专题1.3探索勾股定理 分层练习提升篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.3 探索勾股定理（分层练习）（提升篇）
一、单选题
1．以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是（ ）
A．30 B．60 C． D．40
3．甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（ ）
A．50m B．70m C．250m D．350m
4．如图，小方格的面积是，则图中以格点为端点且长度为的线段有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
5．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）

A． B．3 C． D．4
7．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
8．如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为和，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）
A． B．
C． D．
10．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图内接于一个半径为5的半圆，，分别以，，为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
①3；4；5；
②5；12；13；
③7；24；25；
④9；40；41......
12．如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为a、b，若，小正方形的面积是1，则大正方形的面积是 ．

13．如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．

14．《九章算术》提供了许多勾股数，如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由8生成的勾股数的“弦数”是 ．
15．如图，在RtABC纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的长为 ．

16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ．
17．如图，中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，若，则的长为 ．

18．如图所示，等腰与等腰中，，，，则 .

三、解答题
19．如图，已知平分，且．
(1)求；
(2)若，求的面积．
20．如图，在矩形中，，点在边的延长线上，点是线段上一点与点，不重合，连接并延长，过点作，垂足为．
(1)若为的平分线．请判断与的数量关系，并证明；
(2)若，≌，求的长．
21．如图，在中，．

(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
22．如图，小区与公路的距离米，小区与公路的距离米，已知米，现要在公路旁建造一利民超市，使到、两小区的路程之和最短，超市应建在哪？
(1)请在图中画出点P；
(2)求的最小值．
23．在中，，，M是边的中点，过点M作交于点P，交于点Q，试求三者之间的数量关系，并证明你的结论．

24．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段上时，________．
②当点P在线段的延长线上时，________．
(2)当为直角三角形时，求t的值；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A.，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B. ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C.，是勾股数，故本选项符合题意；
D.，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数．
2．A
【分析】设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴，
∴．
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．C
【分析】根据题意，做出示意图，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示：
由题意，后，甲走过的路程为，乙走过的路程为，且，
在中，，
故选：C．

【点睛】本题考查勾股定理与方位角相关计算，掌握勾股定理，理解方位角的定义，准确构造直角三角形是解题关键．
4．A
【分析】根据常见的勾股数3、4、5，构造以3、4为直角边的直角三角形即可．
【详解】解：如图所示，共4条．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数的运用，解题的关键是结合图形运用勾股定理，注意不要超出图形的范围．
5．D
【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，

∴设小圆的半径为，大圆的半径，
∵像素，，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据折叠可知， ，
在中，，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．B
【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解．
【详解】解：连接BD，
根据勾股定理可得，，
即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键．
8．C
【分析】根据折叠可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】∵三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．B
【分析】作图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，整理即可求解
【详解】解：如图，
，
，
．
故选：B．
【点睛】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．
10．B
【分析】设AC=a，BC=b，由勾股定理可求得a2+b2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab，进而可求得△ABC的面积．
【详解】解：设AC=a，BC=b，由题意，AB=10，
∴a2+b2=102，
由图可知，空白部分面积为（），
阴影部分面积=
=
=
= ，
∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，
∴=3（），
解得：，
∴△ABC==，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．
11．11，60，61
【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
【详解】解：①，，，
②，，，
③，，，，
第组勾股数为：
，，，
第⑤组勾股数为，，，即11，60，61．
故答案为：11，60，61．
【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
12．13
【分析】不妨设直角三角形中较大直角边为b，较小直角边为a，斜边长为，由题意得小正方形的边长为，则，此式展开即可求得，从而可求得大正方形的面积．
【详解】解：不妨设直角三角形中较大直角边为b，较小直角边为a，
则小正方形的边长为，
由题意得：，
即，
∴，
由勾股定理可得：
即大正方形的面积为13
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理与几何图形，完全平方公式的变形应用，利用完全平方公式变形求出是解题的关键．
13．5
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．17
【分析】根据题意，按照步骤计算出由8生成的勾股数的“弦数”即可．
【详解】8是大于2的偶数
由8生成的勾股数的“弦数”是17
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查勾股数的定义和计算，根据数字的变化规律准确计算出结果是解题的关键．
15．
【分析】先由勾股定理求出，再根据翻折的性质可以得到，，设，则，由勾股定理，得，求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
由翻折可得：，，，
∴，
设，则，
由勾股定理，得
解得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．29
【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案．
【详解】解：由题意知，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
故答案为：29．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
17．
【分析】先设，即可得到，然后根据勾股定理即可计算出的长．
【详解】解：设，则，
，
，
，，
，
，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．10
【分析】连接，，证明从而得到，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，

，
，
在和中，
，
；
，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，证明是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得，再根据勾股定理求出，即可得答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
又，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明．
20．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，可得，即可得结论；
（2）由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）≌，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；
（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵直线是对称轴，
∴，
∵，设，则
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴
（2）解：∵直线是对称轴，
∴，，
∵，设，则，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)1000
【分析】（1）如图1：作关于的对称点，连接，交于，即可得到结果；
（2）由对称性得的最小值为线段的长，作于点，在△中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1：作关于的对称点，
连接，交于，
（2）解：由对称性得的最小值为线段的长，
作于点，在△中，
，，
，
的最小值．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，作图应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出的位置是本题的关键．
23．．证明见解析.
【分析】将沿着翻折得到，连接，由翻折可知，，，再利用证出，从而得出，，最后利用勾股定理和等量代换即可证出结论．
【详解】解：．证明如下：
如图，将沿着翻折得到，连接．

由翻折可知，，，，
∴P，M，三点共线．
∵M为边中点，
∴．
在和中
∴，
∴，．
又∵，
∴，
∴，即．
在中，
∵，
∴．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠问题，掌握全等三角形的判定及性质、利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．
24．(1)① ；②
(2)或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．
【详解】（1）∵，，，
∴．
∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动，
∴．
①当点P在线段上时，．
②当点P在线段的延长线上时，．
故答案为：①；②；
（2）①当为直角时，点P与点C重合，，即；
②当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得，
故当为直角三角形时，或；
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页