专题1.26用勾股定理求最值常用方法专题 分层练习基础练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.26 用勾股定理求最值常用方法专题（分层练习）（基础练）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
一、单选题
1．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（ ）
A．4.8 B．8 C．8.8 D．9.8
2．如图，在中，，，，点在上，现将沿翻折，使点落在点处连接，则长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝6，CD＝2，点P′是AB上的动点，则PC+PD的最小值是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，在中，，，有一点D在上移动，则的最小值是 （ ）

A．18 B．18.6 C．20 D．19.6
7．如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（　　）
A． B．15cm C．14cm D．13cm
8．如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
9．如图所示，在正三棱柱中，已知，，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方形纸片中，，.点是的中点，点是边上的一个动点.将沿所在直线翻折，得到.则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在正方形中，分别为上一点，且，连接，则的最小值是 ．

12．如图，已知长方形，，点E，F分别是边，上的动点，沿直线折叠，使点B的对应点G始终落在边上，则线段的最小值是 ．
13．如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、、，则的最小值是 ．
14．如图，在ΔABC中，AB=6，BC=8，∠B=90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是 ．
15．已知在中，，，，是边上的一个动点，则线段长的最小值是 ．
16．如图，等腰中，，，点E是的垂直平分线上的动点，点D是边上的动点，则的最小值是 ．
17．△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，AP+BP+CP的最小值为 ．
18．如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，是直线上的一点，则的最小值为 .
19．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm．
20．如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，当截面(截出的面)的形状是矩形时面积的最大值是 ．
三、解答题
21．如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．
22．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设．
(1)用含x的代数式表示的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．
【详解】解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，
设AP=x，则CP=5-x，
在Rt△ABP中，BP2=AB2-AP2，
在Rt△BCP中，BP2=BC2-CP2，
∴AB2-AP2=BC2-CP2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=1.4，
在Rt△ABP中，BP=，
∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查最短路线问题，确定出P点的位置是解题的关键．
2．C
【分析】当落在上，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质知，，于是得到结论．
【详解】解：当落在上，长度的值最小，
∵，，，
∴，
由折叠的性质知，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3．B
【分析】作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，依据Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，进而得出BC的长．
【详解】解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，
设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，
∵∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴BC＝6，
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算.
4．B
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以的取值范围是．
∴的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意构造直角三角形是解题关键．
5．D
【分析】过点B作D'B⊥BC，且BD'＝6，连接CD'交AB于点P，由“SAS”可证△BPD≌△BPD'，可得DP＝D'P，可得PC+PD的最小值为D'C，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点B作D'B⊥BC，使BD'＝6，连接CD'交AB于点P
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，且BD'⊥BC
∴∠D'BP＝∠DBP＝45°，且BD＝6＝BD'，BP＝BP
∴△BPD≌△BPD'（SAS）
∴DP＝D'P
∴CP+DP＝CP+D'P
∴PC+PD的最小值为D'C，
∵BD＝6，CD＝2
∴BC＝8，
∴D'C＝
∴PC+PD的最小值为10
故选：D．
【点睛】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股定理的应用．
6．D
【分析】过点B作，垂足为．利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得的长，有垂线段最短可知：当时，有最小值．
【详解】过点B作，垂足为．
设，则．
在和 中，
由勾股定理得： ，
∵，即．
解得：
∴
由线段最短可知：当时，有最小值．
∴．
故选D．

