专题2.10估算 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.10 估算（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】估算
对于带根号的无理数的近似值的估算，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”（ 即两边无限逼近的方法）逐级夹逼，先确定整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分注意“精确到”与“误差小于”的区别:如精确到1，是四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，即答案与原数相差不超过1都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1就是估算到个位，误差小于10就是估算到十位．
【知识点2】用估算比较实数的大小
1、用估算的方法比较两个数的大小，若其中有一个是无理数，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致取值范围，再作具体的比较．
2、比较两个数大小的常用结论
（1）；（2）；（3）当时，；
【考点一】估算算术平方根的取值范围
【例1】
1．下列计算结果正确吗？说说你的理由．
（1）；
（2）．
【举一反三】
【变式1】
2．若一个正方形的面积是20，则它的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】
3．已知a，b为两个相连的整数，满足，则的立方根为 ．
【考点二】利用估算比较无理数的大小
【例2】
4．阅读下列材料：
∵，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
【举一反三】
【变式1】
5．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
6．与 最接近的自然数是 ．
【考点三】无理数的整数部分和小数部分相关计算
【例3】
7．已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的整数部分为c．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求a+b+c的平方根．
【举一反三】
【变式1】
8．若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．4041 D．1
【变式2】
9．若的整数部分是，小数部分是，则 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．（1）错，理由见解析；（2）错，理由见解析．
【分析】(1)根据算术平方根定义求出9.52的值，再比较即可；
(2)根据立方根的定义求出2313的值，再比较即可．
【详解】解：（1）∵9.52 = 90.25，又∵90.25和8955不接近，
∴≈9.5不正确；
（2）∵2313= 12326391，又∵12326391和12345不接近，
∴≈231不正确 ．
【点睛】本题考查了对算术平方根和立方根定义的应用，能理解算术平方根和立方根的定义是解此题的关键．
2．A
【分析】通过算数平方根的算法，计算出正方形边长，再根据估算得出结果．
【详解】解：正方形的面积是20，
正方形的边长为，
，
故，则更接近4．
故选 A．
【点睛】本题考查了求算数平方根、以及估算算数平方根，其中准确算出算数平方根是关键．
3．3
【分析】根据夹逼法求出a，b，算出，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个相连的整数，
∴，，
∴，
故答案为3．
【点睛】本题考查二次根数的估算及立方根的定义，解题的关键是用夹逼法求出a，b．
4．(1)3，；
(2)；
(3)，
【分析】（1）根据材料类比进行计算，∵，即，可知结果；
（2）参考材料，求出m、n进行计算即可；
（3）首先求出的整式及小数部分，再进行求值即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查的是实数的应用，理解材料并灵活运用是解题的关键．
5．C
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．
【详解】解：4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜1＜2，
∴＜＜1，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
6．2
【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．
【详解】解：，可得，
∴，
∵14接近16，
∴更靠近4，
故最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
7．(1)，，
(2)
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，即可求出a、b、c的值；
（2）求出a+b+c的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3，
∴
解得： ，
∵c是的整数部分，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
的平方根为．
【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值、求一个数的平方根等知识点．熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
8．D
【分析】先估算的取值范围，再求出与的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．
9．．
【分析】先确定出的范围，即可推出a、b的值，把a、b的值代入求出即可．
【详解】解：，
，，
．
故答案为：．
【点睛】考查了估算无理数的大，解此题的关键是确定的范围8<<9，得出a,b的值．
答案第1页，共2页
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