专题1.22勾股定理中的分类讨论思想 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.22 勾股定理中的分类讨论思想（分层练习）（提升练）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
一、单选题
1．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是（ ）
A．169 B．169或119 C．13或15 D．15
2．中，，，高，则的长为（　　　）
A．4 B．14 C．5 或 9 D．4 或 14
3．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或24
二、填空题
4．若在中，，，高，则的长为 ；
5．已知中，，，，将它的一条直角边沿一锐角角平分线所在直线翻折，使直角顶点落在斜边上，则折叠后不重合部分三角形的面积为 ．
6．已知一个直角三角形的三边长分别为a，b，c．若，，则这个直角三角形的面积为 ．
7．在梯形中，，，，，，则的长为 ．
8．若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为 ．
9．如图，在中，，，点，分别在，，上，，连接．已知，将绕点逆时针旋转一周，当，三点共线时，旋转角的度数为 ．

10．在中，为边上的高，，,的面积为12，边的长为 ．
三、解答题
11．在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)若是直角三角形，求x的值．
12．在中，，，边上的高，求另一边的长．
13．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示
①当点P在线段上时，________．
②当点P在线段的延长线上时，________．
(2)当为直角三角形时，求t的值；
14．在中，已知，求代数式的值.
15．中，，，上的高为12，求的长．
16．小土家有一块三角形的菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小土计算这块菜地的面积.
17．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
18．三角形的周长为38，第一条边长为a，第二条边比第一条边的2倍多3．
（1）表示第三条边；
（2）若三角形为等腰三角形，求a的值；
（3）若a为正整数，此三角形是否为直角三角形？说明理由．
19．如图，在△ABC中，，以为一边作正方形，过点D作交延长线于点F，连接，求的长．
20．如图是长、宽、高的长方体容器．
(1)求底面矩形的对角线的长；
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？
(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？
试卷第2页，共2页
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参考答案：
1．B
【分析】分边长为12的边为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当边长为12的边为直角边时，则第三边的长的平方为；
当边长为12的边为斜边时，则第三边的长的平方为；
综上所述，第三边长的平方是169或119，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．
2．D
【分析】分两种情况讨论：点D在线段上和点D在线段的延长线上，根据勾股定理求得，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】如图1，当点D在线段上时，
锐角中，，，．
在中，，
由勾股定理得：，则．
在中，，
由勾股定理得：，则，
故的长为；
如图2，当点D在线段的延长线上时，
钝角中，，，边上高．
在中，，
由勾股定理得：，则．
在中，，
由勾股定理得：，则，
故的长为．
综上可得BC的长为4或14．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
3．C
【分析】分8为斜边，6为直角边和8和6都为直角边两种情况，结合勾股定理解答即可.
【详解】解：若8为斜边，6为直角边，则第三边为；
若8和6都为直角边，则斜边为；
故选：C.
【点睛】本题考查了勾股定理，属于常见题型，熟练掌握勾股定理、正确分类是关键.
4．或
【分析】根据高的定义可得，进而根据勾股定理分别求得，分类讨论即可求解．
【详解】解：如图，

为边上的高，
，
在中，，
在中，，
当点在线段上时，；
当点在线段的延长线上时，，
的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键．
5．或6
【分析】首先利用勾股定理求出的斜边的长，然后根据题意，分两种情况画出图形，利用折叠的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
可分两种情况：
第一种情况：如图1，不重合部分是，

∵直角边沿的平分线所在直线翻折，直角顶点C落在斜边上点D处，
∴，，，
∴，
设，则，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
第二种情况：如图2，不重合部分是，

∵直角边沿的平分线所在直线翻折，直角顶点C落在斜边上点D处，
∴，，
∴，
设，则，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
综上所述，折叠后不重合部分三角形的面积为或6．
故答案为：或6．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理、折叠的性质的知识．根据题意分情况计算是解答本题的关键．
6． 或
【分析】此题有两种情况：当a，b为直角边，此时用面积公式即可求解；当a，c为直角边，用勾股定理求出b，再用面积公式即可求解；
【详解】解：当a，b为直角边时， ；
当a，c为直角边时，根据勾股定理， ，即 ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理，正确分类讨论是解题关键．
7．2或8
【分析】根据直角梯形的性质解答即可．
【详解】解：在梯形中，，，，，，

过作于，
，
，
或，
故答案为：2或8．
【点睛】此题考查直角梯形的性质，关键是根据直角梯形的性质和勾股定理解答．
8．或
【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得：，，
当为直角边时，直角三角形的第三条边长，
当为斜边时，直角三角形的第三条边长，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
9．或
【分析】根据等腰直角三角形的性质，得，过点作于点，则，再根据勾股定理求出，；分类讨论：当点在，之间；当点在，之间，两种情况，求出旋转角，即可．
【详解】当点在，之间，
∵中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴设，
∴，
过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，三点共线时，旋转角的度数为：；

