专题1.27用勾股定理求最值常用方法专题 分层练习提升练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.27 用勾股定理求最值常用方法专题（分层练习）（提升练）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
一、单选题
1．如图，，内有一点P，，M是上一动点，N是上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
2．如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D，则的最大值为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
5．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点处受食，则蚂蚁所行路程的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，．点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）．

A．10 B．50 C．10 D．70
9．如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
10．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，折叠矩形纸片，使点落在上一点处，折痕的两端点分别在上(含端点)，且．则的最大值是 ，最小值是 ．
12．如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.过点A作直线平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线上的点T处，折痕为MN，当点T在直线上移动时，折痕的端点M，N也随之移动．若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动（点M可以与点A重合，点N可以与点C重合），则线段AT长度的最大值与最小值的和为 （计算结果不取近似值）．
13．如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则的最大值为 ．
14．如图，中，，，，点在上，将沿折叠，点落在点处，与相交于点，则的最大值为 ．
15．如图，在中，，，，点D是上的一个动点（点D与点B不重合）），连接，作点B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ．
16．如图，A、B两点在直线外的同侧，A到的距离，B到的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ．
17．如图，中，，，，射线与边交于点，、分别为、中点，设点、到射线的距离分别为、，则的最大值为 ．
18．如图，一副三角板和拼合在一起，边与重合，，，，．当点从点出发沿向下滑动时，点同时从点出发沿射线向右滑动．当点从点滑动到点时，连接，则的面积最大值为 ．
19．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为 ．
20．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是 寸．
21．如图所示的长方体，，，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
22．如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ．当的值最小时，
23．如图．长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B，那么所用细线最短需要 cm．
三、解答题
24．在△ABC中，AB=13，BC=14．
（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为　 　；
（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．
25．
(1)如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点）， ， ，垂足分别为A，B， 米， 米，现在菜农要在 上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出 的最小值．
(2)借助上面的思考过程，请直接写出当 时，代数式的最小值＝ ．
26．（1）问题探究
①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP，求AP的最小值．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式表示）．
（2）问题解决
如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，请直接写出PD＋PE的最小值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】作点P关于的对称点D，E，连接，如图，利用轴对称的性质证明，，的周长，即可解决问题.
【详解】解：作点P关于的对称点D，E，连接，如图，
则垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴的周长（当D、M、N、E四点共线时取等号），
∴的周长的最小值即为的长，
∵，
∴的周长的最小值是；
故选：C.
【点睛】本题考查了对称轴的性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线、得出的周长的最小值即为的长是解题的关键.
2．D
【分析】根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案．
【详解】解：如图：

∵将边沿翻折，点B落在点F处，
∴，
∴，
当最小时，最大，此时，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．
3．C
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】∵中，，，，
∴，
∵，，
∴当最小时，最大，
当时最小，
而，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键．
4．B
【分析】过点A作于H，在上截取，证明，则，可得，由得到的最小值是的长，由勾股定理得到，根据等积法求出的长即可．
【详解】解：过A作于H，在上截取，
∵的平分线交于点D，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴，
∵，
∴的最小值是的长．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键．
5．C
【分析】求CQ的最小值就是求CM的最小值，故当CM⊥AB时，CM最小，利用等积法求出CM的长度即可
【详解】∵BC=6，AC=8，AB=10
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠C=90°
又∵MP⊥BC，MN⊥AC
∴四边形PCNM为矩形
∵Q为PN的中点，
∴CQ=CM
∴当CM⊥AB时，CM最小，即CQ最小
∵
∴
∴CM=4.8
∴CQ=2.4
故答案：C
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，等积法的应用，知道CM⊥AB时最小是解决本题的关键．
6．B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．
【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．
①如图1，
∵AB=3，BC=2，=1，
∴在中，AC=AB+BC=5，，
∴；
②如图2，
∵AB=3，BC=2，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴蚂蚁所行路程的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．
7．B
【分析】根据在翻折及已知条件求得，，再根据的周长的最小时，P、D点重合即可求得周长.
【详解】∵在中，，且沿直线翻折，点B落在边上的点E处，
∴，，
∵，，
∴，
∴
,
∵的周长的最小时，P、D点重合，
∴，
故选B.
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，大胆猜测，合情推理科学论证
8．B
【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．
【详解】解：分两种情况：（其它情况与之重复）
①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接，

