专题1.17构造直角三角形解决问题 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.17 构造直角三角形解决问题（分层练习）
【方法】当题目中出现直角，而不具备直角三角形时，常常通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；或当题目中没有直角时，也常常通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
1．在中，，，．求的长．

2．如图，在等腰三角形中，，，点D是中点，点E是的中点，连接．

(1)求证：；
(2)求的面积．
3．在中，为边上的高，且，求的周长．
4．在中，，，边上的高，求另一边的长．
5．已知四边形中，，为中点，且，，．

(1)求的值；
(2)求直线与直线的距离．
6．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中千米，千米，千米，千米．
(1)求小溪流的长．
(2)求四边形的面积．（结果保留根号）
7．如图，在△ABC中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动，设点P的运动时间为t秒（）．
(1)斜边上的高是 ．
(2)若点P在的角平分线上，则t的值为 ．
(3)在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．（提示：三角形的两边中点的连线等于第三边的一半）
8．如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数；
(3)如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长．
9．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
(1)如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”；
(2)在中，，，若是“美丽三角形”，求的长．
10．如图，在中，为边上的中线，，，，求证：．
11．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，经测量，，， ， ，求这块空地的面积？

12．某学校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，则学校修建这个花园需要投资多少元？
13．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．

(1)判断与间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段、、间满足的数量关系．
14．如图，在 中，，， 为 的中点， 交 于点 ， 交 于点 ，且 ，过点 A 作交 的延长线于点 ．
(1)求证：．
(2)若 ，，求线段 的长．
15．如图，在△ABC中，，以为一边作正方形，过点D作交延长线于点F，连接，求的长．
16．已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接．
(1)设，用含的代数式表示的大小，并求的度数；
(2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
17．【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________．
【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长．
【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接．已知，，直接写出的长．
18．【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．
请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到，依据是______．
A. ；B. ；C. ；D.
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______．
【初步运用】
（2）如图②，是的中线，交于E，交于F，且，若，，求线段的长．
【灵活运用】
（3）如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而根据勾股定理求得，根据已知得出是等腰直角三角形，进而即可求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根据勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)48
【分析】（1）连接，证明是直角三角形，即可求出答案；
（2）用勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，

∵在中，，E是的中点，
∴，
∴是直角三角形，
又∵D是的中点
∴；
（2）解：∵E是的中点，，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．的周长为或
【分析】根据题意画出图形，在，中，勾股定理分别求得，分类讨论（当在线段上时，在的延长线上时），即可求解．
【详解】解：如图所示，当在线段上时，
∵为边上的高，
∴
在中，,
∴，
在中，，
∴
∴的周长为
当在的延长线上时，如图，
则的周长为
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．10或6
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为；
（2）钝角中，，，边上高，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为．
综上可得的长为10或6．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
5．(1)
(2)
【分析】（1）延长交的延长线于点，由平行线的性质可得，，再由中点可得，可判定，则有，，再由垂直可得，利用勾股定理即可求，从而可求解；
（2）利用三角形的面积可求得点到的距离，即可求与的距离．
【详解】（1）解：延长交的延长线于点，如图，

，
，，
为中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）过点作，如图，

，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
6．(1)小溪流的长为7千米
(2)平方千米
【分析】（1）连接，利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理，得到为直角三角形，利用两个直角三角形的面积之和即为四边形的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，
∵千米，千米，
∴(千米)；
答：小溪流的长为7千米．
（2）解：∵千米，千米，
∴，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积平方千米．
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用．熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键．
7．(1)4.8
(2)
(3)或或10s或9.5s
【分析】（1）先在中，由勾股定理得：；再设斜边上的高为，等面积法求得斜边上的高为；
（2）当点在的角平分线上时，过点作，证明，在中，由勾股定理得：勾股定理即可求解．
（3）当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，①当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，②当点在线段上时，若，分类讨论画出图形，即可求解．
【详解】（1）在中，，，，
由勾股定理得：；
设斜边上的高为，
，
，
．
斜边上的高为；
故答案为：；
（2）当点在的角平分线上时，过点作，如图：
平分，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得：
即，
解得：．
故答案为：．
（3）由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，
①当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，
此时，
，
，
；
②当点在线段上时，若，
则点运动的长度为：
，
，
；
若，如图，过点作于点，则，
在中，，，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
点运动的长度为：，
，
；
若，如图所示，过点作于点，
则，，
，
，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
点运动的长度为：，
，
．
综上，的值为或或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
8．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）证明即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求得；
（3）过点作，证明，在四边形中求出，证明是等边三角形，即可求出的长．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴；
（3）过点作，
在和中，
，
∴，
∴，
在四边形中
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
设，
则，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等、勾股定理，解题的关键是综合运用正方形的性质、三角形全等、勾股定理的知识点．
9．(1)详见解析
(2)或
【分析】（1）作的中线，根据三线合一得出，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义即可得出结论；
（2）①作的中线，根据是“美丽三角形”,得出 ，根据勾股定理求得；②作的中线，勾股定理求得，根据美丽三角形的定义得出，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作的中线，
，是的中线，
，，
在中，由勾股定理得，
，
是美丽三角形.
（2）解:①如图，作的中线，是“美丽三角形”,
当时，则 ,
由勾股定理得
②如图作的中线，是“美丽三角形”,
当时则，
，
在中，由勾股定理得 ，
则，
解得，
∴
综上：或．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键．
10．见解析
【分析】倍长中线，即延长至点E，使得，连接．证明，得到，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，即，从而，得证．
【详解】证明：如图，延长至点E，使得，连接，
∵为边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形全等的证明，“倍长中线”是解题常用的方法．
11．
【分析】根据勾股定理求得，根据逆定理判定，进一步根据面积公式求解．
【详解】解：连接，如图所示：

