专题1.9勾股定理的应用 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.9 勾股定理的应用（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】几何体上的最短路线
1.圆柱上的最短路线：求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求一个平面上的对应线段的长
其一般步骤
（1）将圆柱的侧面展开为一个长方形；
（2）确定相应点的位置；
（3）连接相应点，构造直角三角形；
（4）利用勾股定理求解
2.长方体的最短路线：求长体上A、B两点之间距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式
（1）如图①右侧面向前展开，此时
（2）如图②上底面向前展开，此时
（3）如图③上底面向左展开，此时
总结得出：若ab3.几何体上最短路线在圆柱中的应用
【知识点2】勾股定理的实际应用
4.求梯子与旗杆的高度
5.求小鸟飞行的距离
6.求大树折断前的高度
7.求水杯中的筷子问题
8.解决航海问题
9.求河宽
10.求台阶上地毯的长度
11.汽车超速问题
12.台风问题
【考点一】几何体上的最短路线
【例1】
1．有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高是5米）
【举一反三】
【变式】
2．葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？
(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？
【例2】
3．如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长．
【举一反三】
【变式】
4．如图，在一个长米，宽米的长方形草地上放着一根长方形木块，已知该木块的较长边和草地宽平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米？
【例3】
5．如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．
【举一反三】
【变式】
6．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 多少cm？
【考点二】求梯子与旗杆的高度
【例4】
7．一架方梯长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙长米，如果梯子的顶端下滑米至，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【举一反三】
【变式】
8．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
【考点三】求小鸟飞行的距离
【例5】
9．如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？
【举一反三】
【变式】
10．如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
【考点四】求大树折断前的高度
【例6】
11．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处，已知旗杆原长米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由．
【举一反三】
【变式】
12．我国古代数学著作《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高尺，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？意思是：如图，有一根竹子，原高尺，一阵风将竹子折断，折断后竹子顶端落在离竹子底部尺远的位置，求折断处离地面的高度．

【考点五】求水杯中的筷子问题
【例7】
13．一株荷叶高出水面米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．
【举一反三】
【变式】
14．我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

【考点七】航海问题
【例8】
15．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船与货船的速度比为，出发1小时后，客船比货船多走了10海里．客船沿北偏东25°方向航行，2小时后货船到达处，客船到达处，若此时两船相距100海里．
(1)求两船的速度分别是多少？
(2)求货船航行的方向．
【举一反三】
【变式】
16．如图，一艘轮船要从A出发，自西向东航行，开往距它14海里的B处，海中有一小鸟C该岛四周8海里内有暗壁，已知A、C相距15海里，B、C相距13海里，小明认为轮船继续向东航行途中会有触礁危险，抖音上的老张谈数学老师则认为不会有危险你认为谁说的对？请说明理由
【考点七】求河宽
【例9】
17．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【举一反三】
【变式】
18．湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得米，米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
【考点八】求台阶上地毯的长度
【例10】
19．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【举一反三】
【变式】
20．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【考点九】汽车超速问题
【例11】
21．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，若规定小汽车在该城市街路上的行驶速度不得超过，则这辆小汽车超速了吗？ (参考数据转换：)
【举一反三】
【变式】
22．如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．
(1)求，间的距离；
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【考点十】台风问题
【例12】
23．为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．
(1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．
(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间
【举一反三】
【变式】
24．如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．梯子最短要13米
【分析】要求梯子的最短长度，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果．
【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接，如图所示：
根据两点之间线段最短，梯子最短是：
（米），
答：梯子最短是13米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．
2．(1)50cm
(2)300cm
【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程．
（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．
【详解】（1）解：如图，
树干的周长即底面圆的周长为30cm
cm
葛藤升高40cm
cm
由勾股定理得 cm
所以，葛藤爬行的路程是50cm
（2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm
cm
葛藤绕一圈爬行50cm
cm
由勾股定理得绕行1圈的高度
爬行10圈到达树顶
树干高 cm
所以，树干高为300cm
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长．
3．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：①如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：，此时；
①如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：；
∵，
∴从处爬到处的最短路程是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
4．最短路程是10米
【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽米．
于是最短路径为：米．
答：最短路程是10米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理求最短路径问题，两点之间线段最短，掌握勾股定理是解题的关键．
5．130cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点，根据两点之间线段最短可知B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，连接B交EC于F，则B即为最短距离．
∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，
∴D＝50cm，BD＝120cm，
∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm．
【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
6．15cm
【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长．
