专题1.23勾股定理中的动点问题 分层练习提升练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.23 勾股定理中的动点问题（分层练习）（提升练）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC=8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
2．已知Rt△BCE和Rt△ADE按如图方式摆放，∠A＝∠B＝90°，A、E、B在一条直线上，AD＝3，AE＝4，EB＝5，BC＝12，M是线段AD上的动点，N是线段BC上的动点，MN的长度不可能是（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
3．如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB→BC匀速运动到点C停止，在动点K运动过程中，线段AK的长y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是10 ，则a为（ ）
A．7 B．2 C．4 D．2
4．如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（　　）

A． B．3 C． D．4
5．如图，在中，，，，Q是上一动点，过点Q作于M，于N，，则的长是（ ）
A． B． C．4 D．
6．如图，在中，，，，D为AB上一动点，当时，的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，且△ABC的面积为90，D是线段AB上的动点（包含端点），若线段CD的长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，，内有一点P，，M是上一动点，N是上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，点是边上一动点，交于点，当时，的面积恰好等于的面积，连接，则此时＝
10．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为
11．在中，，，，动点P从C出发，以每秒2cm的速度沿着运动到点B，则从点C出发 秒时，可使．
12．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝12，点N为BC上一点，且BN＝7，点M 为线段AC上一动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值为 ．
13．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是 ．
14．如图，在中，，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE，将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若，，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一动点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为 ．
16．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝6，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为 ．
三、解答题
17．已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速 度移动，设运动的时间为．
（1）求边的长 .
（2）当为直角三角形时，t的值
18．已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为秒．
(1)出发2秒后，求的长；
(2)当点在边上运动时，为何值时，的面积是的面积的．
19．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
20．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t(s)．
(1)求BC边的长．
(2)当为直角三角形时，求t的值．
21．在△ABC中，，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，求t的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为秒．
(1)求BC的长；
(2)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．探究题：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B出发向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直．
24．Rt△AB C中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，△ABP为直角三角形？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据题意，求出AC的长，AP的长介于AC和AB的长度之间，据此即可选出正确答案．
【详解】解：∵AB=10，BC=8，
∴AC==6，
则6≤AP≤10，
∴AP长不可能是5，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，求出AC的长是解题的关键．
2．D
【分析】当MN⊥BC时最短;当M在点A,N在点C时,MN最长,利用勾股定理计算即可;
【详解】解:当MN⊥BC时
MN最短=AB=AE+BE=4+5=9
当M在点A，N在点C时,
MN最长===15
∴9≤MN≤15
故答案选D
【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离以及勾股定理,识别出MN最短情况和最长情况是解题的关键．
3．A
【分析】根据题意AB=AC,点D表示点K在BC中点，由△ABC的积是10求BC，则可求BC,利用勾股定求AC可.
【详解】由图象可知，点D左右对应图象呈现对称性，则AB=AC,点K位于BC中点时，AE为△ABC底边BC上高，AE最小=5.
∵△ABC的面积是10，
∴=10，
解得BC=4，
由勾股定理a=AB===7，
故选择：A.
【点睛】本题考查三角形的面积公式和勾股定理，解题的关键是掌握三角形的面积公式和勾股定理.
4．C
【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据折叠可知， ，
在中，，，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【分析】设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案．
【详解】解：设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
（舍去）或，
，
连接，过点作于，如图所示：
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
6．C
【分析】勾股定理求得的长，进而根据三角形周长公式求解，根据进行线段的转化即可
【详解】解：在中，，，，
的周长为
故选C
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】首先过C作CE⊥AB，当D与E重合时，CE最短，首先利用三角形面积求得CE的长，然后可得CD的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：过C作CE⊥AB，
∵AB＝AC＝15，且△ABC的面积为90，
∴S△ABC＝＝90，
∴CE＝12，
∴AE＝＝9，
∴BE＝15﹣9＝6，
∴CB＝，
∵D是线段AB上的动点（含端点A、B）．
∴12≤CD≤15，
∴CD＝12或13或14或15，
∵线段CD长为正整数，
∴CD的可以有5条，长为15，14，13，12，13
∴点D的个数共有5个，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理和三角形面积公式，解题的关键是掌握勾股定理和三角形面积公式.
8．C
【分析】作点P关于的对称点D，E，连接，如图，利用轴对称的性质证明，，的周长，即可解决问题.
【详解】解：作点P关于的对称点D，E，连接，如图，
则垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴的周长（当D、M、N、E四点共线时取等号），
∴的周长的最小值即为的长，
∵，
∴的周长的最小值是；
故选：C.
【点睛】本题考查了对称轴的性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线、得出的周长的最小值即为的长是解题的关键.