当点在，之间，
同理，得，，
∴，
∵，
∴，
∴当，三点共线时，旋转角的度数为：．
故答案为：或．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半的逆运用，勾股定理，旋转的性质．
10．5或##或5
【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时为锐角三角形，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可；如图2所示，此时为钝角三角形，同理求出的长即可．
【详解】解：分两种情况考虑：
∵，，的面积为12，，
∴，
∴，
①当在内，如图所示，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
②当在外，如图所示，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
故答案为：5或．
【点睛】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
11．(1)的长为5
(2)x的值为13或
【分析】（1）在直角中，利用勾股定理求得的长度；
（2）分两种情况利用勾股定理求得x的值；
【详解】（1）如图，
∵，，．
∴，即的长度是5；
（2）在直角中，，．
①当为斜边时，由勾股定理得，
．
当为斜边时，由勾股定理得，
．
综上所述，的长度是13或．
即x为13或时为直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．
12．10或6
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为；
（2）钝角中，，，边上高，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
在中，，
由勾股定理得：，
则，
故的长为．
综上可得的长为10或6．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
13．(1)① ；②
(2)或
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可．
【详解】（1）∵，，，
∴．
∵动点P从点B出发沿射线以的速度移动，
∴．
①当点P在线段上时，．
②当点P在线段的延长线上时，．
故答案为：①；②；
（2）①当为直角时，点P与点C重合，，即；
②当为直角时，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得，
故当为直角三角形时，或；
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论．
14．9或7
【分析】分两种情况讨论①当是斜边时，②当是斜边时，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
①当是斜边时，
则，
即，
解得：，
∴，
②当是斜边时，
则，
即，
解得：，
∴，
综上所述：代数式的值为9或7．
【点睛】本题考查了求代数式的值，核心是考查勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键．
15．或11
【分析】由于三角形的高的位置随三角形的形状改变而变化，分别根据题意画出当点D在线段上、点D在线段的延长线上时的图形，分别利用勾股定理得出答案即可．
【详解】解：设边上的高为，
当点D在线段上时，
如图1所示：
在中，，，
根据勾股定理：；
在中，，，
根据勾股定理：；
∴；
当D在线段的延长线上时，
如图2所示：
同理可知：，，
∴；
综上所述：或11.
【点睛】此题主要考查了三角形高的性质和勾股定理，根据题意利用分类讨论正确画出图形是解题关键．
16．或
【分析】分高在三角形的内部和三角形的外部两种情况画出图形，然后两次利用勾股定理求得第三边的长，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：①如图，当高在三角形内部时，根据勾股定理可得BD=40m，CD=12m，所以BC=52m，所以三角形菜地面积为=.
②如图，当高在三角形外部时，根据勾股定理可得BE=40m，CE=12m，所以BC=28m，则三角形菜地面积为=.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，合理分类并正确画出图形，两次应用勾股定理进行计算是解答本题的关键．
17．32m或 20+ m或 m
【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AB=BD，③AD=BD三种情况进行讨论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
（1）当AB=AD时，CD=6m，
△ABD的周长为32m；
（2）当AB=BD时，CD=4m，AD=m，
△ABD的周长是（20+）m；
（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，
则，
∴，
∴△ABD的周长是m，
答：扩建后的等腰三角形花圃的周长是32m或 20+ m或 m．
18．（1）35﹣3a；（2）；（3）不能为直角三角形；理由见解析.
【分析】（1）根据已知条件，先表示出第二边的长，即可表示出第三边的长；
（2）分两种情况a=35﹣3a和2a+3=35﹣3a进行讨论，然后结合三角形三边关系判断即可；
（3）由（2）知的取值范围，再根据为整数，即可求出的值，分别进行讨论即可.
【详解】（1）由题意得：第二条边：2a+3，
第三条边：38﹣a﹣（2a+3）=35﹣3a
（2）由三边关系可知：
解得：
∵a≠2a+3
∴分两种情况：
①a=35﹣3a，，不符合三边关系，舍去，
②2a+3=35﹣3a，，符合三边关系，
∴，
（3）不能为直角三角形；
理由：∵，且a 为整数，
∴a=6或7，
当a=6时，三边为：6、15、17，62+152≠172，不是直角三角形，
当a=7时，三边为：7、17、14，772+142≠172，不是直角三角形，
【点睛】考查列代数式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及三角形的三边关系，注意分类讨论思想在解题中的应用.
19．或
【分析】根据题意画出两个图形，过点A作于点M，再利用勾股定理得出的长，再证明，根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：分两种情况：①过点A作于点M，如图1所示，
∵，
∴
由勾股定理得，，
∵四边形是正方形
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：；
②如图2所示，
同理可得，，
又四边形是正方形
∴ ，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
根据勾股定理可得：．
综上所述，BF的长为或．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
20．(1)底面矩形的对角线的长为
(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是
(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径
【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果；
（2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果;
（3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可．
【详解】（1）解：∵、，，
∴对角线的长为：；
答：底面矩形的对角线的长为．
（2）解：连接、，如图所示：
在中，
∵、，，
∴，
在中， ．
答：这个盒子最长能放的棍子．
（3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示：
此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：
；
将前面的面和上边的面展开，如图所示：
此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：
；
将左边的面和上边的面展开，如图所示：
此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：
；
∵，
∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
答案第1页，共2页
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