在中，，
在中，，，
而，
即，
∴，
；
答：这块空地的面积为．
【点睛】本题考查勾股定理及逆定理的综合运用，正确的选择运用勾股定理或其逆定理是解题的关键．
12．元
【分析】过A作于D，则，设米，则米，在和中，由勾股定理得，进而求得，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：过A作于D，则，
设米，则米，
在和中，由勾股定理得
，
则，解得，
∴（米），
∴（平方米），
则总造价元，
答：学校修建这个花园需要投资元．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，根据题意，作高构造直角三角形求解是解答的关键．
13．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出；
（2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证．
【详解】（1）理由如下，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
如图所示，连接，

由（1）可得
∵
∴
∴，，
∵
∴
∵
在四边形中，
∴是直角三角形，
∴
又是等腰直角三角形，
∴，即,
又∵，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证，观察这两条线段可放在与中，设法证明这两个三角形全等，结合与D为的中点，即可得证．
（2）欲求得的长度，设法将已知线段与所求的联系在一起，连续后，根据，得出，再结合，把所求的线段与已知线段集中在直角中，由勾股定理可求得的长，也就是的长度，从而使问题得解．
【详解】（1）证明： 是 的中点，
．
，
．
，
．
．
（2）解：连接 ．
，
，
，
．
，，
．
在 中，
，
且 ，．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明、勾股定理的运用、等腰三角形的中线等相关知识点，善于将已知量、未知量通过等量关系转换是解本题的关键．
15．或
【分析】根据题意画出两个图形，过点A作于点M，再利用勾股定理得出的长，再证明，根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：分两种情况：①过点A作于点M，如图1所示，
∵，
∴
由勾股定理得，，
∵四边形是正方形
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：；
②如图2所示，
同理可得，，
又四边形是正方形
∴ ，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
根据勾股定理可得：．
综上所述，BF的长为或．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
16．(1)，
(2)，证明见解析．
【分析】（1）由轴对称的性质得，，再由直角三角形的性质得，进而可证，则，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
（2）过C作于C交的延长线于点M，证明，得CM=CF，再证明，得，则MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）A、E关于直线对称，
，．
，
．
，
．
．
．
（2）线段，，之间的数量关系．
过C作于C交的延长线于点M．
A、E关于对称
．
．
．
．
又
．
．
．
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等明三角形是解题的关键．
17．问题解决：；应用：；拓展：
【分析】问题解决：证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而得结论；
应用：延长到，使得，连接，证明得，再证明，由勾股定理求得，进而得；
拓展：延长到，使得，连接，，证明，得，，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得．
【详解】解：问题解决：如图所示，延长到点，使，再连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：；
应用：如图所示，延长到，使得，连接，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
∴，
，
，
；
拓展：如图所示，延长到，使得，连接，，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)，；(2)7；(3)；证明见解析．
【分析】(1)根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可．
(2)延长到，使，连接，仿照（1）和等腰三角形的性质证明即可．
(3)延长到，使，连接．利用全等三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理证明即可．
【详解】(1) 延长至点E，使，连接．
∵边上的中线，
∴，

∵，
∴，
故选A．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
(2)延长到，使，连接．
∵，，，
∴，
∵是的中线，
∴，

∵，∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
(3)延长到，使，连接．
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了倍长中线，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线的作法，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形的全等判定是解题的关键．
答案第1页，共2页
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