专题2.5平方根 分层练习提升篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.5 平方根（分层练习）（提升篇）
一、单选题
1．25的算术平方根是（　　）
A． B．5 C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．的平方根为 B．的算术平方根为
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为
3．关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
4．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　）
A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536
5．将一组数，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：
，，3，，，
，，，，
……
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（ ）
A．17 B．10 C．6 D．7
7．已知，且，化简（ ）．
A． B．1 C．或 D．3或1或或
8．设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（　　）
A．92个 B．180个 C．182个 D．184个
9．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
10．已知实数满足，那么的值是( )
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
二、填空题
11．若的两边长，满足，则第三边的长是 ．
12．的小数部分是 .
13．若（m，）是完全平方式，则的值为 ．
14．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和6的正方形，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，把图①中的长方形分成、两部分，恰与正方形拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是 ．
16．在草稿纸上计算：
①；③；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ．
17．已知，则 ．
18．如图，，且点B，C，E共线，若的面积为6，，则 ．
三、解答题
19．求下列各式中x的值．
(1)；
(2)；
(3)．
20．已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
(1)求和的值；
(2)求关于的方程的解．
21．已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值．
22．小玉想用一张面积为的正方形纸片沿着边的方向裁出一张面积为的长方形纸片，使它的长、宽之比为，但不知是否能裁出来．小芳看见了说：“很明显，一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片．”你同意小芳的观点吗？小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？
23．问题情境：
数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
；
；
；
……
实践探究：
(1)按照此规律，计算：______；
(2)计算：；
迁移应用：
(3)若符合上述规律，请直接写出x的值．
24．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：

(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为
(2)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
(3)小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据一个正数正的平方根叫这个数的算术平方根解答即可．
【详解】解：，
25的算术平方根是5，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2．C
【分析】根据平方根和算术平方根的概念即可得到答案．
【详解】解：A、负数没有平方根，不符合题意，选项错误；
B、负数没有算术平方根，不符合题意，选项错误；
C、0的平方根与算术平方根都是0，符合题意，选项正确；
D、，的平方根，不符合题意，选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，解题关键是熟练掌握其定义，注意负数没有平方根和算术平方根，0的平方根与算术平方根都是0．
3．C
【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．
【详解】＋
＝
由题意知，， ，
∴，，
∴，
9的平方根是，
∴平方根为，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
4．A
【分析】根据平方根小数点的移动规律解答．
【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8；
故选：A．
【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位．
5．C
【分析】将这组数据变形为，，，，，…，，再得到最大的有理数为，最后根据排列的规律得出答案．
【详解】解：这组数，，3，，，…，，
也就是，，，，，…，，
共有30个数，每行5个，因为，
所以这组数的最大的有理数是，这组数据的第27个位于第6行，第2个，
因此这组数的最大有理数的位置记为，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，将这组数据变形为，，，，，…，，得到最大的有理数为是解决问题的关键．
6．D
【分析】利用正方形的面积公式，可知 ，再在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为15，
，
在中，， ，
，
或（舍），
．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的面积公式，勾股定理，平方根公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据绝对值的性质化简解答即可．
【详解】由题意得：，解得，
∵，
∴，
∴或，
∴=-2+1=-1，或=-2-1=-3．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法法则，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
8．B
【分析】1至100之间，除去完全平方数，余下的数字的平方根均为无理数．
【详解】1至100之间（不含1和100）共计有98个数，完全平方数有4、9、16、25、36、49、64、81，共计8个数，
则余下的数有98-8=90个数，
则m可以取的数有90个，
这90个数的平方根有180个，且都是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数以及平方根的知识．无限不循环的小数是无理数，找到m可以取值的个数是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
10．C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：，
，即，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
11．5或##或5
【分析】先根据非负数的性质求出，再分当边长为a的边是直角边时，当边长为a的边是斜边时，两种情况利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当边长为a的边是直角边时，则由勾股定理得第三边的长是，
当边长为a的边是斜边时，则由勾股定理得第三边的长是，
综上所述，第三边的长是5或，
故答案为：5或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，非负数的性质，正确求出并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
12．-3
【详解】∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3，小数部分是-3.
故答案为：-3.
13．
【分析】根据完全平方公式进行配方计算即可．
【详解】∵，是完全平方式，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
14．
【分析】由正方形的性质可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，
∴长方形的长为，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
15．，．
【分析】设C的长为x，宽为y，根据图②可得B的长和宽，根据正方形A的面积可求出x的值，根据拼接后的大正方形的面积可求出B的长和宽，从而可进一步求出图①中原长方形的长和宽．
【详解】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵正方形的面积为2，
∴（负值舍去）
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴（负值舍去）
∴
∴图①中原长方形的长为，图①中原长方形的宽为
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了实数的应用，看懂图形，找准数量关系是解答此题的关键．
16．5050
【分析】先分别求出①②③④的结果，根据发现的规律并用规律进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
………
∴．
故答案为：5050．
【点睛】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．
17．7
【分析】利用完全平方公式求出的值，再计算算术平方根即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式（）是解题关键．
18．1
【分析】设，且，根据得，，则，由的面积为6得进一步得到，即可得到答案．
【详解】解：设，且，
∵，
∴，，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1
【点睛】此题考查了全等三角形的性质、完全平方公式、算术平方根等知识，数形结合是解题的关键．
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（2）根据称x是a的平方根，且计算即可．
（3）根据称x是a的平方根，且计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
解得，或．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）根据平方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
；
（2）解：原方程为：，
，
解得：．
【点睛】本题考查平方根的概念，利用平方根解方程，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
21．212
【分析】利用非负性求出的值，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查非负性，代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键．
22．不同意小芳的观点，小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片
【分析】根据算术平方根的概念求出正方形的边长，根据长方形纸片的面积求出边长，计算比较得到结论．
【详解】解：不同意小芳的观点．
设长方形纸片的长为，宽为，由题意得
，
，
，
．
，
，
．
由正方形的面积为，可知其边长为30cm．
，
小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的概念，正确运用算术平方根的概念求出正方形的边长是解本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
（3）由题中所给规律可进行求解．
【详解】（1）解：；
故答案为；
（2）解：由题意得：
；
（3）解：∵；
；
；
……；
∴，…..；
∴，
即，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
24．(1)；；
(2)能，见解析
(3)不能，见解析
【分析】（1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；
（2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，发现的值比正方形的边长小，故可能；
（3）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得的值，，发现加边框后的长至少要，比正方形的边长大，故不可能．
【详解】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为；
当时，则正方形的面积为，边长为．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为，则宽为
∴
解得：
∴
又∵要求长方形的四周至少留出的边框
因此加边框后的长至少要
∵
∴不能裁出这样的长方形．
【点睛】本题考查图形的探究，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页