专题1.21勾股定理中的方程思想 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.21 勾股定理中的方程思想（分层练习）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习
1．的三边长分别为，，，若该三角形是以为斜边的直角三角形，求的值．
2．在中，，、、的边分别为a、b、c．
(1)若，，求a，b的值．
(2)若，，求a的值．
3．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段上时，________．
②当点P在线段的延长线上时，________．
(2)当为直角三角形时，求t的值；
4．春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？
5．一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到）
6．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度．
7．如图，在中，长比长大1，，D是上一点，，．
(1)求证：；
(2)求长．
8．在中，已知，求代数式的值.
9．如图，中，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长．
10．如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？

11．如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面与点D，主梁上有两根拉索分别为．
(1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索______米，主梁______米；
(2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．
12．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长．
13．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．
14．如图所示，有一根高为的电线杆在处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点远的地方，求电线杆断裂处A离地面的距离.
15．光武大桥是我市中心城区的首座斜拉大桥，为纪念故乡南阳的东汉光武帝刘秀而命名，若一根斜拉钢梁竖直垂下时底端在桥下面的5米处，当点固定在桥面上的处时，距离点15米，求这根钢梁的长度．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为米，顶端B距墙顶的距离为米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为米，顶端E距墙项D的距离为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，，．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
17．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．
(1)求的长，
(2)求门槛的长．
18．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
19．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
20．已知在等腰三角形中，，，当底边上的高增加，腰长增加时，底却保持不变，请确定的值.
21．为了庆祝建校八十周年，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，使点D恰好落在BC边上的F处……请你根据①②步骤解答下列问题．
(1)找出图中的∠FEC的余角；
(2)计算EC的长．
22．已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
23．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】利用直角三角形勾股定理得性质，列出方程，借用方程解出x即可．
【详解】解：∵该三角形是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，能利用勾股定理列出方程是解答此题的关键．
2．(1)，
(2)30
【分析】（1）设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论．
（2）根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值．
【详解】（1）解：中，，、、的对边分别为、、，且，
设，则．
，即，
解得（负值舍去），
，；
（2）中，，，，的对边分别为，，，
，
，，
，
解得：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．(1)① ；②
(2)或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．
【详解】（1）∵，，，
∴．
∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动，
∴．
①当点P在线段上时，．
②当点P在线段的延长线上时，．
故答案为：①；②；
（2）①当为直角时，点P与点C重合，，即；
②当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得，
故当为直角三角形时，或；
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论．
4．桥长．
【分析】设桥长为，则，利用两人所经过的距离相等，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解.
【详解】解：设桥长为，则，由题可知，，
∴，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
解得，
答：桥长．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键．
5．
【分析】由题意得，再由勾股定理得，设AP为x km，则，得方程，解方程即可．
【详解】解：、D两村到储藏仓库P的直线距离相等，
，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，，
，
设，则，
，
解得：，
答：储藏仓库P到A站点的距离约为
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6．
【分析】设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】设，由题意得， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
7．(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据，，，得到，根据勾股定理逆定理即可得到，问题得证；
（2）设，则，根据勾股定理得到，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：，，，
∴ ，，
∴，
，
；
（2）解：由题意得，
设，则，
，
，
，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟知两个定理并根据题意灵活应用是解题关键．
8．9或7
【分析】分两种情况讨论①当是斜边时，②当是斜边时，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
①当是斜边时，
则，
即，
解得：，
∴，
②当是斜边时，
则，
即，
