专题1.5一定是直角三角形吗 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.5 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】直角三角形的判定
1．直角三角形的判定 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
2．利用边角关系判断直角三角形的步骤：
（1）．找：找三角形三边中的最长边；
（2）．算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
（3）．判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形．
3．拓展 当两短边平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形；当 当两短边平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形
【知识点2】勾股数
1． 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数，勾股数有多数组
构成勾股数必须同时满足两个条件：
（1）三个数都是正整数；
（2）两个较小的平方和等于最大数的平方．
2． 判别一组数是否为勾股步骤：
（1）．看：看是不是三个正整数；
（2）．找：找最大数；
（3）．算：计算最大数的平方和两个较小数的平方和；
（4）．若两者相等，则这个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数．
【考点一】利用直角三角形的判定进行判断
【例1】
1．已知，，为的三边长，并且满足条件，试判断的形状．
【举一反三】
【变式1】
2．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
【变式2】
3．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【考点二】利用勾股定理的定义识别勾股数
【例2】
4．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）
A．16 B．17 C．25 D．64
【举一反三】
【变式1】
5．下列各组数是勾股数的是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式2】
6．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点三】勾股定理及其逆定理进行求角的度数和线段长度
【例3】
7．如图，在四边形中，，，，且，求的度数.
【举一反三】
【变式1】
8．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
【变式2】
9．已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长度．
【考点四】勾股定理及其逆定理解决面积问题（弦图问题）
【例4】
10．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．
【举一反三】
【变式1】
11．问题情境：把四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形拼成如图的两个正方形和，设每个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为S．
(1)尝试解决：请你写出、，S之间存在的关系；
(2)根据三角形和正方形的面积公式，试用含a，b，c的关系式表示、和S；
(3)合作探究：综合（1），（2）可得一个等式，对这个等式进行化简可以证明勾股定理，请你写出这个等式，并写出化简过程；
(4)若，，你能求出的值吗？试试看．
【变式2】
12．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
【考点五】勾股定理的证明
【例5】
13．将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理．
【举一反三】
【变式1】
14．我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，请你利用这个图形说明．
【变式2】
15．如图，已知C、B、D在同一条直线上，且．
(1)求证：；
(2)若设，试利用这个图形验证勾股定理．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形.
【分析】对已知等式运用因式分解变形，得到，即a-b=0或a2+b2=c2，通过分析判断即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
则a-b=0或a2+b2=c2，
当a-b=0时，△ABC为等腰三角形；
当a2+b2=c2时，△ABC为直角三角形．
当a-b=0且a2+b2=c2时，△ABC为等腰直角三角形．
综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解在几何中的应用问题；解题的关键是：灵活变形、准确分解、正确判断．
2．B
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．B
【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论．
【详解】解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键．
4．B
【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案．
【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，
∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，
故A＝17，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同．
5．A
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，是勾股数，符合题意；
B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、不是正整数，故不是勾股数，不符合题；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．
6．D
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出、的值，再求出答案即可．
【详解】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出，是解此题的关键．
7．.
【分析】首先根据勾股定理求出，然后由勾股定理逆定理可判定为直角三角形，问题得解.
【详解】如图，连接，
在中，.
因为，
所以，
在中，，
所以为直角三角形，，
所以.
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.
8．(1)△BDC为直角三角形，理由见解析；
(2)△ABC的周长为=cm．
【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；
（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．
【详解】（1）解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．
9．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先证明再结合证明 从而可得结论；
（2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度.
【详解】解：（1） ，
而
（2） ，，，
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键.
10．(1)见详解；
(2)见详解；
(3)52；
(4)24．
【分析】（1）运用等面积法计算即可；
（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法化简计算即可；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可；
（4）将风车周长表示出来，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可．
【详解】（1）证明：由图可知，每个直角三角形的面积为，
空白小正方形的面积为，
整个围成的大正方形的面积为，
∵，即，
故；
（2）如下图所示，连接大正方形一条对角线DE
可知 ，
其中，，，，
代入可得，，
即；
（3）由图2可知，，
∵，，
∴，
则=100，
∴，
故空白部分的面积为52；
（4）由题意可知，风车的周长为 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且，即，将c=9-b代入得，
，解得b=4，
则．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
11．(1)
(2)，，
(3)，化简过程见解析
(4)的值为6
【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和，可得得S、、的关系；
（2）根据，，求解即可；
（3）根据（1）（2）得，化简即得答案；
（4）把，代入求解即可．
【详解】（1）∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形面积的和，
∴；
（2），，；
（3）由（1）（2）的关系式可得：
，
∴；
（4）把，代入得
，
∴，
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，运用整体思想、方程思想是解题的关键．
12．24m2
【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答．
【详解】
解： 如图，连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝
＝
＝5m．
∴SRt△ADC＝＝6m2．
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∴，
∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴SRt△CAB＝＝30m2，
∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
13．(1)，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，求出，可得，问题得证；
（2）连接，，根据全等三角形的性质可得，，，然后根据梯形面积的不同表示方法得出等式，整理后即可验证勾股定理．
【详解】（1）解：；
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：连接，，
∵，
∴，，，
∴，
又∵
，
∴，
整理得：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，整式的混合运算，勾股定理等知识，掌握全等三角形对应角相等，对应边相等的性质是解题的关键．
14．证明见解析
【分析】根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
【详解】证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∴，
即．
【点睛】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意先证明，再根据全等三角形的判定方法进行判定即可．
（2）根据全等三角形的性质，得到，由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵C、B、D在同一条直线上，且，
∴四边形是直角梯形，
∴，
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
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