2）若a、b、c是三角形的三条边长，且，其中，，求a的值．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．完成下列各小题：
（1）已如，求的值；
（2）已知，求式子的值；
22．（1）已知x1，求的值；
（2）已知x﹣2，求代数式(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1的值．
23．在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．
阅读材料：
“无理数”的由来
为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．
假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，
于是，则a是2的倍数．
再设，其中m是整数，就有：，
也就是：，
所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．
解：假设是一个有理数．
则（a、b是整数且a、b互素且），
则，
两边同时平方得：_____________，
所以：，可得：，
所以：______________，
因为：______________，
所以：是一个无理数．
24．【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为 　 　
(2)当时，的最小值为 　 　；
(3)当时，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．
【详解】解：A. 3.14是有理数，故A不符合题意；
B.是无理数，故B符合题意；
C.是有理数，故C不符合题意；
D.是有理数，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
2．C
【分析】利用二次根式的定义进行解答即可．
【详解】A、中，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、中当时，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、，恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；
D、中被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式定义，关键是掌握形如()的式子叫做二次根式．
3．C
【分析】根据二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．
【详解】解：A选项： 与不能合并，故A选项不符合题意；
B选项：，故B选项不符合题意；
C选项：原式 ==，故C选项符合题意；
D选项：原式 =，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键．
4．A
【分析】根据得，则，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
与最接近的两个整数是和，
故选：A．
【点睛】本题考查了运用算术平方根知识对无理数进行估算的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
5．D
【分析】根据题意得出，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键．
6．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
B. 中，的取值范围是，故此项符合题意；
C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意；
D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
7．A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：
2n-5=5-2n=0，
∴m=0+0+2=2，
∴n-m=
故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　
8．A
【分析】先化简各数，再求和即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根和绝对值，掌握相关运算法则是解题的关键．
9．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　
10．C
【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【详解】A.，不是互为倒数，选项错误；
B.若，由于，则，选项错误；
C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确；
D.由可得，结合可得，，则，选项错误；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．
11．
【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，开平方运算解答即可．
【详解】解：①∵，
∴的平方根是，
故答案为；
②∵，
∴，
∴的立方根为，
∴的立方根是，
故答案为．
【点睛】本题考查了平方根的定义，开平方运算，立方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
12．
【分析】可得，可求，即可求解．
【详解】解：
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了用作差法比较实数的大小，掌握比较的方法是解题的关键．
13．0
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解．
【详解】解：∵与都是二次根式，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．##
【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．
【详解】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．
15．##
【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
为原点，为正方向，则点的横坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．
【详解】根据题意，，，，
，，，
……，
∵，
∴当他共按下后，该计算器荧幕显示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，倒数，有理数的乘方，找到规律是解题的关键．
17．①②③
【分析】由表格中的信息：
①利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律解答即可；
②利用被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律，分别确定被减数和减数的值，再相减即可；
③先确定的范围，再判断的范围判断；
④先估计的值，再判断即可．
【详解】解：①∵，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
其中整数有：，，共3个，故③正确；
④由①知：，
∴，故④错误．
综上，正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查无理数的估计，解答时需要从表格中获取信息，运用到无理数大小比较，有理数的运算，整数的概念等，熟练掌握被开方数的小数点与其算术平方根的小数点之间的变化规律是解题的关键．
18．
【分析】由题意得到，，，……，，求和即可得到的值．
【详解】解：由题意知，，，，
，，，
，，，
……
，，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理的规律题，还考查了二次根式的运算，熟练掌握勾股定理和二次根式的运算法则是解题的关键．
19．（1）16；（2）20
【分析】（1）根据立方根、平方根的意义可得到，，进而得到m、n的值，再将m、n的值代入即可求得答案；
（2）将b、c的值代入中即可得到a的值．
【详解】解：（1）的立方根是，是的一个平方根，
，，
，，
．
（2），且，，
，
，
，
a是三角形的边长，
，
．
【点睛】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的意义是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
＝
＝
＝．
（2）解：
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
21．（1）15；（2）±4
【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
（2）根据已知等式可得，再利用完全平方公式变形可得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴原式=2（x+y）2-xy=15．
（2）∵，
∴，
∴，
∴=±4．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
22．（1）；（2）(x﹣2)2，2．
【分析】（1）利用完全平方公式推出，然后整体代入即可；
（2）先对原代数式利用完全平方公式 进行化简，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵x1，
∴原式=
（2）(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1=(x﹣2)2，
把x﹣2，代入上式可得：原式=()2=2．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．
23．；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾
【分析】仿照题干方法进行证明即可．
【详解】假设是一个有理数．
则（a、b是整数且a、b互素且），
则，
两边同时平方得：，
所以：，可得：，
所以：，
因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾，
所以：是一个无理数．
【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键．
24．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当时，，则可由题中规律完成；
（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值．
【详解】（1）解：当时，均为正数，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＞0时，的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当时，，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＜0时，的最小值为；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴当时， ，
∴，
当且仅当，即时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时，的最大值为，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页