专题2.8立方根 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.8 立方根（分层练习）
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．2的算术平方根是 B．1的平方根是1 C．0的平方根是0 D．的立方根是
2．下列实数中是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
3．若，则的值为：（ ）
A．16 B．24 C．64 D．256
4．一个正方体的体积扩大为原来的倍，则它的棱长为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（ ）
A． B．1 C． D．3
6．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的立方根是（ ）
A． B． C．2 D．没有立方根
7．我国著名数学家华罗庚在一次出行途中看到一本杂志上有一道求的立方根的智力题，华罗庚脱口就说出了正确答案：39，现已知的立方根是一个整数，这个整数是（ ）
A．16 B．26 C．36 D．38
8．若，，则的值为（ ）
A． B．5 C．或 D．或5
9．一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的倍，另一个正方体其表面积是（　　）
A．48 B．96 C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．64的立方根是 B．的平方根是－4
C．4的算术平方根是 D．5是25的算术平方根
11．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（ ）
甲：x的值是1；
乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值
A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2
C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值
13．已知（﹣）2的平方根是a，﹣125的立方根是b，则a﹣b的值是（　　）
A．0或10 B．0或﹣10 C．±10 D．0
14．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm ，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
15．下列说法错误的是（　　）
A．a2与（﹣a）2相等 B．与互为相反数
C．与互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数
二、填空题
16．若有意义，则x的取值范围是_________．
17．如果，，那么 ．
18．计算： ．
19．若x是64的平方根，则＝ ．
20．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 ．
21．计算： ．
22．若16.57，则 ；已知0.1554，15.54，则 ．
23．有一个正方体集装箱，容积为，现准备将其改造扩充，以便放置更多的货物，其棱长增加 m，才能使容积达到．
24．底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则 cm．
25．的算术平方根为2，则x的立方根为 ．
26．﹣8的立方根与的平方根之和是 ．
27．计算： .
28．已知，则的值是 ．
29．若与互为相反数，则a3+5a2﹣4的值为 ．
30．已知、、在数轴上的位置如图，化简： ．
三、解答题
31．计算：．
32．求下列各式中的x：
(1)
(2)
33．已知
(1)求a、b的值；
(2)的立方根．
34．计算：．
35．我们知道时，也成立，若将a看成的立方根，b看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2)若与互为相反数，求的值．
36．阅读下列材料，并完成问题解答：
（一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题：
(1)解方程：
(2)选择题：式子中的a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
（二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题：
(3)解方程：
如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题：
(4)填空题：若，则x的值是________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的性质判断即可．
【详解】解：∵2的算术平方根是，故A不符合题意；
∵1的平方根是，故B符合题意；
∵0的平方根是0，故C不符合题意；
∵的立方根是，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查立方根的性质、平方根和算术平方根的性质，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据无理数、有理数的定义逐项判定即可解答．
【详解】解： A、是有理数，故本选项不符合题意；
B、0是有理数，故本选项不符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
3．C
【分析】根据立方根的定义，解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键．
4．A
【分析】根据正方体的体积公式计算并判断即可．
【详解】解：设原正方体的边长为，则体积为，
∴将体积扩大为原来的倍，为，
∴扩大后的正方体的边长为，
∴它的棱长为原来的倍，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体的体积和立方根的应用，熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题的关键．
5．A
【分析】根据算术平方根以及立方根算出、即可得到答案．
【详解】解：的算术平方根是2，
，
，
27的立方根是，
，即，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
6．A
【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：的立方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，熟知上述性质是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意，利用立方进行估算求解即可．
【详解】解：∵，
∴更接近，
∵尾数为6，
∴的立方根是36，
故选：C．
【点睛】题目主要考查有理数的立方的计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．C
【分析】根据平方根和立方根的性质求得、，再代入计算即可．
【详解】解：，，
，，
当时，，
当时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的应用，代数式求值，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
9．B
【分析】根据正方体的体积求得棱长，进而得出其表面积即可求解．
【详解】解：∵一个正方体的体积是，另一正方体的体积是这个正方体体积的倍，
∴另一个正方体棱长为，
则其表面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的应用，求得另一个正方体棱长是解题的关键．
10．D
【分析】根据立方根、平方根及算术平方根的的定义依次做出判断即可．
【详解】解：A、64的立方根是4，故选项错误，不符合题意．
B、等于16，平方根是，故选项错误，不符合题意．
C、4的算术平方根是2，故选项错误，不符合题意．
D、5是25的算术平方根是正确的，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根及算术平方根的定义、表示及计算，熟练掌握立方根及算术平方根的定义及计算是解题关键．
11．C
【分析】根据算术平方根的非负性、二次根式的性质、立方根逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根的非负性、立方根等知识，掌握二次根式的性质、算术平方根的非负性是解本题的关键．
12．D
【分析】根据立方根的性质进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴或，
当时，；
当时，；
当时，；
即x有3个不同的值，故两人说法都不对；
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
13．A
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：（﹣）2＝25，
∴25的平方根是±5，
