专题1.29勾股定理常考考点分类专题 分层练习基础练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题1.29 勾股定理常考考点分类专题（分层练习）（基础练习）
特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习．
一、单选题
【考点1】勾股定理 勾股数
1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（　　）
A．13，16，19 B．5，13，15 C．18，24，30 D．12，20，37
2．下列各组数中，能构成勾股数的是（　　）
A．1，1， B．1，，2 C．6，8，10 D．5，12，15
【考点2】勾股定理 勾股树
3．如图，在中，，于点，若，，则的长为（ ）

A． B．3 C． D．5
4．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或24
【考点3】勾股定理 求线段长
5．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．2024 B．2023 C．2022 D．1
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
【考点4】勾股定理 面积
7．如图中，，，，分别以三边为直径画半圆，则两月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（ ）
A． B． C． D．
8．在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ）.

A．4 B． C．5 D．6
【考点5】勾股定理 网格问题
9．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，小方格的面积是，则图中以格点为端点且长度为的线段有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【考点6】勾股定理 线段的平方和（差）
11．在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
12．直角三角形中，斜边长为为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点7】勾股定理的逆定理 判定三角形的形状
13．在△ABC中，三边长a、b、c满足(a +c)(a-c) =，则△ABC的形状是（ ）
A．以a为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形
C．以c为斜边长的直角三角形 D．不是直角三角形
14．已知三角形三边的长分别为3、4、6，则该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【考点8】勾股定理的逆定理 弦图问题
15．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　）
A． B． C． D．
16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【考点9】勾股定理的逆定理 勾股定理与无理数
17．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点10】勾股定理的逆定理 勾股定理的证明方法
19．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
20．用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点11】勾股定理的逆定理 用勾股定理构造图形解决问题
21．为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的小明正对门缓慢走到离门1.2米处时（即米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离等于（ ）
A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米
22．如图，某长方体的底面为正方形，，，现用一根绳子从点A开始，沿着长方体的表面环绕长方体2圈，最后在点处结束，则这根绳子的最小长度为（ ）
A．（或）m B．（或）m
C．（或）m D．（或）m
【考点12】勾股定理的逆定理 用勾股定理与折叠问题
23．如图，在中，将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合， 为折痕，则的长为（　　）
A． B． C． D．
24．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为．已知则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点1】勾股定理 勾股数
25．有一组勾股数，最大的一个是37，最小的一个是12，则另一个是 ．
26．周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是 ．
【考点2】勾股定理 勾股树
27．如图，小明的数学作业本上都是等距离的横线，相邻两条横线的距离为，他把一个等腰直角三角板）放在本子上，点恰好都在横线上，则斜边的长度为 ．

28．若在中，，，高，则的长为 ；
【考点3】勾股定理 求线段长
29．下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ．
30．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ．
【考点4】勾股定理 面积
31．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过正方形对角线的交点，则这条直线平分该正方形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小明将该图形沿着过点P的某条直线剪了一刀后，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是 ．
32．如图，在中，，点是边上一动点，交于点，当时，的面积恰好等于的面积，连接，则此时＝
【考点5】勾股定理 网格问题
33．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均在格点上，线段与竖直网格线相交于点D，则线段的长为 ．
34．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是4×4的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为 ．（可以用含根号的式子表示）
【考点6】勾股定理 线段的平方和（差）
35．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝ ．
36．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，若AB＝3，BC＝5，CD＝6，则AD＝ ．
【考点7】勾股定理的逆定理 判定三角形的形状
37．把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是 ．
38．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）线段AB的长为__，BC的长为__，CD的长为__，AD的长为__；
（2）连接AC，通过计算△ACD的形状是__；△ABC的形状是__．
【考点8】勾股定理的逆定理 弦图问题
39．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾，弦，则小正方形的边长是 .
40．用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ．

【考点9】勾股定理的逆定理 勾股定理与无理数
41．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ．
42．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ．
【考点10】勾股定理的逆定理 勾股定理的证明方法
43．如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有 （填“＞”或“＜”或“”）
44．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 ＋ ，化简后即为 ．

