专题2.13实数 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.13 实数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．
（2）常见的无理数有三种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，如：1．313113111……．③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如．
【知识点2】实数概念的理解及分类
有理数和无理数统称为实数．
1．实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2．实数与数轴上的点一一对应．
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应．
【知识点3】实数的大小比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大．
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小．
【知识点4】实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
【考点一】实数 概念理解★★实数的分类
1．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
，，，0，，，
其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是________．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；

【举一反三】
【变式1】
2．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】
3．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ．
4．用序号将下列各数填入相应的集合内．
①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
【举一反三】
【变式1】
5．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】
6．在0，3.14159，，，，，，，中，其中 是无理数， 是有理数．
【考点二】实数 实数的性质★★实数与数轴
7．已知实数a，b满足＋|2b＋1|＝0，求的值．
【举一反三】
【变式1】
8．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
9．－的相反数为 ，|1－|＝ ，绝对值为的数为 ．
10．化简求值：
已知是的整数部分，，求的平方根．
已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【举一反三】
【变式1】
11．对于数字-2+，下列说法中正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比0小
C．它是一个无理数 D．它的相反数为2+
【变式2】
12．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．
【考点三】实数 实数的大小比较
13．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么．”然后讲了下面的一个例题：比较和的大小．
方法一：．
又∵8＜12，∴．
方法二：200=8，4×3=12．
又∵8＜12，∴．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较和的大小；
（2）比较1与的大小．
【举一反三】
【变式1】
14．下列比较两个数的大小正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】
15．比较大小： ．（填“>”“<”“=”）
【考点四】实数 实数的混合运算
16．计算：
(1)；
(2)；
【举一反三】
【变式1】
17．的值为(　　)
A． B． C． D．
【变式2】
18．已知、是有理数，且、满足，则 ．
【考点五】实数 实数的运算 程序设计★★新定义
19．如图所示的是一个数值转换器．
(1)当输入的x值为9时，输出的y值为________；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________．
(2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【举一反三】
【变式1】
20．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
【变式2】
21．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
22．（1）计算：；
（2）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如，求的值．
【举一反三】
【变式1】
23．对于任意的正数m、n定义运算※为：m n=，计算(3 2)＋(8 12)的结果为(　　)
A．+ B．2 C． D．-
【变式2】
24．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝ ．
【考点六】实数 实数的实际应用 程序设计★★规律题
25．如图，长方形的长为，宽为．
（1）将长方形进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【举一反三】
【变式1】
26．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【变式2】
27．已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab= ．
28．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
【举一反三】
【变式1】
29．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④．观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（　　）
A．351 B．350 C．325 D．300
【变式2】
30．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．（1）甲；（2）正实数为，，负分数为
【分析】（1）根据无理数的概念即可判断；
（2）根据实数相关概念填空即可．
【详解】（1）是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；
（2）正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：、；
负分数为：．
【点睛】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键．
2．A
【分析】根据无理数、分数的概念判断．
【详解】解：无限不循环小数是无理数，
错误．
是有理数，
错误．
是有理数，
错误．
也是无理数，不含根号，
错误．
是一个无理数，不是分数，
错误．
故选：．
【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
3．256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可．
【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为，
∴符合题意，
故答案为：256．
【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键．
4．（1）整数集合；
（2）分数集合；
（3）无理数集合．
【分析】根据实数的分类进行解答．
【详解】解：（1）整数集合；
（2）分数集合；
（3）无理数集合．
【点睛】本题考查实数的分类，属于基础题型，熟练掌握基础知识是关键．
5．B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴在实数：3.14159，，1.010010001…，π，中，无理数有1.010010001…，π，共2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6． ，，， 0，3.14159，﹣，，
【分析】无限不循环小数是无理数，而有限小数或无限循环小数是有理数，据此进一步得出答案即可.
【详解】∵无限不循环小数是无理数，
∴无理数有：，，，，
∵有限小数或无限循环小数是有理数，
∴有理数有：0，3.14159，﹣，，，
故答案为：，，，；0，3.14159，﹣，，．
【点睛】本题主要考查了有理数与无理数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：根据题意，得
解得
则b＝×＝－.
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．B
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵>1，
∴｜｜＝，
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值，估算无理数，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反相数，0的绝对值中0是解题的关键．
9． － －1 ±3
【分析】直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出的值,再根据绝对值的性质即可求出.
【详解】解：(1)－的相反数是：－，
(2) |1－|＝－1;
(3)=3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为－;－1; ±3.
