专题1.6一定是直角三角形吗 分层练习基础篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.6 一定是直角三角形吗（分层练习）（基础篇）
一、单选题
1．根据我国古代一部数学著作记载，在约公元前年，人们就已经知道如果勾是三、股是四，那么弦是五，这本数学著作是（ ）
A．《几何原本》 B．《本草纲目》 C．《周髀算经》 D．《山海经》
2．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（　　），却踩坏了花草．
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
3．一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙边，梯脚距墙底0.7m，这时梯子达到的高度是（ ）
A．2.5m B．2.4m C．2m D．1.8m
4．如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
5．美国总统伽菲尔德用如图所示的两个边长分别为a、b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成了一个梯形，用两个不同的方法计算梯形的面积，证明了勾股定理，这体现的数学思想是（　　）
A．分类讨论 B．数形结合 C．方程思想 D．转化思想
6．如图，若圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（ ）
A．49cm B．50cm C．54cm D．64cm
7．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．68 C．72 D．76
9．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔东南方向24m处有一建筑工地B，在A、B间建一直水管，则水管的长为（　　）
A．40m B．45m C．50m D．56m
10．△ABC中，AB=20，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 （ ）
A．54 B．44 C．54或44 D．54或33
二、填空题
11．有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是
12．如图，则阴影小长方形的面积S＝ ．
13．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ．
14．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高 米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于 米．

15．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（示意图如图，则水深为 尺．
16．如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”）
17．用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ．

18．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次综合实践活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则小正方形的面积是 ．
三、解答题
19．下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39．
20．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；，，.
根据你发现的规律，请求出：
（1）当时，，的值；
（2）当时，，的值.
21．光明小区有一块三角形空地，如图所示.经过测量发现米，米，米.物业部门欲对这块空地进行绿化，经咨询种植月季的价格是15元/平方米.试计算物业部门种植月季的投资为多少元
22．如图，在四边形中，为直角，，，，.
（1）试说明；
（2）求四边形的面积
23．第十六届江西省中小学智能机器人技能提升活动在南昌举行，来自全省的600多名选手在这里展开比拼．在这次活动中，踢足球的机器人可谓独占鳌头．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截球，并在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，求机器人行走的路程（的长）．
24．先阅读下面的材料，再解决问题.
【实际问题】如图1，一圆柱的底面半径为5cm，是底面直径，高为5cm，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的最短路线，小明设计了两条路线.
【解决方案】路线 1：侧面展开图中的线段，如图所示
设路线1的长度为，则.
路线2：高线底面直径.
设路线2的长度为，则.
为比较，的大小，采用“作差法”：
因为；
所以，所以，
所以小明认为路线2较短.
（1）【问题类比】小亮对 上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm，高为5 cm".请你用上述方法帮小亮比较出与的大小.
（2）【问题拓展】请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为cm，高为cm，蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短 请说明理由.
（3）【问题解决】如图是紧密排列在一起的2个相同的圆柱，高为5cm.当蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据基本的数学常识即可得．
【详解】解：勾股定理记载于《周髀算经》，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本的数学常识，解题的关键是留意生活中的知识以及书本上涉及到的常识．
2．B
【分析】先根据题意求出他们走出的“路”长，进而得到少走的距离．
【详解】根据勾股定理可得他们走出的“路”长是：
，
则少走的距离是，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．B
【分析】根据勾股定理求出梯子达到的高度，进而可得出结论．
【详解】解：∵一架2.5m长的梯子斜立在一竖直的墙边，梯脚距墙底0.7m，
∴这时梯子达到的高度是：=2.4（m）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
4．B
【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论．
【详解】解：由题意得：， ，，
∵，
∴，
∴∠BAC＝90°，
∴为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键．
5．B
【分析】根据伽菲尔德利用图形通过代数法表示面积证明勾股定理，是根据图形列等式体现了数形结合思想．
【详解】解：伽菲尔德利用图形通过代数法表示面积证明勾股定理，这体现了数形结合的数学思想．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法和数形结合思想，审清题意是解题的关键．
6．B
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，
则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长．
∵圆柱的底面周长是14cm，高是48cm，
∴AB2=142+482=196+2304=2500，
∴AB=50（cm）．
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，解题关键是把圆柱的侧面展开成矩形，化曲面为平面，用勾股定理解决．
7．B
【分析】根据勾股定理求解出最短路程即可．
【详解】最短路径
故答案为：B．
【点睛】本题考查了利用勾股定理求最短路程的问题，掌握勾股定理是解题的关键．
8．D
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后利用外围周长=即可求解．
【详解】
由题意可知
∵
∴
∴风车的外围周长是
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
9．A
【分析】东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【详解】解：∵在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝32m，OB＝24m，
∴AB＝＝40m．
故选A．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10．C
【分析】根据题意画出示意图进行分析判断，然后根据勾股定理计算出底边BC的长，最后求和即可.
【详解】（1）
在直角三角形ACD中，有
在直角三角形ADB中，有
则CB=CD+DB=5+16=21
所以三角形的面积为CB+AC+AB=21+13+20=54.
（2）
在直角三角形ACD中，有
在直角三角形ADB中，有
则CB=DB -CD =16-5=11
所以三角形的面积为CB+AC+AB=11+13+20=44.
故答案为D.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于以高为突破点把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况.
11．15
【详解】解：设第三个数是a，
①若a为最长边，则，不是整数，不符合题意；
② 若17为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，
故答案为15．
12．30
【分析】由勾股定理求出小长方形的长，再由长方形的面积公式进行计算．
【详解】由勾股定理得：=10，
∴阴影小长方形的面积S=3×10=30；
故答案是：30．
【点睛】考查了勾股定理；解题关键是利用勾股定理求出小长方形的长．
13．25
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，
由上图可知：，，
∴为最短路径．
则蚂蚁爬的最短路线长约为25．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
14．1
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：过点D作，如图所示，