﹣125的立方根是﹣5，
∴a＝±5，b＝﹣5，
当a＝5时，
原式＝5﹣（﹣5）＝10，
当a＝﹣5时，
原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，
故选：A．
【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
14．D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
15．D
【分析】利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
∵＝﹣a，＝a，
∴与互为相反数，故选项B说法正确；
∵＝﹣，
∴与互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
16．全体实数
【分析】根据使立方根有意义的条件解答即可．
【详解】解：立方根的被开方数可以取一切实数，所以可以取一切实数．
故答案为：一切实数．
【点睛】本题考查使立方根有意义的条件，理解掌握该知识点是解题关键．
17．
【分析】根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根；解决本题的关键是熟记立方根的性质．
18．0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，立方根计算即可得到结果．
【详解】．
故答案为：0．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．
【分析】直接利用平方根的定义得出x的值，进而利用立方根的定义计算得出答案．
【详解】∵x是64的平方根，
∴x＝±8，
则＝2或 2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确得出x的值是解题关键．
20．0或
【分析】根据立方根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或，
故答案为：0或．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟知立方根的定义是解题的关键：如果两个实数a、b，满足，那么a就叫做b的立方根．
21．
【分析】先计算有理数的乘方、负整数指数幂、立方根，再进行加减运算．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘方、负整数指数幂、立方根，解题的关键是熟练掌握各项运算法则并正确计算．
22． 0.1657 3750
【分析】根据被开方数和算术平方根和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可．
【详解】解：∵16.57，
∴0.1657；
∵0.1554，15.54，
∴．
故答案为：0.1657；3750．
【点睛】本题考查被开方数和算术平方根和立方根之间的小数点位数的移动关系．熟练掌握被开方数小数点每移动2位，算术平方根小数点移动1位；被开方数小数点每移动3位，立方根小数点移动1位，是解题的关键．
23．4
【分析】先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到时的棱长，进而可得出结论．
【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为，
原正方体集装箱的体积为，
；
设体积达到的棱长为，
所以
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查认识立体图形、立方根，熟知正方体的体积公式是解答此题的关键．
24．4
【分析】根据是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案为：4．
【点睛】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积．
25．
【分析】先根据算术平方根的定义求出x的值，然后根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵的算术平方根为2，
∴，
∴，
∴，
∴x的立方根为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．
26．0或﹣4
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解，得到答案即可.
【详解】解：∵﹣8的立方根为﹣2、的平方根为2或﹣2，
∴﹣8的立方根与的平方根之和是﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4，
故答案为：0或﹣4．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
27．
【分析】首先根据求一个数的立方根、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，有理数的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
28．
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【详解】已知，
．
故答案为 ．
【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知实数的性质变形求解．
29．12
【分析】先根据相反数的定义得+＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．
【详解】解：由题意得：
∴
∴a+1＝﹣（a2﹣5）．
∴a2+a＝4．
∴a3+a2＝4a．
∴a3＝﹣a2+4a．
∴a3+5a2﹣4
＝﹣a2+4a+5a2﹣4
＝4a2+4a﹣4
＝4（a2+a）﹣4
＝4×4﹣4
＝12．
故答案为：12.
【点睛】本题考查的相反数的应用，立方根的应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．
30．
【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
31．
【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
32．(1)或
(2)
【分析】（1）利用平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫a的平方根，即可求得x的值；
（2）利用立方根的定义：如果一个数的立方等于a，这个数就叫a的立方根，即可求得x的值．
【详解】（1）解：∵
∴或，
∴或．
（2）解：∵
∴，
∴．
【点睛】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程：注意一个正数的平方根有两个，一个数的立方根只有一个．
33．(1)，
(2)3
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性得到，，解方程求解即可；
（2）将a和b的值带入，然后利用立方根的概念求解即可．
【详解】（1）（1）∵
∴，
∴解得，；
（2）∵，
∴
∴27的立方根是3．
【点睛】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性，立方根的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
34．
【分析】根据算术平方根，立方根，幂的运算及绝对值的性质直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查算术平方根，立方根，幂的运算及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握，及．
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1）用一对互为相反数的数来验证即可，
（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出的值，再计算即可．
【详解】（1）解：，，，，
因此结论成立.（举例不唯一）；
（2）解：由（1）验证的结果可得，
去分母，得，
去括号、移项，合并同类项，得.
故．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．
36．(1)
(2)D
(3)
(4)或
【分析】（1）利用平方根解方程即可；
（2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可；
（4）根据得出，即，解关于x的方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：要使式子有意义，则，
∴，
∵，
∴a的取值可以是，故D正确．
故选：D．
（3）解：∵，
∴，
即，
解得：．
（4）解：∵，
∴，
即，
解得：，．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义，准确计算．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页