专题1.25用勾股定理求最值常用方法专题 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.25 用勾股定理求最值常用方法专题（知识梳理与考点分类讲解）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
【方法一】利用几何性质解决问题
【知识点1】点和线之间，垂线段最短
【知识点2】两点之间，线段最短（将军饮马问题）
【知识点3】利用“画圆”来确定动点问题解决最值问题
运用画圆解决问题有两种类型：
类型（1）：动点到某一定点的距离是定值（圆上的点到圆心的距离恒等于半径），
类型（2）：动点为90°固定角的顶点（直径所对的圆周角恒定为90°）
【方法二】利用代数方法解决问题
【知识点1】利用配方法求三次二项式的最值
【知识点2】运用二次函数中顶点求最值（以后学习）
代数方法较为常见，所以我们本专题不涉及．接下来，我们来简单看一下每个几何知识点对应的问题
【考点一】勾股定理 垂线段最短求最值
【例1】
1．中，，，，，为的中点，直线经过点，过作于，过作于．则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【举一反三】
【变式1】
2．如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【变式2】
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一个动点，则AP＋BP＋CP的最小值是（）
A．14 B．14.8 C．16 D．18
【考点二】勾股定理 两点之间线段最短求最值 将军饮马问题
【例2】
4．已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【举一反三】
【变式1】
5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是 ．
【变式2】
6．如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【考点三】勾股定理 两点之间线段最短求最值 长方体展开最值问题
【例3】
7．如图，是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路线长是（ ）．

A． B．6 C． D．
【举一反三】
【变式1】
8．如图，长方体的长、宽、高分别为 ．如果一只小虫从点 开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点 处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（　　）

A．5 B．4 C．6 D．7
【变式2】
9．已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点四】勾股定理 两点之间线段最短求最值 圆柱体展开最值问题
【例4】
10．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ）．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
【举一反三】
【变式1】
11．如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处．若，，，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．12
【变式2】
12．如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 ．
【考点五】勾股定理 两点之间线段最短求最值 圆柱体表面缠中的最值问题
【例5】
13．如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 cm．
【举一反三】
【变式1】
14．如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点．且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短为 cm．
【变式2】
15．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
【考点六】勾股定理 两点之间线段最短求最值 毛毯中的最值问题
【例6】
16．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）

A．65 B．85 C．90 D．150
【举一反三】
【变式1】
17．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【变式2】
18．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
【考点七】勾股定理 两点之间线段最短求最值 长方体内筷子最值问题
【例7】
19．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
【变式1】
20．如图长方体木箱的长，宽，高分别为，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
21．将一根长为的细木棒放进一个内部长、宽、高分别是、、的木箱中，则的最大值为 ．
【考点八】勾股定理 两点之间线段最短求最值 画圆来确定轨迹求最值问题
【例8】
22．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ．

【举一反三】
【变式】
23．如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=，
∵点D为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及勾股定理，垂线段最短，构建全等三角形是解答此题的关键．
2．C
【分析】根据勾股定理得出，当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵当时，的值最小，
此时：的面积为：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
3．B
【分析】根据勾股定理可求出AC，由题意可知当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，而当BP⊥AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可.
【详解】解：∵在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∴AP＋CP＝AC＝10，
∴当BP取最小值时，AP＋BP＋CP的值最小，
而当BP⊥AC时，BP取最小值，
故此时S△ABC＝，
∴，即BP的最小值为4.8，
∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，
故选B.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BP⊥AC时BP取最小值是解题的关键.
4．B
【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN+MN的最小值，
在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝＝10，
即DN+MN的最小值是10；
故选B．
【点睛】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
5．10
【分析】作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，因此，所以最小值为，用勾股定理算出即可．
【详解】解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，
∵∠B＝∠D＝90°，点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，
∴，，
∴，
∴AM＋MN＋EN的最小值是，
∵AD＝AB＝4，E是AD中点，
∴，，
∴，，
∵∠BAD＝90°，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了线段和的最值问题，勾股定理、轴对称性质，作出辅助线是本题的关键．
6．D
【分析】如下图，首先确定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知条件得出BD和BC＇的长度，然后根据勾股定理计算得出DC＇，即为DE＋CE的值最小值．
【详解】解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′．
在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．
∴∠CBC＇＝90°．
∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，
∴BC＇＝BC＝2．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝1．
根据勾股定理可得：DC＇＝＝．
故EC＋ED的最小值是．
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键．
7．A
【分析】根据长方体的侧面展开计算：沿前表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿前表面和右表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和后表面所构成矩形的对角线爬行距离，再比较大小即可；
【详解】解：如图1，当蚂蚁由点经前表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，
如图2，当蚂蚁由点经前表面和右表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，
如图3，当蚂蚁由点经左表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，
如图4，当蚂蚁由点经左表面和后表面所构成矩形的对角线到达点时，

