专题2.11估算 分层练习（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.11 估算（分层练习）
一、单选题
1．在数轴上，与表示的点最接近的整数是（　　）
A．5 B．6 C．35 D．1225
2．如果，，那么的等于（ ）
A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5
3．若的整数部分为，小数部分为，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若n为整数，且，则n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．如图，将边长分别为和的长方形剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．估算的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
7．已知是两个连续整数，，则分别是（ ）
A． B．，0 C．0，1 D．1，2
8．估计的运算结果应在(　 　)
A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间
9．若的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 432=1849，442=1936，452=2025，462=2116…，若n为整数，且n < A．43 B．44 C．45 D．46
11．已知是整数，当取最小值时，的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
12．在数组，，，…，中，有理数的个数是（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
13．估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
14．已知边长为a的正方形面积为10，则下列关于a的说法：①a是10的算术平方根；②a是方程的一个解；③a介于3和4之间，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
15．对于实数，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．我们可以对一个数连续求根整数，如对连续两次求根整数：．若对连续求两次根整数后的结果为，则满足条件的整数的最大值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
16．= ；
17．若两个连续的整数a，b满足，则的值为 ．
18．若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为 ．
19．在实数，5，，4，，，中，设有个有理数，个无理数，则 ．
20．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示．在上述式子中，最接近的整数为 ．
21．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
22．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ．
23．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是 ．
24．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端到墙根的距离为米，梯子的顶端到地面的距离为米．现将梯子的底端向外移动到，使梯子的底端到墙根的距离等于米，同时梯子的顶端下降至，那么的值：①等于米；②大于米；③小于米．其中正确结论的序号是 ．
25．中国古代数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法， ．
26．的绝对值是 ．
27．已知的整数部分是，的小数部分是，则 ．
28．已知， ，则的整数部分可以是 ．
29．已知是的整数部分，，其中是整数，且，那么以、为两边的直角三角形的第三边的长度是 ．
30．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是可以用表示的小数部分．若，其中x是整数，且，写出x﹣y的相反数 ．
三、解答题
31．通过估算，比较与的大小．
32．已知 a 为 5 的小数部分，b 为5 的小数部分，
（1）求 a，b 的值
（2）求的值
33．计算：
(1)；
(2)．
34．已知一灯塔周围水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在处测得，如图，若使舰艇到达东西方向上距离灯塔最近处，还需航行，问舰艇再向东前进有无触礁危险
35．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，．

(1)求的值；
(2)已知的小数部分是，的小数部分是，求的平方根．
36．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法有道理、因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)的整数部分是__________，小数部分是____________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，其中x是整数，且，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：，
，
，
表示的点最接近的整数是6．
故选：B．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是熟知估算无理数大小要用逼近法．
2．D
【分析】根据算术平方根的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，找到算术平方根的移位规律是解题的关键．
3．C
【分析】估算出的整数部分和小数部分，确定、的值，再代入计算即可．
【详解】解：因为，即，
所以的整数部分是2，小数部分是，
即，，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，求出的整数部分和小数部分是解决问题的关键．
4．C
【分析】根据n为整数，，即可求得n的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵n为整数，且，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
5．A
【分析】利用正方形的面积求出边长，可得结论．
【详解】解：正方形的面积，
正方形的边长为，
故选：A．
【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．B
【分析】估算出的范围即可求解．
【详解】解：∵36＜40＜49，
∴6＜＜7，
∴3＜－3＜4，
故选：B．
【点睛】本题考查估计算术平方根的取值范围，熟练掌握估算的方法是解答的关键．
7．C
【分析】先确定的范围，再利用不等式的性质确定的范围即可得到答案．
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握利用算术平方根的含义估算无理数是解题的关键．
8．C
【详解】试题解析：原式=+=2+3=5=，
因为<<，所以7<<8，
故选C．
9．A
【分析】先判断出在那两个整数之间，从而得出8-的整数部分和小数部分，再把x、y的值代入xy式子计算即可．
【详解】解：∵9<15<16，
∴3<<4，
∴4<8-<5，
∴x=4，y=8--4=4-，
∴xy=4(4-)=16-4．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力，用逼近法确定无理数的整数部分是解题的关键．
10．C
【分析】根据已知估算出的值即可解答．
【详解】解：∵452=2025，462=2116，
∴2025＜2048＜2116，
∴45＜＜46，
∵n为整数，且n < ∴n=45；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
11．A
【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．
【详解】解：∵，∴，
且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
12．B
【分析】将算术平方根转化为平方进行判断即可．
【详解】解：，，，，，，
、、、、中，有理数为1，2，，44，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根和实数的概念，熟悉算术平方根的定义是解题的关键．
13．B
【分析】根据二次根式值的估算办法，可得结果.
【详解】解：∵3<,
∴4<,
∴,
故的值在2到3之间，选B.
【点睛】本题考查了实数的估计大小，掌握放缩法估计实数的大小是解题的关键.
