专题1.18用勾股定理解决折叠问题 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.18 用勾股定理解决折叠问题（分层练习）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
2．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为
A．5 B．4
C．4. 25 D．
3．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（ ）
A．13 B．12 C．10 D．8
4．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　）
A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4
5．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接．若，则的长度为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，是的中线，，把沿翻折，使点C落在点的位置，若，则=

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为 ．
9．如图，在中，点D在BC边上，，且，将沿AD折叠，点C落在点处，连接，若，则BC的长为 ．
10．如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为 ．
11．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ，，，则 的长为 ．
12．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A、B、C、D各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形中，，那么 ， 才能实现上述的折叠变化．
三、解答题
13．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.
（1）试说明；
（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.
14．如图，将长方形的边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，若，，求．
15．如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，
(1)试说明
(2)求的长
16．如图，在中，，，把进行折叠，使点A与点D重合，，折痕为，点E在上，点F在上，求的长．
17．在中，，，，，分别是和上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
(1)如图1，如果点恰好与顶点重合，求的长；
(2)如图2，如果点恰好落在直角边的中点上，求的长．
18．综合与实践动手操作：用矩形下的折叠会出现等腰三角形，快速求BF的长．
（1）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=9，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则等腰三角形是 ；
（2）利用勾股定理建立方程，求出BF的长是多少？
（3）拓展：将此矩形折叠，使点B与DC的中点E重合，请你利用添加辅助线的方法，求AM的长；
19．如图，在中，．

(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
20．在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为________；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为__________；
操作二：如图2，李同学拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．
21．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC,
（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；
（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长．
22．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
(1)如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
(2)如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
23．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．
（1）求BF的长；
（2）求CE的长．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．
(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；
(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；
(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示)
25．如图，折叠长方形的一边，使点D落在BC边上的点F处，，．
(1)求的长；
(2)求的长．
26．如图，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，，
(1)判断的形状并说明理由；
(2)求的面积．
27．如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、．

(1)求证：；
(2)当点P在边上移动时，求证：的周长是定值；
(3)当的长取最小值时，求的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
2．D
【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．
【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AB=6，
∵A1为BC的中点，
∴A1B=3，
设AE=A1E=x，则BE=6-x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=，
故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．
3．A
【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设为x，则为，
∵四边形为长方形
∴，
∴在中由勾股定理有
即
化简得
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．
4．A
【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度
【详解】解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
D=AD=5，
在Rt△CD中，D2=C2+CD2，
即52=（5-B）2+32，
解得B=1，.
当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3，
则点A'B最小值和最大值分别为1和3
故选：A
【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
5．B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN MN＝-=．
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
6．A
【分析】由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
由折叠可得，，，
故选：A．
【点睛】本题只要考查折叠问题中勾股定理的运用，在这类问题中利用勾股定理构造方程是常用的方法．
7．
【分析】首先证明线段且平分，然后求出线段的长即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．

