专题1.31勾股定理全章复习与巩固 中考真题专练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.31 勾股定理全章复习与巩固（中考真题专练）
一、单选题
（2023·湖北·统考中考真题）
1．如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）

A． B． C． D．
（2023·四川泸州·统考中考真题）
2．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
（2022·广西桂林·统考中考真题）
3．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
（2021·山东滨州·统考中考真题）
4．在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
（2021·四川凉山·统考中考真题）
5．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）
6．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）
7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
（2021·山东枣庄·统考中考真题）
8．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（　　）
A． B．3 C．3 D．3
二、填空题
（2023·湖北随州·统考中考真题）
9．如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．

（2023·山东东营·统考中考真题）
10．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）
11．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．

（2023·四川广安·统考中考真题）
12．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）

（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= ．
（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）
14．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是 ．

（2022·湖北黄冈·统考中考真题）
15．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
（2021·江苏宿迁·统考中考真题）
16．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的（示意图如图，则水深为 尺．
（2021·湖南常德·统考中考真题）
17．如图．在中，，平分，于E，若，则的长为 ．
（2021·四川内江·统考中考真题）
18．已知，在中，，，，则的面积为 ．
三、解答题
（2021·四川攀枝花·统考中考真题）
19．如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
（2022·四川资阳·中考真题）
20．如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
（2021·湖南长沙·统考中考真题）
21．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
（2020·浙江温州·统考中考真题）
22．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
（2018·甘肃天水·中考真题）
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积．
（2013·吉林·中考真题）
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AC=3cm，则BE=　 　cm．
（2019·河北·统考中考真题）
25．已知：整式，整式．
尝试: 化简整式．
发现: ，求整式．
联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值：
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ / 8 　 　
勾股数组Ⅱ / 　 　
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分的周长，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．C
【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵，是互质的奇数，
∴A．，
∴当，时，，，，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．，
∴当，时，，，，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．，，
∵，是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．，
∴当，时，，，，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．
3．D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
4．D
【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
【详解】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
5．D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
6．B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN MN＝-=．
故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
7．B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
8．B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【详解】解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
9．5
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．50
【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，根据题意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．
11．12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
【详解】如图，延长BE交AD于点F，

∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
12．10
【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，
，
∵底面周长为，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
13．3．
【详解】试题分析：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC CD+AB DE=AC BC，
即×6 CD+×10 CD=×6×8，
解得CD=3．
考点：1．角平分线的性质，2．勾股定理
14．18
【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．
【详解】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．
15．m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．12
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
.解得，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
17．
【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
18．2或14#14或2
【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
【详解】解：过点作边的高，
中，，，
，
在中，，
，
①是钝角三角形时，
，
；
②是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
19．见解析
【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可
【详解】解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，
4个小直角三角形的面积，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据，可以得到，即可用SAS证明得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，可以得到，设，则，因为在中，，而在中，，即可列出方程求出三角形的面积．
【详解】（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
22．（1）见解析；（2）13
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
23．CD=2；四边形ABCD的面积是
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH．
∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1．∴EH=DH=1．
又∵∠DCE=30°，∴CD=2，HC=．
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=．∴AB=AE=2．
∴AC=2+1+=3+．
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
24．（1）见解析（2）6
【详解】（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，
∴CD=CE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCE．
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD．
∴∠ACD=∠BCE．
∵在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）∵AC=BC=3，∠ACB=90°，
∴由勾股定理得：AB=3．
又∵DB=AB，
∴AD=2AB=6．
∵△ACD≌△BCE，
∴BE=AD=6，
故答案为：
25．尝试：；发现：；联想：17，37.
【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
【详解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页