14．C
【分析】首先根据正方形的面积公式求得a的值，然后根据算术平方根以及方程的解的定义即可作出判断．
【详解】解：因为边长为a的正方形面积为10，所以可得，
则①a是10的算术平方根，正确；
②，
∴，
解得：，
即a是方程的一个解，正确；
③∵，
∴，
∴，正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质，以及无理数估计大小的方法．
15．C
【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．
【详解】解：当x＝5时，，满足条件；
当x＝10时，，满足条件；
当x＝15时，，满足条件；
当x＝16时，，不满足条件；
∴满足条件的整数的最大值为15，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了无理数估算的应用，主要考查学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是读懂题意．
16．
【分析】根据“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”即可解答．
【详解】∵
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及数的算术平方根的估算，正确的进行平方根的估算及掌握“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为0”是关键．
17．
【分析】由可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是立方根的含义，无理数的估算，掌握估算的方法是解本题的关键．
18．
【分析】先判断出在那两个整数之间，从而得出的整数部分x和小数部分y，再把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】∵9＜14＜16，
∴3＜＜4，
∴x＝3，y＝﹣3，
∴原式＝
＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握无理数的估算，经常用逼近法确定无理数的整数部分．
19．
【分析】由题意算出a和b的值，即可得解．
【详解】解：∵，=，而15开平方开不尽，
∴题目中所有数字除、为无理数，其它都为有理数，
∴a=5，b=2，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查实数的应用，熟练掌握有理数和无理数的意义、算术平方根的意义是解题关键．
20．
【分析】运用无理数的估算直接解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴最接近的整数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键．
21． 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
22．1
【分析】先估算出，再估算出即可完成求解．
【详解】解：∵；
∴；
因为1.236介于整数1和2之间，
所以;
故答案为：1．
【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．
23．3
【分析】先计算三角形的面积为，再估算的范围可得：，从而可得答案．
【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则，
∴其面积
，
∵，
∴n的值为3．
故答案为3．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．
24．③
【分析】由题意可知，，先利用勾股定理求出的长，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知，利用勾股定理分别求长，即可求得得值，即可获得答案．
【详解】解：在直角三角形中，因为，，
由勾股定理，可得，
由题意可知，，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得，
∴．
故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是要注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．
25．
【分析】先估算出的大小，得到的值，再代入进行求解即可．
【详解】，
，
的整数部分为，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，代数式的求值，利用估算计算出的整数部分是解答本题的关键．
26．
【分析】先判断实数的正负，再根据绝对值的法则进行求值即可．
【详解】∵＜0，
∴||＝3 ．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查实数的绝对值，会根据实数的正负，运用绝对值法则进行求值是解题的关键．
27．##
【分析】先估算出的取值范围，再求出，的值，进而可得出结论．
【详解】解：，
，
的整数部分是，
；
，
，
，
的小数部分是，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
28．6，7，8，9
【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得的整数部分．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
则的整数部分可以是6，7，8，9．
故答案为：6，7，8，9．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．
29．或
【分析】先根据无理数的估算求得的值，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：，是的整数部分，
∴，
∵，其中是整数，且，
∴，
当为直角边时，第三边长为：，
当为斜边时，第三边长为：，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了无理数的估算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
30．
【分析】根据题意的方法，估算的大小，求出的值，进而求出x﹣y的值，再通过相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是2.
由题意可得的整数部分即，
则小数部分,
则,
∴x﹣y的相反数为.
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式的估算，解题的关键是估算无理数的小数部分和整数部分．
31．．
【分析】要比较与的大小，只要比较与的大小，即与的大小，再根据无理数的比较方法即可得．
【详解】解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．
32．（1），（2）
【分析】(1) 先找到根式所在的最近的两个整数，从而判断出整体的整数部分的数值，再由原数减去整数部分即为小数部分.
(2) 将（1）中的a，b的值代入进行化简求值即可.
【详解】（1）∵，即，故，.
由小数部分等于原数减去整数部分即可.
则，
（2）代入a，b得：
【点睛】本题解题关键在于求二次根式的整数部分，只需要找到与被开方数左右相邻的且能开方开的尽的整数即可，例如，找2的左右相邻的且能开方开的尽的整数为1和4，则.
33．(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义计算求值即可；
（2）利用无理数的估算化简绝对值后，再根据算术平方根和平方的定义计算求值即可．
【详解】（1）解：原式=
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴原式=
．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的估算，化简绝对值和平方的计算；要注意运算过程中正负号的变化．
34．有触礁的危险，理由见解析
【分析】根据题意可知，，，再根据勾股定理求出，与2000m作比较，即可得出答案．
【详解】有触礁的危险，理由如下：根据题意可知，，，
根据勾股定理得，
因为，
所以有触礁的危险．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
35．(1)
(2)
【分析】（1）根据坐标轴可知，根据绝对值的性质进行求解即可；
（2）先分别求出，的值，代入求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，
∴．
（2）∵，
∴的整数部分是3，
∴，
∵，
∴的整数部分是6，
∴；
∴
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，无理数的整数部分和小数部分，掌握以上基础知识是解本题的关键．
36．(1)4；
(2)
(3)
【分析】（1）根据估算无理数的方法求解即可；
（2）首先根据估算无理数的方法求出a和b的值，然后代入求解即可；
（3）首先根据估算无理数的方法求出x和y的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4；．
（2）∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴．
∵，即，
∴的整数部分是3，
∴．
∴．
（3）∵，
∴，
∴．
∵，其中x是整数，且，
∴，．
∴
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握用算术平方根比较无理数的大小是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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