专题2.14实数 分层练习基础练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.14 实数（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列各数，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中比大的数是( )
A．0 B．1 C． D．2
3．下列说法中，正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（ ）

A． B． C． D．4
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若表示实数x的整数部分，表示实数x的小数部分，如，，，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( )
A． B． C． D．2023
9．小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
10．如图，平分，点是射线上一点，于点，点射线上的一个动点，连接．若，则的长度不可能是（ ）

A． B．7.2 C．6 D．4.5
二、填空题
11．的相反数是 ．
12．若，则 ．
13．比较大小
14．数轴上表示数和的两点之间的距离为 ．
15． ．
16．如图，在数轴上，点为原点，点在数2位置上，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，则点表示的数为 ．

17．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知表示不超过x的最大整数，例如．则的结果为 ．
18．如图，将长方形分成四个区域，其中，两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．已知：，，是的立方根．
(1)__________，__________．
(2)化简，并求的平方根．
22．设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：
整数部分为1：，，；，，…，．
整数部分为2：，，…；，，…．
整数部分为3：，，…；，，…．
(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？
(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？
23．小红想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
(1)长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？
(2)你是否同意小明同学的说法？说明理由．
24．如图，在数轴上点、、所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．

(1)求出实数的值
(2)求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据实数分类：有理数与无理数，结合无理数定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D、是正整数，属于有理数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查实数分类及无理数定义，熟记常见无理数的形式是解决问题的关键．
2．D
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意．
，
选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3．D
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
4．C
【分析】根据绝对值、立方根、算术平方根的性质解决此题．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，以及绝对值，正确的计算是解题的关键．
5．C
【分析】勾股定理求得的长，结合数轴即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∴以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】根据二次根式的运算法则，逐项分析判断．
【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，原算式错误，故该选项错误，
C、，正确；
D、，原算式错误，故该项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算法则，比较基础，熟练掌握运算法则是关键．
7．C
【分析】根据题目中给出的信息进行解答即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是理解求出的小数部分．
8．B
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数．
【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根，
∵，
∴这一列数中的第2023个数应是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
9．A
【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．
【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意；
B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意；
C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意；
D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键．
10．D
【分析】过点作，如图所示，由角平分线的性质可得，根据点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，从而得到答案．
【详解】解：过点作，如图所示：

平分，点是射线上一点，于点，，
由角平分线性质可得，
点射线上的一个动点，连接，
由点与直线上各点的距离中垂线段最短可得，
综合四个选项可知，的长度不可能是，
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，根据角平分线的性质作出图形转化线段是解决问题的关键．
11．##
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案．
【详解】解：无理数的相反数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念．
12．2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出 、 的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出 ， 的值是解题关键．
13．
【分析】先比较的大小，要比较它们两个的大小，则分别平方即可比较大小，再由两个负数大小比较方法进行即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数大小的比较，对于含有根号的无理数比较大小，一般先乘方转化为有理数大小的比较．
14．##
【分析】利用两点间的距离公式，右边的数减去左边的数即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是理解两点间的距离就是右边的数减去左边的数．
15．##
【分析】根据算术平方根、立方根的定义以及绝对值的意义化简各数，再加减运算即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的运算，涉及到算术平方根、立方根绝对值的意义，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
16．
【分析】由题意可得，由勾股定理可得，从而可得，即可得到点表示的数．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，
以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，
，
点表示的数为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理，根据题意算出是解题的关键．
17．
【分析】先估算出的范围，再根据题意列出计算式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查无理数的估算以及新定义的实数运算，关键是理解的意义．
18．-1.
【分析】由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】解：∵，两正方形区域的面积分别是1和6，
则，两正方形区域的边长分别是1和，
则剩余区域的面积为：（1+）×-1-6=-1.
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
19．(1)0
(2)
【分析】（1）先求立方根和算术平方根，再根据实数的运算法则即可求解；
（2）先求算术平方根和立方根，再根据实数的运算法则即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查算术平方根和立方根的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
21．(1)5，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义可得；
（2）去绝对值符号和括号，再合并即可得的值，继而将、、的值代入计算可得．
【详解】（1）解：，是的立方根，
、，
则，
故答案为：5，；
（2）解：，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
22．(1)最小值为64，最大值为124
(2)11个
【分析】（1）根据规律利用的整数部分4，即可得出答案，
（2）根据规律利用的整数部分5，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
的最小值64，的最大值124；
（2）的最小值25，的最大值35，
可能的值有11种．
【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中．
23．(1)长方形纸片的长是，宽是
(2)不同意，理由见解析
【分析】（1）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积为列出方程，解方程即可；
（2）根据，得出长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，即可得出不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，则宽为，
依题意得：，
，
，
，
，，
答：长方形纸片的长是，宽是．
（2）解：不同意小明同学的说法．
理由：，
，
，
长方形纸片的长大于，
正方形纸片的边长为．
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，应用平方根解方程，无理数的估算，解题的关键是根据等量关系列出方程，求出长方形的长和宽．
24．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出，再根据题意可得，则或；
（2）分和两种情况，去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：，表示的数分别为，，
，
点表示的数为，且点到点的距离与点到点的距离相等
，
或；
（2）解：当时，
；
当时，
；
综上，原式的值为．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
答案第1页，共2页
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