【点睛】本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性质定理，认真的进行计算．
10．（1）±3；（2）2a+b﹣1.
【详解】分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3．
∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
=a+1+2b﹣2+a﹣b
=2a+b﹣1．
点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
11．C
【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．
【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；
B．，故该说法错误，不符合题意；
C．是一个无理数，故该说法正确，符合题意；
D．的相反数为，故该说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．
12．
【分析】根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查开方运算，化简绝对值，整式的加减运算．解题的关键是根据点在数轴上的位置，确定式子的符号．
13．（1）；（2）．
【分析】（1）根据负数的乘方，幂越大，负数越小，可得答案；
（2）根据乘方，可得实数的减法，根据被减数相同，减数越大，差越小，可得答案．
【详解】（1）（﹣5）2=150，（﹣6）2=180，150＜180，∴；
（2）（1）2=8﹣2，（）2=8﹣2
∵，∴．
【点睛】本题考查了实数比较大小，掌握平方法比较实数大小是解答本题的关键．
14．D
【分析】根据实数比较大小的方法进行比较即可.
【详解】A中两边平方7<，
所以
所以A错，
B中π2 <10 ，
所以，即：
所以B错，
C中，
所以
所以C错，
D中，
所以
D对.
故选D.
【点睛】本题考查了无理数与有理数比较大小的方法，有理数与无理数比较一般在分情况下对两边平方再比较，若两边都大于1，两边平方再比较，两边都小于-1，两边平方符号相反再比较.
15．
【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．
【详解】解：∵，，且，
∴，
即，
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记两个负实数比较大小的方法是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用乘方、立方根、绝对值、算术平方根分别化简后，再计算加减法即可；
（2）先利用算术平方根、绝对值化简后，再进行实数的混合运算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
17．A
【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.
【详解】原式
；
故答案为：A.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.
18．或10
【分析】把化成，根据、是有理数，得到的值为有理数，即为有理数，故，求出，再求得即可求解．
【详解】解：，
，
，
、是有理数，
的值为有理数，
为有理数，
，
解得，
，
解得，
或，
故答案为：或10．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用有理数的定义进行求解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．(1)；25
(2)他输入的x值是0或者1
【分析】(1)把x=9代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，把x=25代入程序框图中计算，判断结果是有理数还是无理数，即可得出y的值，从而可以得到输入的x的值．
(2)根据题意可知，他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，找出符合条件的数即可求解．
【详解】（1）①当输入的x的值为9时，
所以输出的y值为,
故答案为：
②当输入的x的值为25时，
所以经过两次取算术平方根运算，输出的y值为；
所以输入的x值为25；
故答案为：25
（2）存在输入非负整数x后，始终输不出y的值，当x=0或者1时，始终输不出y的值；
所以他输入的x值是0或者1
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
20．C
【详解】试题分析：当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；
当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，
则输出结果为8+5．
故选C．
考点：实数的运算．
21．##
【分析】将开始输入的值代入计算，知道所得计算结果大于9时输出即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
输入，则，
输入，则，
输入，则，
故输出．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）根据乘方、算术平方根以及绝对值的性质进行化简计算即可；
（2）根据新定义，代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）依题意得：
【点睛】本题考查了实数的混合计算和新定义下的实数的运算；解题的关键是掌握实数的相关运算性质．
23．C
【分析】先利用新定义得到原式=，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】解：（3 2）+（8 12）=
=
=．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
24．2
【分析】根据新定义得到★=，在结合新定义计算★即可得出．
【详解】解：∵<，
∴★=，
∴★（★）=★=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，包括实数的大小比较等，理解题意是解题关键．
25．（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为，根据题意得，
∴（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
26．A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
27．
【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.
【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+，
可得，
解得: ，
故，
故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
28．（1）4，5，验证见解析；（2）
【分析】（1）观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照题目提供的信息进行验证．
【详解】（1）4，
验证：4，
5
验证：5；
（2）n．
【点睛】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．
29．C
【分析】通过计算前面4个式子的值，得到规律为从1开始的几个连续整数的立方和的算术平方根等于这几个连续整数的和，然后利用此规律求解．
【详解】①＝1；
②＝3＝1+2；
③＝6＝1+2+3；
④＝10＝1+2+3+4；
∴
＝1+2+3+…+25
＝325．
故选：C．
【点睛】本题考查实数运算有关的规律问题，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
30．
【分析】根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得这一列数据为0，，，，，，…，
∴第n个数据为，
∴第50个数据为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律题，正确找到规律是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页