专题1.15勾股定理（全章复习与巩固）分层练习提升篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.15 勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（提升篇）
一、单选题
1．下列各组数为勾股数的是( )
A． B． C． D．
2．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6 B．8 C．13 D．
3．在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，则ED的长为（ ）
A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．10
4．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
5．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，．以A为圆心，的长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点P．连接，并延长交于D．过D作于点E，垂足为E，则的长度为（）
A． B． C．2 D．1
7．如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则＝（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．8
8．如图，在△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
9．如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A． B． C． D．
10．我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺
二、填空题
11．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是 cm2．
12．如图，在方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是 ．
13．如图，三角形中，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ．
14．如图，在中，，，，D为BC边上一点将沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为 ．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为 ．
16．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为 cm（容器壁厚度忽略不计）．
17．如图，长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为
18．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ．

三、解答题
19．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，．
(1)求修建的公路的长；
(2)若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？
20．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由．
（2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律 与同伴进行交流．
21．如图，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求证：
(1)△BEC为等边三角形；
(2)ED⊥CD．
22．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2＋b2＝c2
23．【证明体验】
(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
24．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E，延长AB'与直线CD交于点M．
(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=4时，求CM的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
【详解】解：A．，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
B．，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
C．，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D．，不能构成直角三角形，故不是勾股数．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
2．D
【分析】利用勾股定理和等积法进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
直角三角形的斜边长为：，
设斜边上的高为：，
由直角三角形的面积相等可得：，
解得：；
故选D．
【点睛】本题考查的勾股定理的应用，求直角三角形斜边上的高．熟练掌握等积法是解题的关键．
3．B
【分析】延长到，使得，连接．证明，得到，，结合已知证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】解：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4．A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
5．A
【分析】设根据，在中，由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
在中，，
∴为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长．
6．A
【分析】直接利用基本作图方法得出：，再利用全等三角形的判定与性质得出，结合勾股定理得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得：，
在和中，
设，
则，
故，
解得∶．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
7．A
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【详解】解：如图，观察发现，
∵，
∴，，
∴，
在与中，，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
即，
同理，，
则，
则．
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．解决本题的关键是得到．
8．B
【分析】由三角形中位线的性质易得△DEF的三边长，再由勾股定理的逆定理证出△DEF是直角三角形，然后由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点
∴EF，DE，DF都是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，
又∵AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，
∴EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），
∵1.52+22=2.52，
∴DE2+DF2=EF2，
∴△EDF为直角三角形，
∴S△EDF=DE DF=×1.5×2=1.5（cm2），
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理的逆定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理的逆定理证出△DEF为直角三角形是解题的关键．
9．A
【分析】根据勾股定理，可求出AD长，再证明△ADC≌△BDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
【详解】解：点C为线段AB的中点，
∴AC=AB=4cm，
Rt△ACD中， CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5(cm)；
∵CD⊥AB，
∴∠DCA=∠DCB=90°，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴AD=BD=5cm,
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
∴橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，解题的关键是勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，灵活运用所学知识解决问题．
10．D
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可
【详解】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
∵，
∴，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
11．24
【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面职为即可得出结果．
【详解】解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），
故答案为：24．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
12．5
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，在中，，，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键．
13．
【分析】当时，的值最小，利用等面积法求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵点到直线，垂线段最短，
∴当时，的值最小，
此时：，即：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查垂线段最短．熟练掌握点到直线，垂线段最短，利用等积法求斜边上的高，是解题的关键．
14．3
【分析】根据勾股定理可以得到AC的长，然后根据翻折的性质和勾股定理，即可求得CD的长．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∵将△ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，
∴AE=AB=10，BD=ED，
∴CE=AE-AC=10-6=4，
设CD=x，则BD=8-x，
∵∠DCE=90°，
∴CD2+CE2=ED2，
即，
解得x=3，
∴CD=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
15．4
【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【详解】解：直角三角形直角边的较短边为=6，
正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
16．34
【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.
【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.
根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），
∴（cm），
即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.
故答案为34.
【点睛】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；
17．15
【分析】作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．运用勾股定理求即可．
【详解】
如图：作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．
长方形中，，F为的中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质及运用，能够熟练掌握并运用将军饮马模型是解题关键．
18．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，，又再折叠纸片，使点与点重合，得，，即可得，，设，则，可得，即可解得．
【详解】解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
19．(1)修建的公路CD的长为
(2)总路程为
【分析】（1）根据题意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；
（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
，
∴，
∴，
∴修建的公路CD的长为；
（2）解：∵，
∴，
根据题意可得：，，
∴，
∴，
∴总路程为．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键．
20．（1）正确，见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数加奇数为偶数即可判断；
（2）发现当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数．
【详解】（1）勾股数中一定有一个是偶数，
如果全部为奇数，为偶数，而为奇数，两者不可能相等，
即一定存在一个偶数．
（2）勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，
理由如下：
不妨令最大整数为，跟它连续的整数为，
根据勾股定理有，
，
即最小数的平方为奇数．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，奇数加奇数是偶数．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在Rt△ABE中，求得AE＝2，BE2＝12，从而有BE＝BC，即可得出△BEC为等边三角形；
（2）求得DE2+CD2＝12＝EC2，所以△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，即可解决问题．
【详解】（1）证明：根据题意可得：在Rt△ABE中，
∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝30°．
∵AB＝4，
∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2﹣AE2＝12．
又∵BC2＝12，
∴BE＝BC．
又∵∠CBE＝60°，
∴△BEC为等边三角形．
（2）∵△BEC为等边三角形，
∴EC2＝BC2＝12．
又∵DE2＝9，CD2＝3，
∴DE2+CD2＝12＝EC2，
∴△CDE为直角三角形，且∠D＝90°，
∴ED⊥CD．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和其逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
22．证明见解析
【分析】根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明
【详解】证明：①左图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形，
；
②右图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了边长为a的一个正方形，边长为b的一个正方形，还有四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，
；
综上所述：，即．
【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
23．(1)见解析
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据证明三角形全等；
（2）如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解决问题；
（3）如图3中，延长到，使得，连接．证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
在和中，
，
；
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．(1)见解析
(2)
(3)或 21
【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解；
（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，如图所示，则，；
第二种情况，点在线段上，如图所示，则，
在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴ABCD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝MF；
（2）∵点E是边BC的中点，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，，
∴ABCD，，
∴∠F＝∠BAF，
又∵，
∴，
∴，
设，则由（1）知，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）当时，设，应分两种情况：
第一种情况，点在线段上，如图所示，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴的长为；
第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示，则，
∴在中，，
∴，解得，
∴的长为
综上可知，当CF=4时，CM的长为或 21
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，分类讨论的思想是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页