由勾股定理可得，
∵，
故选： A．
【点睛】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理；根据长方体的侧面展开分类讨论是解题关键．
8．A
【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可.
【详解】如图将正面与右面展开在同一平面，连接，

由勾股定理得：，
如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，

由勾股定理得：，
如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，

由勾股定理得：，
∴从处爬到处的最短路程是，
故选：．
【点睛】此题考查了立方体侧面展开图最短路径问题，解题关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意要进行分类讨论．
9．C
【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出长即可得到答案．
【详解】解：如图1所示将长方体展开，则；
如图2所示将长方体展开，则；
如图3所示将长方体展开，则；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答．
10．B
【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．
【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，
由已知得：，，，
在中，由勾股定理得：，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．
11．A
【分析】求出蚂蚁沿着木柜表面经线段到，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段到的距离，再进行比较即可．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是，
蚂蚁沿着木柜表面经线段到，
爬过的路径的长是．
，最短路径的长是．
故选A．
【点睛】此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引起同学们的注意．
12．
【分析】（1）把圆柱侧面展开，在中，利用勾股定理求解即可．
（2）将圆柱侧面展开，得到矩形，作点关于的对称点，构造，根据勾股定理求出即可解决问题．
【详解】(1)如图，把圆柱侧面展开，在中，
∵，
∴ ，
故答案为：．
(2)如图所示，点与点关于对称，可得，，
则最短路程为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理求线段最短距离，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．15
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ；
又∵圆柱高为，
∴小长方形的一条边长是；
根据勾股定理求得；
∴；
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
14．30
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：→→；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：（cm）；
又∵圆柱高为18cm，
∴小长方形的一条边长是（cm）；
根据勾股定理求得（cm）；
∴cm；
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
15．(1)25
(2)
【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可；
（2）在Rt中根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
在Rt中，，，
（尺）
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25；
（2）解：在Rt中，，，
（尺），
答：葛藤长为尺．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键．
16．B
【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解： 由图可知：，
∵米，米，
∴米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），
∴至少需防滑毯的长为：（米），
∵防滑毯宽为5米
∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．
17．25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
18．
【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．
【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为18+2×2=22米；宽为7米．
于是最短路径为：（米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
19．A
【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，
此时，
而，
∴，
∴长度的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键．
20．C
【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
【详解】解：如图，
∵侧面对角线，
∴，
∵，
∴，
∴空木箱能放的最大长度为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
21．
【分析】如图，根据已知条件知道AB=50cm，BC=40cm，CD=30cm，连接AD，求出AD的长度即可．
【详解】
解：如图，
根据已知条件知道AB=50cm，BC=40cm，CD=30cm，连接AD，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=502+402=4100，
在Rt△ADC中，AD===50
【点睛】此题首先能根据题意正确画出图形，然后根据图形隐含条件利用勾股定理即可解决问题．
22．
【分析】根据，可得，从而得到，找到的中点O，即可得到，即可得到当、、三点共线时距离最小，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
如图找到的中点O，

∴，
∴当、、三点共线时距离最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴线段长的最小值为：，
故答案为：；
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是得到，结合三点共线找到最小距离点．
23．4
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；
【详解】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；
，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
答案第1页，共2页
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