由题意得，
∵是的中线，，
∴；
由折叠的性质可知，；
∴是的垂直平分线，
∴；
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理与折叠问题，正确理解题意是解题的关键．
8．
【分析】先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
9．
【分析】根据题意，设，则，由，可得，中勾股定理建立方程解方程求解即可
【详解】解：∵，将沿AD折叠，点C落在点处，
∴
设，则，由，可得，
在中，，
即
解得（负值舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意求得是解题的关键．
10．1或.
【分析】过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝5，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
∴四边形DCMN是矩形
∴AN＝BM＝＝5
∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，
∴AE＝A'E，
若A'C＝BC，且CM⊥AB
∴BM＝A'M＝5
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣10＝2
∴AE＝1
若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，
∵CH2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，
∴36﹣25＝A'B2﹣（5﹣A'B）2，
∴A'B＝
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣＝
∴AE＝
故答案为1或
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
11．cm##2.4cm．
【分析】由折叠的性质得出∠BDC=∠BDC′=∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，求出∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=90°，DC'⊥AB，由勾股定理得出BE==5cm，由三角形面积即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°，
由折叠的性质得：∠BDC=∠BDC′=∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，
∴∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=×180°=90°，DC'⊥AB，
∴BE===5（cm），
∵△BDE的面积=BE×DC'=DE×BD，
∴DC'=（cm）；
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
12． 30 39
【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2，以及AB+AD=CD+BC，进而组成方程组求出即可．
【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2，
即（6+BC）2+152=AD2①，
又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC，
即6+AD=15+BC②，
联立①②组成方程组得：
，
解得：，
故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化，
故答案为：30，39．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．
13．（1）证明见解析；（2），，之间的关系是．理由见解析．
【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．
【详解】（1）由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），，之间的关系是．理由如下：
由（1）知，由折叠的性质，
得，，．
在中，，
所以，所以．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
14．．
【分析】由折叠可知，在，由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠的性质可得出可得出；
（2）根据全等三角形的性质可得出，设，则，
中，根据勾股定理，可得到x的值．
【详解】（1）解：根据折叠可知：，
∴．
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
16．
【分析】连接，，在中，根据折叠的性质和勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，，
∵，，
∴，
由折叠得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质和勾股定理的运用，根据折叠前后两个三角形全等，得到对应边相等进而求出是解题的关键．
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到=BE，在中利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：在中，，，
∴
根据折叠的性质，
∴
∴AE=BE
设为x，则：AE=BE =8-x
在中：
解得：x=
即的长为：．
（2）解：∵点是直角边的中点
∴=
根据折叠的性质，
∴
∴=BE
设为x，则：=BE =8-x
在中：
解得：x=
即的长为：．
【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
18．（1）是等腰三角形；（2）；（3）AM的长为.
【分析】（1）证明可知，即是等腰三角形；（2）可设，则，在中，根据勾股定理可求解；（3）连接ME，可设,则，在根据勾股定理分别表示出
，等量代换，可得x的值，即AM的长.
【详解】（1）是等腰三角形
四边形ABCD是矩形
由折叠的性质得：
是等腰三角形
（2）设，则
在中，根据勾股定理得
解得
（3）连接ME，设,则，由折叠性质得
E为DC的中点
在中，根据勾股定理得
在中，根据勾股定理得
解得
所以AM的长为
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活的用同一个未知数表示直角三角形边之间的关系，利用勾股定理求线段长是解题的关键.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；
（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵直线是对称轴，
∴，
∵，设，则
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴
（2）解：∵直线是对称轴，
∴，，
∵，设，则，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
20．操作一（1）12cm（2）36°；操作二BE=2.8
【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD=AD，于是AD+DC=BC，从而可知△ACD的周长=BC+AC；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，由翻折的性质可知∠CBA=2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x=90°，据此求解即可．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE=DA，最后根据BE=AB-DE-AD计算即可．
【详解】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD=AD，
∴AD+DC=BC=7．
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12cm．
故答案为：12cm；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x．
由翻折的性质可知：∠BAD=∠CBA=2x，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴x+2x+2x=90°．
解得：x=18°．
∴2x=2×18°=36°．
∴∠B=36°．
故答案为：36°；
操作二：在Rt△ABC中，AC=．
由翻折的性质可知：ED=AD，DC⊥AB．
∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴10CD=6×8．
∴CD=4.8．
在Rt△ADC中，AD= ．
∴EA=3.6×2=7.2．
∴BE=10-7.2=2.8．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
21．（1）；（2）
【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x，在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，列式计算求出x的值即可；
（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，由全等三角形的判定得△DGC≌△HBG，由全等三角形的性质得DC＝BH，∠CBH＝∠DCB，由平行线的判定得AC//BH及∠A＝∠HBF，由折叠知∠A＝∠F，得∠HBF＝∠F，HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，列式计算即可求出AD的长
【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x．
在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2，
解得x＝，AD的长为；
（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H．
在△DGC与△HBG中，
∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG，
∴△DGC≌△HBG．
∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB，
∴ AC//BH．
∴∠A＝∠HBF．
由折叠可知∠A＝∠F，
∴∠HBF＝∠F．
∴HB＝HF．
设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，
∴DG＝DH＝(8－y－y) ＝4－y，
在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2，
解得y＝，
∴AD=8－y＝，即AD的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
22．(1)CD=；
(2)CD=3
【分析】（1）利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后利用周长求得答案；
（2）利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）由折叠可知，AD=BD，设CD=x，则AD=BD=8-x，
∵∠C=90°，AC=6，
∴，
∴x=
∴CD=
（2）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
由折叠可知，AE=AC=6，CD=ED，∠AED=∠C=90°，
∴BE=10－6=4，设CD=x，则DE=x，BD=8－x，
∴，
∴x= 3，
∴CD= 3
【点睛】本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．
23．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在ABF中，由勾股定理得：，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在CEF中，由勾股定理得：，
∴，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
24．（1）∠CBD=20°；（2）AD=；(3) △BCD的周长为m+2
【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；
（3）根据三角形ACB的面积可得，
进而得到AC BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．
【详解】（1）
∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；
（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴AD=DB，
设CD=x，则AD=BD=8-x，
在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，
x2+62=（8-x）2，
解得：x= ，
AD=8-=；
（3）∵△ABC 的面积为m+1，
∴AC BC=m+1，
∴AC BC=2m+2，
∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，
∴CA2+CB2+2AC BC=BA2+2AC BC，
∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD的周长为m+2．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的折叠和勾股定理求出的长即可；
（2）先求出的长，设，则，，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形为长方形，
∴，，，
根据折叠可知，，
在中，根据勾股定理可得：
．
（2）解：∵；
设，则，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握准确计算是解题的关键．
26．(1)是等腰三角形，理由见解析；
(2)
【分析】（1）由折叠得，由得，从而；
（2）在中，用勾股定理列方程求出，则可得的面积，即可求解．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得即，
解得：，
所以，
所以．
所以的面积为6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理的应用．熟记相关结论是解题关键．
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2．
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出，进而利用平行线的性质得出即可得出答案；
（2）首先证明，进而得出，即可得出；
（3）过F作，垂足为M，则，证明，设，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出和，结合二次函数的性质求出最值．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，
∴．
又∵，
∴．
即．
又∵，
∴∠APB=∠PBC．
∴．
（2）证明：如图2，过B作，垂足为Q．

由（1）知，
又∵，，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴．
又，，
在和中，
，
∴，
∴．
∴的周长为：．
∴的周长是定值．
（3）解：如图3，过F作，垂足为M，则．

又∵为折痕，
∴．
∴，
∴．
又∵，
在和中，
，
∴．
∴．
设，
在中，．
解得，
∴，
∴．
当时，取最小值，
∴．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
答案第1页，共2页
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