专题2.2认识无理数 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.2 认识无理数（分层练习）
一、单选题
1．下列实数，，，， 中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各数中属于无理数的是( )
A． B． C． D．
3．下列说法不正确的是（ ）
A．无理数是无限不循环小数
B．无限小数是无理数
C．任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数
D．含有的数是无理数
4．在…，，0，，中，这5个数中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B．1.5
C．面积为2的正方形的边长 D．3.1415926
6．下面四个数中，负数是（　　）
A． B． C．0 D．
7．下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．0.6 D．5.212121
8．下列各数中，无理数是( )
A． B． C． D．
9．下面的说法中，正确的是（ ）
A．分数包括小数 B．无限循环小数是无理数
C．有理数和无理数统称实数 D．无限不循环小数可以写成分数的形式
10．在实数0，，，3.415926，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．写出一个比5小的正无理数是 ．
12．举例说明命题“两个无理数、的和一定是无理数”是假命题， ， ．
13．写出一个无理数，使得，则可以是 （只要写出一个满足条件的即可）．
14．请你写出两个和为1的无理数： ．
15．下列各数：0.5，0，1.26850349，，，0.21212112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1），其中无理数有 个．
16．在﹣1、0、0.101001…、π、5.1、7的6个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
17．能说明命题“两个无理数、的和一定是无理数”是假命题的一组，的值可以是 ．
18．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示．为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．请你写出一个无理数 ．
三、解答题
19．把下列各数的序号分别填入相应的括号里：①；②…；③；④；⑤；⑥；
（1）负数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
20．把下列各数填入它所属的集合内：
，0，，，，300，， ， ．
(1)负数集合：{ …}；
(2)非负整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
21．已知数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0．这个数是有理数还是无理数？为什么？
22．两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明．
23．设面积为5π的圆的半径为a．
(1)a是有理数吗？说说你的理由；
(2)估计a的值（结果精确到0.1），并利用计算器验证你的估计；
(3)如果结果精确到0.01呢？
24．如图，等边三角形的边长为，高为，可能是整数吗？可能是分数吗？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，即可解答．
【详解】解：无理数有，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．
2．B
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在、、、中，、、是有理数，是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
3．B
【分析】根据无理数的定义逐个判断，即可进行解答．
【详解】解：无限不循环小数是无理数，故B不正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握：无限不循环小数是无理数．
4．A
【分析】无理数数是无限不循环小数，根据定义判断即可．
【详解】解：在…，，0，，中，
…和是无理数．
故选：A
【点睛】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
5．C
【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：是分数，1.5、3.1415926是有限小数，均为有理数，故A、B、D不符合要求；
面积为2的正方形的边长为，是无理数，故C符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
6．D
【分析】利用正数负数的定义判断．
【详解】解：，，0，四个数中，只有是负数．
故选：D．
【点睛】本题考查了正数负数，解题的关键是掌握正数负数的定义．
7．A
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：在，，0.6，5.212121中，无理数是．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括以下三方面的数：①含的，如，②开方开不尽的根式，如，③一些有规律的数，如0.010010001...．
8．B
【分析】根据无理数的概念“无限不循环小数”进行判断即可，常见的无理数有、根式、无限不循环小数．
【详解】解：、、是有理数，
是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的概念；熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
9．C
【分析】根据分数与无理数、有理数的关系即可求解．
【详解】A、分数包括有限小数和无限循环小数，无限不循环小数不能化为分数，故此选项错误；
B、无限不循环小数是无理数，故此选项错误；
C、有理数和无理数统称实数，故此选项正确；
D、无限不循环小数不可以写成分数的形式，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查分数与无理数、有理数的关系，解题的关键是明确无限不循环小数不能化为分数．
10．B
【分析】直接根据无理数的定义判断即可．
【详解】在实数0，，，3.415926，，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有，1.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）共2个，
故选B．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．
11．（答案不唯一）
【分析】根据正无理数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查正无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
12．
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一对a、b的值即可．
【详解】解：当时，
是有理数，
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例，难度不大．
13．（答案不唯一）
【分析】从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足即可．
【详解】解：无理数的三种形式为：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
只要写出一个满足条件的即可，比如：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键．
14．与（答案不唯一）
【分析】根据无理数加法求解即可．
【详解】解：两个和为1的无理数：与，
和为：，符合题意，
故答案为：与（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了无理数的加法，熟练掌握运算法则是解题关键．
15．2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】在0.5，0，1.26850349，，，0.21212112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数有，0.21212112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1），一共2个．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
16．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵在-1、0、0.101001、π、5.1、7的6个数中，
-1、0、7是整数，有理数；
5.1是有限小数，有理数；
无理数有0.101001…、π共2个，
∴随机抽取一个数，抽到无理数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
17．，（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一组，的值即可．
【详解】解：当，时，
，
，时，是有理数．
故答案为：，（答案不唯一）．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例．
18．π（答案不唯一）
【分析】根据无理数的定义，即可写出答案．
【详解】解：由题意可得，π是无理数．
故答案为：π(答案不唯一)．
【点睛】此题考查了无理数的定义，关键是掌握无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，比较简单．
19．（1）①⑥；（2）②④
【分析】根据无理数和负数的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：①-3是有理数，是负数；②…是无限不循环小数，是无理数，是正数；③0是有理数，既不是正数也不是负数；④是正数，是无理数；⑤是正数，是有理数；⑥-9是负数，是有理数，
（1）负数集合：{ ①⑥ …}；
（2）无理数集合：{②④…}．
【点睛】本题主要考查了无理数和负数的定义，解题的关键在于能够熟知二者的定义．
20．(1)， ，
(2)0， 300
(3)，，， ，
(4)，
【分析】（1）根据负数定义即可得到答案．
（2）写出0和正整数即可．
（3）根据分数定义即可得到答案．
（4）根据无理数定义即可得到答案．
【详解】（1）解：负数有：， ，
故答案为：， ，．
（2）解：非负整数有：0， 300
故答案为：0， 300．
（3）解：分数有：，，， ，
故答案为：，，， ，．
（4）解：无理数有：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了实数分类，理解实数、有理数、无理数定义是解题关键．易错点总结：大于0的数叫正数，只看符号；分数容易漏掉无限循环小数，无限循环小数可以转化成分数，属于分数，也是有理数．
21．无理数．因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数．
【分析】根据无理数的定义解答．
【详解】解：∵数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0，
∴这个数是无理数，因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数．
【点睛】此题考查无理数的定义：无限不循环小数是无理数．熟记定义是解题的关键．
22．不一定，见解析
【分析】根据无理数的特点,各举出一个反例即可．
【详解】不一定，理由如下：
无理数，无理数-，它们的和为：+（-）=0，是有理数；
-=0，是有理数；×=2，是有理数；是有理数，
∴两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数，举例不唯一．
【点睛】本题考查了无理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．(1)a不是有理数，见解析
(2)a≈2.2
(3)a≈2.24
【详解】a不是有理数．理由如下：因为πa2＝5π，所以a2＝5．因为没有任何一个有理数的平方等于5，所以a不是有理数．a≈2.2；a≈2.24
24．不可能是整数，也不可能是分数
【分析】根据等边三角形三线合一即可求得D为BC的中点，即BD=1，在Rt△ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的值，即可解题．
【详解】解：∵等边三角形三线合一
∴D为BC的中点，且AD⊥BC，
即BD=CD=1，
∵AB=2，
∴AD=，
即=
故不可能是整数，也不可能是分数．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中根据勾股定理求的长是解题的关键．
答案第1页，共2页
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