∵，，，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：米，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
15．12
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
.解得，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
16．
【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵正方形a，c的边长分别为a和c，
∴，，
由正方形的性质得：，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴正方形b的面积为，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．
17．
【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积．
【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，，
则，，，
∵，
∴
，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
18．
【分析】在中，先根据勾股定理求出的长，再根据4个直角三角形是全等的，得出，从而得到小正方形的边长，进一步求出面积．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
个直角三角形是全等的，
，
小正方形的边长，
小正方形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．（1）（4）可以作为直角三角形的三边长，见解析
【分析】根据如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】解：（1），能组成直角三角形；
（2），不能组成直角三角形；
（3），不能组成直角三角形；
（4），能组成直角三角形．
所以第（1），（4）组数据能组成直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
20．（1），；（2），.
【分析】题目明确告诉我们：“观察下列勾股数”，就是说这些数据一定都是勾股数，即满足a2+b2=c2；
再进一步观察猜想其规律，可以发现第二个数总是比第三个数小1，从而可以利用第二个数将第三个数表示出来，即c=b+1；由a的值和规律c=b+1，利用a2+b2=c2，即可列出关于b的方程，由方程的解可得到第（1）、（2）两小题中b、c的值.
【详解】（1）通过观察可知，，
所以，解得，
因此.
（2）根据题意，得，
即，解得，.
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，掌握勾股定理.
21．9000元
【分析】先根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，再根据直角三角形面积公式得到的面积，从而得到答案.
【详解】在中， ，，
所以.
所以是直角三角形，且.
所以（平方米）.
，
所以物业部门种植月季的投资为9000元.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形面积公式，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理和直角三角形面积公式.
22．（1）见解析；（2）四边形的面积为.
【分析】（1）首先根据勾股定理求出BD的长，然后根据勾股定理逆定理判定为直角三角形即可；
（2）分别求出和的面积即可.
【详解】（1）因为为直角，所以，
因为，，所以.
因为，
所以为直角，所以
（2）的面积为，
的面积为，
所以四边形的面积为
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理求出BD的长是解题关键.
23．25cm
【分析】根据题意可得到直角三角形，利用勾股定理列式，解出即可；
【详解】解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
所以．设，则．
在中，根据勾股定理，可得
解得，
所以机器人行走的路程为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
24．（1）路线1较短；（2）路线2较短；（3）半径为
【分析】（1）将解决方案中的数字替换成所给数字计算即可；（2）将解决方案中的数字替换成r,h表示出，作差根据题意可得满足的条件；（3）用含r的式子表示出，根据题意列出等式求出r即可.
【详解】解：（1）因为圆柱的底面半径为1cm，高为5cm，
所以路线1：；
路线2：，则
因为，
所以，所以，
所以路线1较短
（2）因为圆柱的底面半径为cm，高为cm，
所以路线1：，
路线2：，
所以.
因为恒大于0，所以当，即时，，
此时路线2较短
（3）圆柱的高为5 cm.
路线1：，
路线2：，
由题意，得，
解得
即当圆柱的底面半径为时，蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点的两条路线长度相等.
【点睛】本题考查了勾股定理在蚂蚁爬行最短路径问题中的应用，属于模仿题型，准确理解题中所给解决方案中的思路步骤是解题的关键.
答案第1页，共2页
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