专题2.4平方根 分层练习基础篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.4 平方根（分层练习）（基础篇）
一、单选题
1．在下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0.101 001 0001 D．
2．“﹣3是9的一个平方根”可以表示为（　　）
A．＝3 B．（﹣3）2＝﹣9 C．﹣3×3＝﹣9 D．（﹣3）2＝9
3．我国古代的数学著作《九章算术》第四章“少广”中的“开方术”特指开平方运算．将2开平方，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是
5．如图，小明将一张长方形纸片沿着虚线折叠，得到两个面积分别为25和9的小正方形，则阴影部分的面积为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
6．如果一个正数x的平方根是和，那么x的值是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．只有0的平方根是它本身 B．无限小数都是无理数
C．不带根号的数一定是有理数 D．任何数都有平方根
8．如果实数没有平方根，那么可以是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，把两个边长分别为1，2的小长方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个正方形ABCD（中间空心部分记为正方形A′B′C′D′．下列说法错误的是（ ）
A．小正方形A'B'C′D′的边长为1 B．每个直角三角形的面积为1
C．大正方形ABCD面积是小正方形A′B′C′D′面积的4倍 D．大正方形ABCD的边长为
二、填空题
11．的算术平方根是 ．
12．请把“36的平方根是正负6”翻译成数学式子表示出来： ．
13．已知，则 ．
14．的整数部分是 ．小数部分是 ．
15．已知，，则 ．
16．在公式中，当时，的值为 ．
17．已知实数a，b满足．则（1）当b=1时，a的值是 ；（2）若a，b均为正整数，当b取最大值时， ．
18．如下图所示，每个小正方形的边长为1，先把中间的正方形剪下来，再将得到的两个长方形沿图中虚线剪开得到4个直角三角形，将剪下的小正方形和4个直角三角形无缝拼接在一起可以得到一个大正方形，大正方形的边长是 ．
三、解答题
19．利用平方根求下列x的值：
(1)
(2)
20．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
21．已知与互为相反数．
（1）求2a－3b的平方根；
（2）解关于x的方程．
22．已知：a、b、c满足求：
(1)a、b、c的值；
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
23．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
24．小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．
(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；
如图2，，拼成的大正方形边长为___________；
如图3，，拼成的大正方形边长为___________．
(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是无理数；
0.101 001 0001是有限小数，属于有理数；
是有理数，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．D
【分析】根据平方根的概念即可求得答案，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根．
【详解】﹣3是9的一个平方根，
（﹣3）2＝9
故选D
【点睛】本题考查了平方根的概念，理解概念是解题的关键．
3．D
【分析】根据平方根的定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：将2开平方，结果是，
故选：D．
【点睛】本题考查平方根，熟记平方根的定义是解决问题的关键．
4．C
【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可．
【详解】解：非负数a的平方根是，算术平方根是，
因此9的平方根是，算术平方根是3．
A．9的平方根是，故错误，不符合题意；
B．没有平方根，故错误，不符合题意；
C．9的算术平方根是3，故正确，符合题意；
D．9的算术平方根是3，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的判断，解题关键是熟悉相关概念．平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
5．A
【分析】由算术平方根的定义求出小长方形的边长可得出答案．
【详解】解：如图，

由题意可知，，
，
，
阴影部分的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，算术平方根的运算，求出小长方形的边长是解题的关键．
6．D
【分析】由一个正数的平方根互为相反数，求得，即可求得x的值．
【详解】∵一个正数x的平方根是和，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的应用和利用平方根解方程，掌握互为相反数的数和为零，是解决问题的关键．
7．A
【分析】根据平方根，有理数，无理数的定义分析判断即可．
【详解】解：A、正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故该选项正确；
B、无限小数中的无限循环小数是有理数，故该选项错误；
C、不带根号，但是无理数，故该选项错误；
D、因为负数没有平方根，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查平方根，有理数，无理数，熟悉它们的定义是关键．
8．A
【分析】利用乘方、绝对值的性质及去括号法则逐一化简各选项，根据只有非负数有平方根，负数没有平方根即可得答案．
【详解】解：，，，，
∵实数没有平方根，
∴，
∴没有平方根，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平方根的性质，正确化简各选项，熟练掌握只有非负数有平方根，负数没有平方根是解题关键．
9．C
【分析】利用完全平方公式先计算出，再求平方根即可．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查完全平方公式、求平方根，利用完全平方公式计算出是解题的关键，注意平方根与算术平方根的区别，避免漏解．
10．C
【分析】结合图像求出直角三角形的面积，大小正方形的边长可得结论．
【详解】解：观察图形可知，小正方形的边长为1，每个直角三角形的面积＝×1×2＝1，
大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
∴大正方形的面积是小正方形的面积的5倍，
故A，B，D正确，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
11．2
【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．
【详解】解：∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．
12．
【分析】根据平方根的定义即可得到答案.
【详解】解：“36的平方根是正负6”用数学式子表示为：
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根的定义.
13．5
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【详解】解：由题意得，，，
解得，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
14． 3
【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为3，．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．
15．
【分析】根据算术平方根小数点的移动规律进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根小数点的移动规律，解题关键是掌握算术平方根的小数点向左移动一位，被开方数的小数点向左移动两位．
16．或##-2或4
【分析】将代入，用开平方法，解关于x的方程即可．
【详解】解：把代入得：，
移项得：，
开平方得：，
∴或．
故答案为：或-2．
【点睛】本题主要考查了开平方运算，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数．
17． 20 5
【分析】（1）把b=1代入计算即可；
（2）由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即b=4，由此求解即可．
【详解】解：（1）当b=1时，，
∴，
解得；
（2）∵，a，b均为正整数，
∴
∴当b取最大值时，即b=4时，
∴，
解得a=5，
故答案为：20，5．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．
18．
【分析】根据新得到大正方形面积与原本的大长方形面积相等进行求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为x，
由题意得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根在几何图形中的应用，正确理解大正方形面积与原本的大长方形面积相等是解题的关键．
19．(1)
(2)或
【分析】（1）方程直接开平方即可求出解；
（2）方程变形后，把看作一个整体，利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】（1）解：，
∴；
（2），
∴，
∴，
解得：或．
【点睛】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
20．(1)a＝1
(2)9
【分析】（1）根据平方根的定义列方程解出即可；
（2）将的值代入和中，平方后可得的值．
【详解】（1）解：数的两个不相等的平方根为和，
，
，
解得；
（2）解：∵a=1，
，，
，
的值是9．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
21．（1）的平方根为；（2）．
【分析】（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；
（2）先将a、b的值代入，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】（1）由相反数的定义得：
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故的平方根为；
（2）方程可化为
整理得
解得．
【点睛】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
22．(1)，，
(2)能构成三角形，周长为
【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；
（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
a、b、c满足，
∴，，，
解得，，；
（2）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴能构成三角形，
三角形的周长．
【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．
23．30海里/时
【分析】先根据方位角求出，然后根据勾股定理求出，最后根据速度公式算出速度即可．
【详解】解：根据题意可知：，
（海里），
在中（海里），
乙船的航速是：（海里/时），
答：乙船的航速是海里/时．
【点睛】本题主要考查了方位角，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出的长度．
24．(1)；；
(2)不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．
【详解】（1）解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；
如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；
如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；
故答案为：，，；
（2）解：不能，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x 3x=14.52，
所以x2=1.21，
即x=1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，
因为（4.4）2=19.36＞17，
所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
答案第1页，共2页
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