专题2.3平方根 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.3 平方根（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】算术平方根
1.定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”，
2.表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a，
3.性质：
（1）正数只有一个算术平方根，并且恒为正；
（2）0的算术平方根为0，即；
（3）负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数．
【知识点2】平方根
4.定义 一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”，
5.表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作（a≧0），读作根号a，“正负根号a”，
6.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根．
【知识点3】开平方
7.定义 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；
8.
（1）
（2）
（3）
区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a；
被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a；
运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方．
联系：结果为非负数；中a≧0时，＝
9.性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根．
【考点一】算术平方根 求一个数的算术平方根
【例1】
1．求以下各数的算术平方根：，，，．
【举一反三】
【变式】
2．求以下各数的算术平方根：，，，，．
【考点二】算术平方根 非负性
【例2】
3．已知x，y，z是有理数，且满足，求的值．
【举一反三】
【变式1】
4．若，求m的算术平方根．
【变式2】
5．已知，求的值．
【考点三】算术平方根 整数部分与小数部分
【例3】
6．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．
【举一反三】
【变式】
7．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【考点四】算术平方根 规律问题
【例4】
8．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
．．． ．．．
．．． ．．．
(1)表格中x＝ ；y＝ ；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
规律：
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
①已知，则≈ ；
②已知，若，则 ．
【举一反三】
【变式】
9．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… …
… …
(1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍；
(2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，．
【考点五】算术平方根 实际应用
【例5】
10．如图有两个大小一样的正方形纸片，其边长为cm．小明按如图的方法把每个小正方形沿一条对角线裁成两个三角形，然后再把这四个三角形拼成一个大正方形．

(1)这个大正方形的边长为___________cm；
(2)小明要在所拼成的大正方形中沿边的方向裁出一个长宽比为且面积为的长方形，问能否成功，试说明理由．
【举一反三】
【变式】
11．如图，用两个边长为的小正方形纸片沿中间对角线剪开，拼成一个大正方形．
(1)大正方形的边长是______．
(2)丽丽同学想用这块大正方形纸片裁剪出一块面积为且长和宽之比为的长方形纸片，她能裁出来吗？请说明理由．
【考点六】平方根 概念的理解
【例6】
12．若某个正数的两个平方根分别为和，求这个正数的值．
【举一反三】
【变式】
13．已知．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【考点七】平方根 求一个数的平方根
【例7】
14．求下列各数的平方根．
(1)196；
(2)；
(3)；
(4)．
【举一反三】
【变式】
15．求下列各数的平方根：
(1)121；
(2)；
(3)；
(4)．
【考点八】平方根 求一个代数式的平方根
【例8】
16．已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【举一反三】
【变式】
17．若的算术平方根是3，求的平方根．
【考点九】平方根 已知一个的平方根，求原数
【例9】
18．已知一个正数的两个平方根分别为和．
(1)这个正数是多少？
(2)的算术平方根是多少？
【举一反三】
【变式】
19．已知的平方根是，的算术平方根是4，
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
【考点十】平方根 利用平方根解方程
【例10】
20．根据平方根的意义解方程：
(1)；
(2)．
【举一反三】
【变式】
21．解方程：
(1)；
(2)．
【考点十一】平方根 实际应用
【例11】
22．小悦想出一块面积为的正方形纸片．沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片使它的长宽之比为，小悦能用这块纸片裁出的符合要求的纸片吗 说明理由．
【举一反三】
【变式】
23．已知a﹣1和5﹣2a都是非负数m的平方根，求m的值．
佳佳的解题过程如下：
解：∵a﹣1和5﹣2a都是非负数m的平方根，
∴a﹣1+5﹣2a＝0，
解得a＝4，
∴a﹣1＝3，
∴m的值为9．
请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，，，
【分析】根据求一个数的算术平方根求解即可．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
【详解】
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键．
2．，，，，
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．
【详解】的算术平方根为：；
的算术平方根为：；
的算术平方根为：；
的算术平方根为：；
的算术平方根为：．
【点睛】此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．如果一个非负数x的平方等于a，即，那么这个非负数x叫做a的算术平方根．
3．
【分析】根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，可知，，都是非负数．结合，可得，，，从而可得答案．
【详解】解：根据数的平方，数的算术平方根和绝对值的非负性，
可知，，都是非负数．
又因为，
所以，，，解得，，，
所以．
【点睛】本题考查的是偶次方，算术平方根，绝对值的非负性的应用，求解代数式的值，理解非负数的含义是解本题的关键．
4．m的算术平方根为2．
【分析】根据算术平方根的非负性确定的值，进而求得的值，最后求得的算术平方根即可．
【详解】解：由题意得且，
∴且，
∴，
，
∵，
∴m的算术平方根为2．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的相关性质是解题的关键．
5．2022
【分析】根据算术平方根的非负性确定的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．
【详解】解：∵，
∴．
∴，
∴原式化简为，
∴，
∴，
故．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定的范围化简绝对值是解题的关键．
6．．
【详解】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根．
7．
【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可；
【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．