【点睛】本题主要考查的是垂线段的性质、勾股定理的应用，明确当时，有最小值是解题的关键．
7．D
【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接，
如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，
则，
又因为cm，
所以（cm），
即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．
8．A
【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，
连接，
则最短路径，
故选A
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．
9．D
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正三棱柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】∵，一只蚂蚁从A点出发绕三棱柱侧面两圈到达点，
∴如图所示，将正三棱柱展开2次，
∴，
∵正三棱柱的高
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
10．A
【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，根据折叠的性质可知GE=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-GE即可求出结论．
【详解】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：，
在Rt△BCE中，，
，
∴GC的最小值=CE-GE=,
故选A.
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键．
11．
【分析】根据正方形的性质，设未知数，由勾股定理将用含的式子表示，再配方即可求出最小值．
【详解】 四边形是正方形，，
，，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、配方法等知识点，能够将用含的式子表示，并正确的配方是解决问题的关键．
12．4
【分析】由题意易知点F越靠近于点C时，的值也就越小，然后可得当点C与点F重合时，的值最小，进而画出图形，最后进行求解即可．
【详解】解：由点G始终落在边上可知当点F越靠近于点C时，的值也就越小，所以当点C与点F重合时，的值最小，如图所示：
∵，
∴由折叠的性质可知，
由长方形的特征可知，
∴在中，由勾股定理可得，
∴，
∴的最小值为4；
故答案为4
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．
13．
【分析】由勾股定理，求出；当点、与点重合，且点运动至时，值最小．
【详解】在中，
∵，
∴
∵
∴当点、与点重合，且点运动至时，值最小．
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，垂线短最短，解题的关键是掌握动点问题，垂线短最短．
14．14.8
【分析】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴，
∵AP+BP+CP=BP+AC=BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，
最小值，
∴AP+BP+CP的最小值为：10+4.8=14.8，
故答案为：14.8．
【点睛】本题考查勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是运用直角三角形面积公式求出斜边上的高．
15．
【分析】在中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，解出，再利用勾股定理解出，在中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可解题．
【详解】解：如图，
根据垂线段最短得，当时，最短，
，，，
在中
又
，
故答案为：．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，涉及勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．
【分析】根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，则AE＝BE，故BE＋DE的最小值为AD时最小，由垂线段最短得当AD⊥BC时最短，由于△ABC是等腰三角形，可得BD＝2，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：连接AD，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A．
∴AE＝BE．
∴BE＋DE的最小值为AD．
∵由垂线段最短
则当AD⊥BC时最短．
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，BC＝4，
∴当AD⊥BC时，BD＝2．
∴AD＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知等腰三角形三线合一的性质和利用轴对称构造最短路线是解答此题的关键．
17．9.8．
【分析】若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP＝x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．
【详解】解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，
设AP＝x，则CP＝5﹣x，
在Rt△ABP中，BP2＝AB2﹣AP2，
在Rt△BCP中，BP2＝BC2﹣CP2，
∴AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，
∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2
解得x＝1.4，
在Rt△ABP中，BP＝＝＝4.8，
∴AP+BP+CP＝AC+BP＝5+4.8＝9.8．
故答案为：9.8．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理等知识，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从B向AC作垂线段BP，交AB于P，再利用勾股定理解题即可．
18．
【分析】连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，然后根据题意可知，梯形为等腰梯形，从而判断出直线MN即为梯形的对称轴，由此可知此时，即的最小值为AC的长，根据已知条件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根据直角三角形的性质和勾股定理即可求出AC.
【详解】解：连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，理由如下
∵梯形中，，
∴梯形为等腰梯形，
∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD
∵、分别是、的中点，
∴直线MN即为梯形的对称轴
由对称可知：DP=AP
∴此时，根据两点之间，线段最短，即可得：此时的最小且最小值为AC的长，
∵，∠B＋∠BAD=180°
∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°
∵
∴∠DAC=∠DCA=
∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°
在Rt△CAB中，
BC=2AB=2，根据勾股定理可得：AC=
故答案为
【点睛】此题考查的是等腰梯形的性质、轴对称的性质和最短路径问题,掌握最短路径的画法及原理是解决此题的关键.
19．128
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
，
这圈金属丝的周长最小为，
则这圈金属丝的周长的最小值的平方为．
故答案为：128．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
20．25
【分析】当截面矩形面积最大时为一个边长为5的正方形．
【详解】解：当截面(截出的面)的形状是矩形时面积的最大值时，
其矩形的长为5，宽为，
面积最大为：，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了长方体的结构特征，矩形的面积，解题的关键是发挥空间想象能力，确定截法．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可；
（2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；
（2）如图，作出以为斜边的直角，
由（1）可知：，
由题意可得：，，，
∴，，，
∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键．
22．(1)
(2)当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值是5
【分析】（1）根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据两点之间线段最短，可得线段的最小值为的长，根据勾股定理，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴都是直角三角形，
∵，，
∴，
在中，
∴，
，
∴；
（2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长，
过A作交的延长线于F，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是5．
【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理．
答案第1页，共2页
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