在中，，，
根据勾股定理得：；
②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接，

在中，，，
根据勾股定理得：；
蚂蚁爬行的最短距离为50．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键．
9．D
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
（米），（米），
（米），
（米），
（米）
这只蚂蚁的最短行程应该是米，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
10．A
【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方体的棱长为，
∴，，
在中，，
在中，，
∴；
故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．
11． 6； 2．
【分析】点G在AB边上，点F在BC边上．分别利用当点F与点C重合时，以及当点G与点A重合时，求出AE的极值进而得出答案：
【详解】解：如图，设的长度为当点与点重合时，
根据翻折对称性可得
在中，
即，
解得
即
如图，当点与点重合时，
根据翻折对称性可得
即；
所以的最大值是最小值为
故答案是：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕最大和最小的情况并利用勾股定理列出方程求解，作出图形更形象直观．
12．14﹣2
【分析】首先确定AT取得最大及最小时，点M、N的位置，然后分别求出每种情况下AT的值，继而可得线段AT长度的最大值与最小值的和．
【详解】解：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT＝AB＝6；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝6，
由轴对称可知，CT＝BC＝8，
在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，
则DT＝＝＝2，
∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为14﹣2．
故答案为：14﹣2．
【点睛】本题考查了勾股定理折叠变换的知识，解题关键是找到.AT最大值和最小值的两个极值点，注意翻折前后对应边相等．
13．5
【分析】连接，，根据面积关系可以求得，当最小为边上高时，即可求出的最大值．
【详解】解：如图，连接，，过E作垂线，垂足为M点，过F作垂线，垂足为N点，即，，
则，，
∵E，F分别为，中点，
∴，，
∴，
∵，
∵
∴，
∴，
∵，，，
∴，设上的高为，
∴，
∴，
当最小时，即，此时时，最大，
∴，
∴最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练掌握三角形的中线的含义是解题的关键．
14．
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
，，
当最小时，最大，
当时最小，
又，解得，
的最小值为，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键．
15．
【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
连接交于，如图，
∵点B关于直线的对称点是E，
∴，
当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，
由得，
∴，
∴面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积、勾股定理等知识，能得出当时面积最大是解答的关键．
16．10
【分析】延长交于点，过点B作，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长．最后根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，
∵，
∴当点P运动到点时，最大，即为的长．
∵，
∴，
∴，
∴的最大值等于10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理．正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．
17．
【分析】连接CE，CF，根据面积关系可以求得S△ABC=，当CD最小为AB边上高时，即可求出m+n的最大值．
【详解】如图，连接CE，CF，过E作CD垂线交于M点，过F作CD垂线交于N点，即EM=m，EN=n，
则S△CDF=，S△CDE=，
∵E，F分别为AD，BD中点，
∴S△CDE=S△CDA，S△CDF=S△CDB，
∴S△CEF= S△CDE+ S△CDF=( S△CDA+S△CDB)=S△ABC，
∵S△CEF=S△CDF+ S△CDE=，
∵S△ABC=
∴S△ABC==3，
∴=6，
当CD最小时，即CD=时，m+n最大，
∴最大值为2.5，
故答案为：2.5 ．
【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握三角形的中线定理是解题的关键．
18．
【分析】根据勾股定理分别求出BC和FD的长度，再根据题意得出点D到BC的最大距离为DF，计算即可得出答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6cm
可设CB=xcm，AB=2xcm
根据勾股定理可得
∴BC=2cm
在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=AC=6cm
可设ED=FD=ycm
可得
∴DF=ED=3cm
在点F从点C出发沿射线BC向右滑动的过程中，当DF⊥BC时，点D到BC的距离最大最大值为DF，
此时，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用等知识，确定当DF⊥BC时，点D到BC的距离最大最大值为DF是解决本题的关键．
19．13
【分析】先将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再根据两点之间线段最短和勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为，
，
，
，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
20．25
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：将台阶展开矩形，线段恰好是直角三角形的斜边，两直角边长分别为24寸，7寸，
由勾股定理得寸．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
21．
【分析】按照不同的展开图计算，比较确定答案即可．
【详解】如图，得到如下展开图：
取的中点M，连接，
则四边形是矩形，
此时，
所以；
取的中点N，连接，
则四边形是矩形，
此时，
所以；
因为，
所以最短距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何体展开图上的最短距离计算，正确把握展开图是解题的关键．
22． 10 ##
【分析】根据勾股定理即可求出；作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P，通过证明得出，，进而得出，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理可得：，
作点E关于的对称点，过点作于点F，交于点P．
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：10，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据题意做出辅助线构建全等三角形，根据勾股定理列出方程求解．
23．
【分析】如果从点如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，再根据勾股定理求出斜边长即可．
【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短细线长，
，，
，
，
，
∴所用细线最短长度是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．
24．（1）84;（2）m+n的最大值为15，最小值为12．
【分析】（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）依据S△ABC=S△ABH+S△BHC可知BH AE+BH CF=84，然后将BH=x，AE=m，CF=n代入整理即可．
【详解】解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD===12．
∵BC=14，
∴==84．
故答案为84．
（2）∵S△ABC=S△ABH+S△BHC，
∴．
∴xm+xn=168．
∴m+n=
∵AD=12，DC=14﹣5=9，
∴AC==15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．
∴（m+n）BH=AC BH．
∴m+n=AC=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH值最大时，m+n有最小值．
∴当点H与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n=，
∴m+n=12．
∴m+n的最大值为15，最小值为12．
【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与三角形的面积公式.
25．(1)250米
(2)17
【分析】（1）作点C关于 的对称点F，连接DF交AB于点P，连接PC，点P即为所求；根据勾股定理可得DF的长，从而解答即可；
（2）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，使 ， ， ，DF就是代数式的最小值．
【详解】（1）作点C关于 的对称点F，连接 交 于点P，连接 ，点P即为所求；
作 交 的延长线于E．
在 中，∵ 米， 米，
∴（米），
∴ 的最小值为250米；
（2）（2）：先作出点C关于 的对称点F，连接 ，作 交 的延长线于E．使 ， ， ，DF的长就是代数的最小值，
∵
∴代数式的最小值为17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）①；②AB＝a；（2）3
【分析】（1）① 根据垂线段最短原理计算即可；②根据勾股定理计算即可；（2）利用轴对称原理和垂线段最短原理求解即可．
【详解】（1）问题探究
①如图1，过A作AE⊥CB于E，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC＝＝12，
∵＝×AB×AC＝×BC×AE，
∴AE＝
＝，
根据垂线段最短可知当AP与AE重合时，AP的值最小，最小值为；
②如图2，
∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴，
∵AC＝a，
∴，
∴AB＝a或AB＝﹣a（舍去），
∴AB＝a；
（2）问题解决
作关于的对称点 过作于 交AB于，如图3，
则
则最短，
为中点，为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠BCA＝45°，为等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝，
同理可得：为等腰直角三角形，
PD＋PE的最小值为3．
【点睛】本题考查了垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握垂线段最短原理，正确构造解题需要的基本图形是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页