【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示
则DB=AD=4cm
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm
∴DE=DH－EH=12－4=8(cm)
∴BE=DE+DB=8+4=12(cm)
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm
【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想．
7．
【分析】已知墙与地面为直角，利用勾股定理得到梯子斜靠墙不滑时，地面到梯子高端的距离，再利用勾股定理求得梯子的顶端下滑了米时梯子底端到墙的距离，从而求得梯子底部水平滑动的距离．
【详解】解：有梯子长为米，梯子离墙米，由所在直角三角形另一边为：米．
梯子下滑后梯子高端距地面为米，由所在直角三角形中梯子低端与墙距离为米．
所以梯子的底部在水平方向上滑动为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．15米
【分析】设树高米，求得的长，再根据求得的长度，然后在直角中由勾股定理建立方程求解即可；
【详解】解：设树高米，则米，
由题意得：米，
∴米，
∵树垂直于地面，
∴在直角中由勾股定理可得：，
∴，
化简得：，
解得：，
∴树高为15米；
【点睛】本题考查了线段的和差，勾股定理等知识；利用勾股定理建立方程是解题关键．
9．两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m．
【分析】根据题意结合勾股定理得出，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
则，
故，
解得：，
则，
答：两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出是解题关键．
10．树高为9米．
【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：由题意知，且米，米，
设米，则米，
在中：，
即，
解得，
故树高为米．
答：树高为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键．
11．旗杆在离底部6米的位置断裂
【分析】设旗杆在离底部米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，此题得解．
【详解】解：设旗杆在离底部米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．
米，米，
米．
在中，米，米，米，
，即，
解得：．
故旗杆在离底部6米的位置断裂．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．
12．4尺
【分析】设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，
则尺，尺．
在中，，
即，
解得：，
即折断处离地面的高度为4尺．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
13．荷叶的高度为5米，水面的深度为4米．
【分析】设米，则米，在中，利用勾股定理得：，解方程即可．
【详解】解：设米，则米，米，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
解得，
∴(米)，(米)，
答：荷叶的高度为5米，水面的深度为4米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建立方程是解题的关键．
14．水深12尺，芦苇的长度是13尺
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺，
由勾股定理：，
解得：，
∴，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
15．(1)客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时
(2)货船航行的方向为南偏东
【分析】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依据客船1小时比货船多走10海里，列方程求解即可；
（2）依据，可得是直角三角形，且，再根据货船航行方向，即可得到客船航行的方向．
【详解】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，根据题意得
解得
∴，
即客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时；
（2）∵海里，海里，海里
∴
∴
∵
∴
即货船航行的方向为南偏东
【点睛】本题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出的长是解题的关键．
16．老张谈数学老师说的对，理由见解析．
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD＝x海里，则BD＝（14 x）海里，根据勾股定理可得，求出AD，进而可得CD，然后判断即可．
解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：老张谈数学老师说的对；
理由：如图，过C作CD⊥AB于D，
设AD＝x海里，则BD＝（14 x）海里，
在Rt△ACD中，，
在Rt△BCD中，，
∴，
∴，
解得：x＝9，
∴，
∵CD＝12（海里）＞8（海里），
∴没有危险，即老张谈数学老师说的对．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
17．(1)米
(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离．
（2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），
（秒），
（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
18．（1）A，B两点间的 距离是40米；（2）点B到直线AC的距离是24米．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）因为是直角三角形，
所以由勾股定理，得．
因为米，，所以．
因为，所以米．
即A，B两点间的 距离是40米．
（2）过点B作于点D．
因为，
所以．
所以（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
19．(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
20．
【分析】把原图形展开可得一个直角三角形，利用勾股定理求出AB即可求解．
【详解】解：展开后由题意得，如图所示：
在中，∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，BC＝55，
由勾股定理得：AB＝＝＝73cm，
答：一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有73cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．超速了
【分析】求小汽车是否超速，其实就是求的距离，直角三角形中，有斜边的长，有直角边的长，那么的长就很容易求得，根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
；
这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长是解题关键．
22．(1)
(2)没有超速，理由见解析
【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可．
【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边，
根据勾股定理可得．
答：，间的距离为．
（2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下：
，
而，
，
所以这辆小汽车没有超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据村庄到公路的距离为米米，即可得出村庄能听到广播宣传．
（2）根据勾股定理得到米，求得米，即可得出结果．
【详解】（1）解：村庄能听到广播宣传，理由如下：
村庄到公路的距离为米米，
村庄能听到广播宣传．
（2）如图：假设当宣传车行驶到点开始能听到广播，行驶到点刚好不能听到广播，
则米，米，
由勾股定理得：米，
米，
能听到广播的时间为：分钟，
村庄总共能听到的宣传．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．
24．学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为10秒
【分析】过点A作于点B，则可得，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得，从而，由勾股定理可求得的长，从而得的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．
【详解】解：如图，过点A作于点B，
∵，，
∴，
∵，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则，
又∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵汽车的速度为，
∴受影响的时间为：．
【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点．
答案第1页，共2页
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