【考点11】勾股定理的逆定理 用勾股定理构造图形解决问题
45．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光．其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高5cm时，这段葛藤的长是 cm．
46．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为 米
【考点12】勾股定理 用勾股定理与折叠问题
47．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处．若图中 ，，，则 的长为 ．
48．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据勾股数定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行分析即可．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据勾股数的定义进行逐一判定即可：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．
【详解】解：A、∵不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
B、∵不是正整数，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴这一组数能构成勾股数，符合题意；
D、∵ ，
∴这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的概念．
3．A
【分析】利用勾股定理求出，再利用面积法得到，即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用三角形的面积列出方程求解．
4．C
【分析】分8为斜边，6为直角边和8和6都为直角边两种情况，结合勾股定理解答即可.
【详解】解：若8为斜边，6为直角边，则第三边为；
若8和6都为直角边，则斜边为；
故选：C.
【点睛】本题考查了勾股定理，属于常见题型，熟练掌握勾股定理、正确分类是关键.
5．A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即．
“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；
“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，
“生长”3次后，所有的正方形的面积和是，
…
“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故选：A．
【点睛】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
6．B
【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积即可．
【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：
=
=
=26
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
7．C
【分析】阴影部分面积可以看成是以AB,BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积，再减去一个以AB为直径的半圆面积，从而得出答案．
【详解】解：∵
∴
∴S阴影=S以AB为直径的半圆+S以BC为直径的半圆+S以AC为直径的半圆
,
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理，解题关键是找出阴影部分的面积是由哪几个规则图形的面积的和或差表示．
8．A
【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义即可得到结果.
由图可知，，
则，
故选A.
考点：本题考查的是勾股定理的几何意义
点评：解答本题的关键是熟练掌握一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．同时理解边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
9．C
【分析】求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高．
【详解】解：四边形是正方形，面积是4；
，的面积相等，且都是．
的面积是：．
则的面积是：．
在直角中根据勾股定理得到：．
设边上的高是．则，
解得：．
故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用割补法求面积是解决本题的关键．
10．A
【分析】根据常见的勾股数3、4、5，构造以3、4为直角边的直角三角形即可．
【详解】解：如图所示，共4条．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数的运用，解题的关键是结合图形运用勾股定理，注意不要超出图形的范围．
11．C
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
12．B
【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】解:设该直角三角形的两条直角边分别为a、b
根据题意可得：
将②两边平方－①，得
∴
∴该直角三角形的面积为
故选B．
【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
13．A
【分析】先根据题意得出a、b、c的关系，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC的三边长a，b，c满足：（a+c）（a﹣c）＝，
∴，即，
∴△ABC是直角三角形，且a为斜边．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14．C
【分析】根据勾股定理求出以3、4为直角边的三角形的斜边长，由此即可得．
【详解】
以3、4为直角边的三角形的斜边长为5
以3、4、6为三边构成的三角形是钝角三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题关键．
15．C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，，
∴，，
∴，
∴，即小正方形边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．
16．C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答．
【详解】解：∵三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
∴四个三角形的面积为，
∵，大正方形的面积为，
∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键．
17．A
【分析】根据图示，可得：点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴和实数及勾股定理，能求出的长是解此题的关键．
18．D
【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长．
【详解】解：观察图形，应用勾股定理，得
，
，
，
∴三个边长都是无理数；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数与勾股定理，解题的关键是理解无理数及使用勾股定理．
19．D
【分析】根据等面积法列出等式，进而化简等式，结合勾股定理即可作出判断．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，故选项A能证明勾股定理，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，故选项B能证明勾股定理，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，故选项C能证明勾股定理，不符合题意；
D．是证明完全平方公式，不能证明勾股定理，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题是证明勾股定理，熟记基本图形的面积公式和完全平方公式，利用等面积法正确得出等量关系是解答的关键．
20．B
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【详解】解：观察图形可知： 空洞面积为a2+b2+ab=c2+ab，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息．
21．C
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米）．
在中，由勾股定理得到：（米），
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
22．C
【分析】如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和4，再根据勾股定理求出斜边长即可．
【详解】解：如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8和4，
根据勾股定理可知所用绳子最短需要m．
故选C．
【点睛】本题考查的是平面展开 最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
23．C
【分析】设未知数利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在中，
∴
∵将折叠，使点 B 恰好落在边 上，与点重合，
∴，
∴
设，则
∴在中，
即，解得
∴
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．
24．B
【分析】根据折叠的性质知：CF=HF，AB=DC=BH；可设CF为x，用x表示出HF和BF的长，进而在Rt△BHF中求出x的值，即可得到BF的长；因为△BEF在长方形ABCD中，所以它的高为4，然后利用三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：设CF=HF=x，则BF=8-x，
在Rt△BHF中42+x2=（8-x）2，
得x=3，
∴BF=5，
∴S△BEF=5×4×=10
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折变化的性质以及勾股定理等知识，根据题意得出CF=HF的长是解题关键．
25．35
【分析】根据勾股数的定义，勾股定理求解．
【详解】解：根据勾股定理得，中间一个数为：．
【点睛】本题考查勾股数定义，勾股定理，理解勾股定理表述的数量关系是解题的关键．
26．
【分析】根据题意可得，勾为为偶数且，根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】解：根据题意可得，勾为为偶数且，则另一条直角边，弦．
则弦为．，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
27．
【分析】首先添加辅助线过作于点，过作于点，再利用得证，进而根据已知条件由勾股定理求得，进一步计算即可得解．
【详解】解：过作于点，过作于点，如图：

∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵相邻两条横线的距离都是
∴，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，证出是解题的关键．
28．或
【分析】根据高的定义可得，进而根据勾股定理分别求得，分类讨论即可求解．
【详解】解：如图，

为边上的高，
，
在中，，
在中，，
当点在线段上时，；
当点在线段的延长线上时，，
的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键．
29．
【分析】根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，
第一个正方形的边长为，
第一个正方形的面积为，
由勾股定理得，，
，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，
“生长”第1次后所有正方形的面积和为，
同理，“生长”第2次后所有正方形的面积和为，
则“生长”第2023次后所有正方形的面积和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理、图形的变化，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
30．127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
31．
【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
设直线与直线交于点M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】中心对称的性质，勾股定理的应用，证明推出是解题的关键．
32．
【分析】延长，过点作的垂线，垂足为点，根据和的面积相等可知线段AD是中线，，根据直角三角形的勾股定理可得的长度．
【详解】解：延长，过点作的垂线，垂足为点，如图所示
∵和的面积相等
∴
∵
∴
∵根据三角形中线的性质可知
∴
∵
∴
∴在中可得
在中可得
∴
∴在中可得
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中线和面积的关系以及勾股定理等知识点，灵活运用三角形的中线和面积的关系是解题的关键．
33．
【分析】先证明则，进而得出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是找出全等三角形，得出边的长度．
34．
【分析】先根据勾股定理求出的长，即为的长，再根据两点间的距离公式便可求出的长，则可得出答案．
【详解】解：由勾股定理可得，，
则，
∵点表示的数是1，
∴，
∴点所表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数较小的数，是解题的关键．
35．18
【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，
∵c＝3，
∴a2+b2+c2＝2×32＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值．
36．
【分析】根据勾股定理，分别写成四个直角三角形的三边关系，再将四个式子整理即可解题．
【详解】AC⊥BD，
在中，
①
②
同理得，
③
④
①+②=③+④即
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
37．直角三角形
【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．
【详解】解：12-3-5=4（cm），
∵32+42=52，
∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
38．（1），5，2，2；（2）等腰三角形，直角三角形
【分析】（1）利用勾股定理计算即可． （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：（1）由题意AB＝
BC
CD
AD
故答案为，5，2，2
（2）∵AC
∴AC＝AD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵AB＝，AC＝，BC＝5，
∴AB2+AC2＝25＝BC2，
∴∠BAC＝90°
∴△ABC是直角三角形，
故答案为等腰三角形，直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．1
【分析】根据勾股定理计算即可解题．
【详解】解：根据勾股定理可得，
∴小正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
40．
【分析】用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积．
【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，，
则，，，
∵，
∴
，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
41．3
【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可．
【详解】解：由题意得“弦”是，
∵，，，
∴10更接近于9，
∴接近于3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
42．
【分析】利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出．
【详解】解：
……
∴
故答案为：．
【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键．
43．
【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵正方形a，c的边长分别为a和c，
∴，，
由正方形的性质得：，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴正方形b的面积为，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．
44．
【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
【详解】解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为，，.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
45．13
【分析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：由题意可得，展开图中，，
则在中，．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键．
46．8
【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【详解】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
47．cm##2.4cm．
【分析】由折叠的性质得出∠BDC=∠BDC′=∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，求出∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=90°，DC'⊥AB，由勾股定理得出BE==5cm，由三角形面积即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°，
由折叠的性质得：∠BDC=∠BDC′=∠CDC'，∠ADE=∠A'DE=∠ADA'，∠BCD=∠C=90°，
∴∠BDE=∠BDC'+∠A′DE=×180°=90°，DC'⊥AB，
∴BE===5（cm），
∵△BDE的面积=BE×DC'=DE×BD，
∴DC'=（cm）；
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
48．3
【分析】根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，，然后设，表示和，最后根据勾股定理列出方程，再求出解即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，．
根据折叠的性质得，，．
设，则，，
在中，，
即，
解得，
所以．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，根据性质得出相应量的值是解题的关键．勾股定理是求线段长的常用方法．
答案第1页，共2页
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