9．
【分析】延长，过点作的垂线，垂足为点，根据和的面积相等可知线段AD是中线，，根据直角三角形的勾股定理可得的长度．
【详解】解：延长，过点作的垂线，垂足为点，如图所示
∵和的面积相等
∴
∵
∴
∵根据三角形中线的性质可知
∴
∵
∴
∴在中可得
在中可得
∴
∴在中可得
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中线和面积的关系以及勾股定理等知识点，灵活运用三角形的中线和面积的关系是解题的关键．
10．
【分析】假设为直角三角形，可得，设，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
与关于直线对称，，，当为直角三角形时，
∵，
∴点，，在同一条直线上，则有，，
∴设，则，，
∴，则，
∴，即，解方程得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查长方形的性质与直角三角形的勾股定理得综合，掌握长方形的性质，勾股定理是解题的关键．
11．或
【分析】若，分两种情况讨论：①当点P从点C出发，运动在上时，②当点P从点C出发运动到上时，利用勾股定理及三角形等面积法列出方程求解即可．
【详解】解：①当点P从点C出发，运动在上时，若，则
，即，
∴cm．
故由点P的运动速度为每秒2 cm，
∴秒
它从C点出发秒时，有；
②当点P从点C出发运动到上时，如图，可过点C作于E．
∵，，，
∴cm，
∴，
∴cm，
设点P运动时间为t秒，
∴，
若，
则，即，
解得秒，
综上可得：从点C出发秒或秒时，，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积的计算方法，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
12．13
【分析】作点N关于AC的对称点D，连接CD，MD，BD，可得BM+MN=BM+MD≥BD，∠BCD=90°，从而得到BM+MN的最小值为BD的长，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，作点N关于AC的对称点D，连接CD，MD，BD，
∴MD=MN，CN=CD，∠DCM=∠ACB=45°，
∴BM+MN=BM+MD≥BD，∠BCD=90°，
∴BM+MN的最小值为BD的长，
∵BC=12，BN=7，
∴CN=CD=5，
∴．
故答案为：13
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．
13．4
【分析】连接解直角三角形求出，再证明，即可解决问题．
【详解】解：连接．
，
可以假设，，
，，
，，
，，
，
或（舍弃），
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．或
【分析】点F落在的三等分点上得或，在中，根据勾股定理，分类讨论，求出BD即可．
【详解】由折叠性质可知，
∵点F落在的三等分点上，
∴或，
若时，在中，，
∴，
∴；
当时，在中，，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查折叠问题，掌握折叠图形的性质，会利用三等分点的位置进行分类计算，会利用折叠转化等量关系，利用直角三角形构造方程解决问题是关键．
15．
【分析】由勾股定理可求BD长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，由勾股定理列出方程，可求AE的长．
【详解】如图，
∵AB＝3，AD＝4，∠A＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∵将△ABE沿BE折叠，
∴AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，
∴A'D＝BD﹣A'B＝2，
∵DE2＝A'E2+A'D2，
∴（4﹣AE）2＝AE2+4，
∴AE＝，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理和折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理和折叠的性质.
16．5
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【详解】如图所示，
∵在圆柱的截面ABCD中AB＝，BC＝6，
∴AB＝××π＝4，BS＝BC＝3，
∴AS＝＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用.
17． 2或
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）在中，，，，
由勾股定理得；
（2）由题意知：．
①当时，如图，点与点重合，，
；
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，的值为2或．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出，利用勾股定理求出的长；
（2）先求出，根据的面积是面积的得，计算即可；
【详解】（1）解：当出发2秒后，，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
得．
【点睛】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，列比例求解，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
19．(1)3cm
(2)3或
(3)5或6或
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴．
（2）解：
当时，点与点重合，
∴，
即；
当时，如下图所示：
∴．
∵，
∴，
解得：．
综上：当为直角三角形时，或；
（3）解：当时，如下图所示：
∵，
∴，
即．
当时，如下图所示：
∴；
当时，如下图所示：
则，，
在中，，
即，
解得： ．
综上：当为轴对称图形时，或或．
【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
20．(1)
(2)t的值为4或
【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；
（2）先求出BP=2tcm，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）在中，
由勾股定理得，
∴．
（2）由题意知．
①当时，如图1，点P与点C重合，，
∴．
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或．
图1 图2
【点睛】本题考查了勾股定理，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
21．当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【分析】当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时t的值即可．
【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴BC＝4cm，
由题意得：BP＝tcm．，
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm．CP＝（t－4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，，
在Rt△BAP中，，
即，
解得，
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．
22．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）如图所示，过点P作PD⊥AB于D，由题意得，则，证明Rt△ADP≌Rt△ACP从而求出，
在Rt△PBD中由，得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴；
（2）解：如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得，则，
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．
【分析】利用勾股定理求出AD的长，再利用勾股定理逆定理即可证明垂直.
【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，BC＝8 cm，
∴BD＝CD＝BC＝4 cm.
由勾股定理，得AD＝＝3(cm)．
分两种情况：(1)如图，当点P运动t秒后有PA⊥AC（P在线段BD上）时，
∵AP2＝PD2＋AD2＝PC2－AC2，
∴PD2＋32＝(PD＋4)2－52，∴PD＝2.25 cm，
∴BP＝4－2.25＝1.75，
∴0.25t＝1.75，解得t＝7.
(2)当点P运动t秒后有PA⊥AB（P在线段CD上）时，同理可得PD＝2.25，∴BP＝4＋2.25＝6.25，
∴0.25t＝6.25，解得t＝25.
综上所述，当点P运动的时间为7 s或25 s时，点P与顶点A的连线与腰垂直．
【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的应用，熟悉概念是解题关键.
24．4或12.5
【分析】分当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时和当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时两种情况讨论即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2+AC2=AB2
∴BC2+62=102
∴BC=8，
当∠AP1B=90°，△ABP1为直角三角形时，P1在C处，即BP1=8，
∴8÷2=4（s）；
当∠BAP2=90°，△ABP2为直角三角形时，
设BP2为x，则CP2=x-8
在△ACP2中，由勾股定理得：
AC2+CP22=AP22
∴62+（x-8）2=AP22
在△BAP2中，由勾股定理得：
AB2+AP22=BP22
∴AP22= BP22- AB2=x2-102
∴x2-102=62+（x-8）2
∴x=12.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用．
答案第1页，共2页
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