专题1.14勾股定理（全章复习与巩固）分层练习基础篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.14 勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（基础篇）
一、单选题
1．下面的四组数中不是勾股数的一组是（ ）
A．5，8，10 B．5，12，13 C．6，8，10 D．3，4，5
2．一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么它斜边长的平方为（　　）
A．5或7 B．25 C．25或16 D．5
3．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A．25 B．30 C．35 D．40
4．在中，，，的对边分别是，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口1.5后，两轮船相距（ ）
A．30海里 B．35海里 C．40海里 D．45海里
6．一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（ ）.
A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
8．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3=60，则S2的值是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．勾股数为一组连续自然数的是
12．在中，斜边，则 ．
13．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是 cm2
15．如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是
16．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．
17．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为 ．

18．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．

三、解答题
19．如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长度．
20．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
21．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
（1）试说明；
（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
22．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
(1)求小岛两端A，B的距离．
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
23．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
24．在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据勾股数的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，不是勾股数，故符合题意；
B、，是勾股数，故不符合题意；
C、，是勾股数，故不符合题意；
D、，是勾股数，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．
2．C
【分析】分两种情况考虑，当3和4是直角边时，根据勾股定理求出斜边的平方即可，当4是斜边时，直接计算斜边长的平方即可．
【详解】解：当3和4是直角边时，
根据勾股定理得斜边的平方，
当4是斜边时，斜边的平方．
故斜边长的平方为25或16．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，注意此类题需要进行分类讨论．
3．A
【分析】利用勾股定理，这两个正方形的面积和等于即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴正方形和正方形的面积和为，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
4．C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：，，的对边分别是，，，，
为斜边，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
5．D
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了27，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】∵两船行驶的方向是西南方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了18×1.5＝27，24×1.5＝36海里，
根据勾股定理得：＝45（海里）．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
6．C
【分析】根据放大后的三角形与原三角形的周长关系进行求解即可．
【详解】解：设原来直角三角形的三边长分别为a、b、c，则周长为，
将直角三角形的边长扩大1倍后，三角形的三边长分别为，
周长为，
∴直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，故爬行时间扩大一倍．
故这只蚂蚁再沿边长爬行一周需4秒．
故选：C
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据题意得到直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，是解决此题的关键．
7．C
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵是直角三角形，，，
∴
∴这棵树原高：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答．
8．B
【分析】根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．
【详解】如图所示，
∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，
∴由题意可得，
＝S正方形DEFA－
故选：B．
【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．
9．B
【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m＋S ，S ＝S 4m，依据S ＋S ＋S ＝60，可得4m＋S ＋S ＋S 4m＝60，进而得出S 的值．
【详解】设每个小直角三角形的面积为m，则S ＝4m＋S ，S ＝S 4m，
因为S ＋S ＋S ＝60，
所以4m＋S ＋S ＋S 4m＝60，
即3S ＝60，
解得S ＝20．
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
10．A
【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解．
【详解】解：
赵爽弦图，是个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，中间小正方形的边长为，
∴选项，是赵爽弦图，符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查对赵爽弦图的理解，掌握勾股定理的证明方法，赵爽弦图证明勾股定理的方法是解题的关键．
11．3、4、5
【分析】根据勾股数的定义若两个较小自然数的平方和等于另一个自然数的平方，那么这三个自然数叫做一组勾股数即可解答．
【详解】解：根据题意：
，
所以3、4、5为勾股数．
故答案为：3、4、5．
【点睛】此题考查的知识点是勾股数，关键是明确题意，直接写出答案．
12．2
【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案．
【详解】∵在中，斜边
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中．
13．
【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】设AB边上的高为h
如图，由网格的特点得：
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．
14．81
【详解】解：根据勾股定理知正方形A，B，C，D的面积的和是92=81cm2．
故答案是：81．
15．
【分析】首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，
∴，
设，则，故，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
则
在中，
由勾股定理得
∴AC=5
∴周长为AD+CD+AB= ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
16．2cm
【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°，
∴，
露出杯口外的长度最少为=15-13=2cm．
故答案为：2cm．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，能将实际情况于勾股定理巧妙结合是解题关键．
17．13m##13米
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，

台阶平面展开图为长方形，，，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：，
即，
，
故答案为：m．
【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
18．
【分析】当木棒的上端与墙头平齐时，木棒与墙、地面构成直角三角形，设木棒长为x尺，则木棒底端离墙有（x-4）尺，根据勾股定理可求出x的值．
【详解】解：如图，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长有（x-4）尺，

在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-4）2=x2，
解得，x=14.5,
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19．(1)见详解
(2)12
【分析】（1）根据，，得出∠AEB=∠ADC=90°，利用AAS可证△ABE≌△ACD；
（2）先根据勾股定理求出BE，然后结合△ABE≌△ACD即可得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS） ；
（2）解：在Rt△ABE中，BE=，
由（1）知△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=12 ．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．
20．这辆小汽车超速了．
【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
【详解】解：根据题意：∠ACB= 90°
由勾股定理可得：
BC=米
40米= 0.04千米，
2秒=小时；
0.04÷= 72千米/时> 70千米/时；
所以超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可．
21．（1）证明见解析；（2），，之间的关系是．理由见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．
【详解】（1）由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），，之间的关系是．理由如下：
由（1）知，由折叠的性质，
得，，．
在中，，
所以，所以．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
22．(1)33.4海里
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求出CD，再根据斜边的中线等于斜边的一半求出BE，则AB可求；
（2）设BF＝x海里．利用勾股定理先表示出CF2，在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，利用勾股定理有CF2＋EF2＝CE2，即，解方程即可得解．
【详解】（1）在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，
由勾股定理可得（海里），
∵B是CD的中点，
∴（海里），
∴AB＝BE－AE＝50－16.6＝33.4（海里）
答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；
（2）设BF＝x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，
∴CF2＝CB2－BF2＝502－x2＝2500－x2，
在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，
∴CF2＋EF2＝CE2，即，
解得x＝14，
∴
答：值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键．
23．
【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
24．当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【分析】当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时t的值即可．
【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，
由题意得：BP＝tcm．，
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得，
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页