解得：，
∴，
综上所述：代数式的值为9或7．
【点睛】本题考查了求代数式的值，核心是考查勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键．
9．
【分析】根据勾股定理得到，由折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在中，，
∴，
∵将折叠，使点B恰好落在斜边上，与点重合，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．5米
【分析】设大树在离地米处折断，则折断处离树尖的距离为米，再根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设大树在离地米处折断，
由勾股定理得：，
解得．
答：大树在离地5米的位置折断．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键．
11．(1)24，
(2)主梁的高度为12米
【分析】（1）根据勾股定理可求得，再根据等面积法可求得；
（2）设米，则米，由题意可得，则、可得解得：，最后在中运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵的长度分别为10米、26米，
∴（米），
∵
∴，解得：（米）．
（2）解：设米，则米，
∵主梁垂直于桥面于点，
∴，
∴根据勾股定理可得：，
∴，解得：
∵，
∴．
答：主梁的高度为12米．
【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、勾股定理的的应用等知识点，根据勾股定理建立方程是解答本题的关键．
12．绳索长为10尺
【分析】设绳索长为x尺，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：
，
解得：，
答：绳索长为10尺．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
13．12.5米
【分析】过点E作，垂足为F，在和中，根据勾股定理得出，，根据，得出，求出的长即可．
【详解】解：过点E作，垂足为F，如图所示：
由题意可知：四边形是长方形，和是直角三角形，
∴，，，
在和中，根据勾股定理可得：
，，
即，，
又∵，
∴，
解得：．
答：学校旗杆的高度为12.5米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于方程．
14．
【分析】根据题意，设，则．运用勾股定理，列方程求解即可．
【详解】解：设，则．
根据勾股定理，得,
∴，
∴，
解得：．
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建列方程是解题的关键．
15．这根钢梁的长度为25米．
【分析】设米，由题意得到：，，根据一根斜拉钢梁竖直垂下，利用勾股定理建立等式求解．
【详解】解：设米，由题意得到：，，
一根斜拉钢梁竖直垂下，
，
，
，
解得：米
答：这根钢梁的长度为25米．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是得出是直角三角形，利用勾股定理求解．
16．(1)墙高3米
(2)竹竿的长米
【分析】（1）设墙高x米，在，根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方 ，联立即可得到答案；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：设墙高x米，
∵，，
∴ ，
在，根据勾股定理可得，
，，
∵ ，
∴，
解得： ，
答：墙高3米；
（2）由（1得），
， ，
∴
答：竹竿的长米．
【点睛】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵O是的中点
∴
∵
∴；
（2）设，则．
∵， 尺寸
∴
解得：
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
18．收购站E到A站的距离为22km
【详解】分析：连接CD,并作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA长.
点睛：
如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点.
连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE=(50-x) km ,
在Rt△ADE中,,
∴ ,
在Rt△BCE中, ,
∴,
又DE=CE, ∴ ,
解得x=22 .
∴收购站E到A站的距离为22km.
点睛：
勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.
19．84.
【详解】解：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
20．.
【分析】过点作于点.先根据勾股定理求出AD的长，然后根据变化后的边长利用勾股定理列方程解答即可．
【详解】过点作于点.
因为，，所以.
在中，，所以.
根据题意得，，
所以.
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和等腰三角形的性质解答．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
21．(1)∠CFE、∠BAF；(2) 6 cm.
【分析】（1）结合图形易得∠CFE+∠FEC=90°，由于∠CFE+∠AFB=90°，故∠FEC=∠AFB，故∠BAF+∠FEC=90°，故可得答案；
（2）设EC=xcm，可得EF的长度，根据折叠的性质可得AF=AD．在Rt△EFC中使用勾股定理，可得EF2=FC2+EC2，解可得x的值，即EC的长度．
【详解】解：（1）∠CFE、∠BAF；
（2）设EC=xcm，则EF=DE=（16﹣x）cm．
∵AF=AD=20cm，
∴在Rt△ABF中，BF==12（cm），FC=BC﹣BF=20﹣12=8（cm）．
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，（16﹣x）2=82+x2，x=6．
∴EC的长为6cm．
【点睛】本题综合考查了矩形与折叠，及勾股定理的运用．
22．
【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x．在Rt△ADE和Rt△ADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，继而代入求出x的值即可．
【详解】如图,过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=10，BC=16，∴BE=CE=8，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE===6，
设BD=x，则DE=8﹣x，DC=16﹣x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2，
代入为：62+（8﹣x）2=（16﹣x）2﹣102，解得：x=．
即BD=．
【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2．
23．S△ABC＝84．
【分析】设BD＝x，则有CD＝14﹣x，根据AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，列出方程求解即可得到答案.
【详解】解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC AD＝×14×12＝84．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和利用方程的思想解决问题，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页