8．(1)，10
(2)规律见解析，①；②32400
【分析】（1）观察表格确定出与的值即可；
（2）根据表格中的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍”，据此分别计算①②可得答案．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，10；
（2）根据表中数据可得：算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；
①；
②．
故答案为：①；②32400．
【点睛】本题考查了算术平方根的知识，根据表格的数据发现规律是解题的关键．
9．(1)
(2)这块长方形纸片的长为，宽为
【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致；
（2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍；
故答案为：．
（2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，，
答：这块长方形纸片的长为，宽为．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
10．(1)
(2)不能裁出，理由见解析．
【分析】（1）一直两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设未知数，根据面积列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
【详解】（1）解：两个正方形的面积之和为：
，
拼成的大正方形的面积=42，
大正方形的边长是；
故答案为：．
（2）解：设所裁长方形的长为cm，宽为cm，则
，
，
解得：，
∴长为cm，宽为4cm，
∵，
∴不能裁出．
【点睛】本题考查了算术平方根实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
11．(1)4
(2)不能裁出，理由见解析
【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长；
（2）先设长方形纸片的长为，宽为：，根据面积公式列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长进行比较即可判断．
【详解】（1）解：两个正方形的面积之和为：，
∴拼成的大正方形的面积为：，
∴大正方形的边长为：，
故答案为：4；
（2）解：设长方形纸片的长为，宽为：，
∴，解得，
∴，
∴不能使裁下的长方形纸片的长宽之比为：，且面积为．
【点睛】本题考查算术平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解题的关键．
12．64
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a的值，进而求出这个数即可．
【详解】18．解：依题意，得：，
解得：，
∴，
∴这个正数为：．
【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
13．(1)
(2)这个数为1或25
【分析】（1）由的算术平方根为3得到，解方程即可得到答案；
（2）分和两种情况分别进行求解即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根为3，
∴，解得；
（2）①当时，即，解得，
∴，，
∴这个数为；
②当时，即，解得，
∴，，
∴这个数为，
综上所述，这个数为1或25．
【点睛】此题考查了平方根和算术平方根，读懂题意并正确计算是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（2）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（3）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（4）根据称x是a的平方根，且计算即可．
【详解】（1）∵，
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
（4）∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根的计算，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可；
（2）根据平方根的定义，进行求解即可；
（3）根据平方根的定义，进行求解即可；
（4）根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．
16．(1)a＝5，b＝4；
(2)．
【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据平方根定义，求解即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
（2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．
17．
【分析】根据的算术平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算术平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．
18．(1)这个正数是49
(2)的算术平方根是5
【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”可得 ，即可求解；
（2）由（1）可求，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
所以这个正数是．
（2）解：由（1）得，
所以，
所以，
所以的算术平方根是．
【点睛】本题考查了平方根的性质，算术平方根的求法，理解平方根的性质和算术平方根的求法是解题的关键．
19．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据平方根和算术平方根得出，，解之即可；
（2）将、的值代入求得其结果，再由平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知：，，
解得，；
（2）∵，，
∴，
则的平方根为．
【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和求法．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；
（2）根据平方根的意义求解即可；
【详解】（1）
∴解得；
（2）
∴
∴解得．
【点睛】此题考查了平方根的意义，解题的关键是熟练掌握平方根的意义．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）先将系数化为，然后方程左右两边同时开方即可求解；
（2）用直接开方法求出的值，再求出的值即可．
【详解】（1）解：，
，
，．
（2）解：，
或，
，．
【点睛】本题考查了利用平方根求解，正确利用平方根求解是解答本题的关键．
22．不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析
【分析】先设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积公式有，解得，易求长方形纸片的长是，再去比较与正方形的边长大小即可．
【详解】解：设长方形纸片的长为，则宽为，
由题意，得，
解得或（负数舍去），
，
因此，长方形纸片的长为cm．
因为，
所以小悦不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点睛】此题考查平方根的应用，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．
23．1或9
【分析】利用平方根的意义得出关于a的等式，进而求出m的值．
【详解】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：
∵a﹣1和5﹣2a是非负数m的平方根，
∴当a﹣1+5﹣2a＝0时，
解得：a＝4，
∴a﹣1＝3，
∴m的值为：9，
当a﹣1＝5﹣2a，
解得：a＝2，
故m的值为：1，
综上所述：m的值为：1或9．
【点睛】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
答案第1页，共2页
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