专题2.1认识无理数 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.1 认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】不是有理数的数（无理数的产生）
如图，用剪拼的方法将两个边长为1的小正方形拼成如图①②③的某个大正方形，若大正方形边长为a，由拼法可知=2.
我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为2的大正方形的面积夹在面积为1和面积为4的两个正方形的面各之间，它的边形必然在1和2之间，显然a不为整数．
又因为最简分数的平方仍为分数，若a为最简分数，则仍然是一个分数，也不等于2，所以a也不为分数．
从上面分析与推理，若，当a不能写成一个整数或一个分数时，x就不是有理数．
【知识点2】无理数的概念
1.无理数的概念 无限不循环小数称为无理数，如圆周率≈3.14159265... ,1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)等
2.常见的无理的的几种类型
（1）一般的无限不循环小数，如1.4142345...；
（2）有规律的不循环小数，如1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)；
（3）含的一些数， 如5；
（4）开方开不尽的数，
（5）无理数与有理数的和， 如+4；
（6）无理数乘以或除以一个不为0的有理数，结果是无理数，如.
【考点一】无理数 无理数的产生与证明
【例1】
1．证明：中x不是有理数．
【举一反三】
【变式】
2．设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数．
【考点二】无理数 无理数的概念
【例2】
3．把下列各数的序号填入相应的横线内：
①，②＋8，③20%，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（每两个“1”之间依次多一个“3”）．
整数：{ }；
负分数：{ }；
无理数：{ }．
【举一反三】
【变式1】
4．把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，，，，，，，．
整数集合{___________…}；
正分数集合{___________…}；
非正数集合{___________…}；
无理数集合{___________…}．
【变式2】
5．把下列各数的序号填入相应的集合里.
，，，，， ， ，
正数集合：{___________…}；
整数集合：{___________…}；
负分数集合：{___________…}；
无理数集合：{___________…}.
【考点三】无理数 勾股定理与无理数
【例3】
6．500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
【举一反三】
【变式1】
7．已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
【变式2】
8．请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：
（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；
（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；
（3）使它的三边边长都不是有理数．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．详见解析
【分析】假设x是有理数，则x可以表示为（a，b均为整数且互质），从而可得，由此判断出a是偶数，再设（c为整数），从而可得，由此判断出b是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．
【详解】证明：假设x是有理数，
故x可以表示为（a，b均为整数且互质），
则，
因为是偶数，
所以是偶数，
所以a是偶数，
设（c为整数），
则，即，
所以b也是偶数，这和a，b互质矛盾．
所以假设不成立，x是无理数．
【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键
2．详见解析
【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可．
【详解】假设是有理数，则也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数．
同理假设是有理数，也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数．
【点睛】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．
3．整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨
【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可．
【详解】解：，，
整数：＋8，0，；
负分数：，；
无理数：，（每两个“1”之间依次多一个“3”）．
故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨．
【点睛】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键．
4．见详解
【分析】根据各自的定义：整数（正整数、零和负整数）；无理数（无限不循环的小数），即可求解．
【详解】负整数；是小数也是分数；是负数，也是小数；是无理数；是整数；是分数；是小数也是分数；是带分数，也是负数；是正整数，是循环小数，也是有理数；即有：
整数集合：{，，，}；
正分数集合：{，，，，}；
非正数集合：{，，，，}；
无理数集合：{，}．
【点睛】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数是首先是分数，即是有理数，再是正数．
5．；；；
【分析】根据有理数及无理数的分类解答即可．
【详解】解：，，，
正数集合：{…}；
整数集合：{…}；
负分数集合：{…}；
无理数集合：{…}.
故答案为：；；；
【点睛】本题考查了有理数及无理数的分类，解决本题的关键是熟练掌握有理数及无理数的分类方法．
6．（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.
【分析】（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
【详解】（1）不是，∵1<2<4，而x2=2
∴10，1∴在1和2之间不存在另外的整数.
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.
【点睛】本题主要考查无理数和勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
7．长、宽、高分别为15，12，9，不是无理数．
【详解】试题分析：
首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.
试题解析：
该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：
设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：
60x3=1620，
解得x=3，
∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，
∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，
∴该长方体的长、宽、高不是无理数.
8．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数；
（2）可使一条直角边长为边长1与2的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为2和4的长方形的对角线，由此得到图形；
（3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形．
【详解】解：（1）如图，
（2）如图，
（3）
【点睛】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键．
答案第1页，共2页
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