专题2.15实数 分层练习提升练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.15 实数（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数：，，0，，，其中比小的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．-3与 B．和 C．与 D．3和
4．对于的叙述，下列说法中正确的是（ ）
A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数
C．它比0大 D．它的相反数为3＋
5．无理数，c的整数部分为a，小数部分为b，则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，其中是正整数，则是（ ）
A．1 B．1和2 C．2 D．2和3
7．已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．若精确到个位数所得结果为1，则正整数a可能是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
10．生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（　　）

A． B．的算术平方根 C． D．的算术平方根
二、填空题
11．的相反数是 ；绝对值等于的数是
12．比较大小： ．
13．有六个数：0.123，（﹣1.5）3，3.1416，，﹣2π，0.1020020002，若其中无理数的个数为x，正数的个数为y，则x+y= ．
14．已知是有理数，且满足等式，则的立方根为 ．
15．A，B，C是数轴上的三点，，若点A，B对应的实数分别为1，，则点C对应的实数是 ．
16．如图，在数轴上，点、表示的数分别为0、2，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是 ．

17．如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，，．如图，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为 ．

18．仔细观察图，认真分析各式，然后请利用用上述变化规律求出的值为 ．

，
，
，
三、解答题
19．（1）；
（2）．
20．（1）计算：；
（2）正数x的两个平方根分别是．
①求的值；
②求的立方根．
21．同学们学过数轴知道，数轴上的点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有A，B，C三点，其中，，，如图，设点A，B，C所对应数的和是P．

(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值．
(2)若原点О在点C的右侧，且，求P的值．
22．
(1)已知，是实数，证明：．
(2)在中，，，为直角边，斜边，则的最大值是___________．
23．嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．
解：．
(1)在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质 B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则 D．通分
(2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
24．课本原题：已知，求的值．
(1)请用两种方法解决课本原题；
(2)变式探究：若，则代数式的值为（ ）
A．4；B．8；C．16；D．20
(3)变式探究：已知，求的值．
(4)拓展延伸：若的小数部分是a，整数部分是b，则代数式的值为多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值．
2．A
【分析】首先求出，，，，然后根据实数大小比较的方法，判断出比小的数有几个即可．
【详解】解：，，，
∵，，，，
∴，，，，
∵ ，，，
∴，
∴，，0，，这些数中比小的数有个：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、立方根的含义和求法，以及实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数大于零，零大于负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3．C
【分析】先依据相反数和绝对值的定义化简各数，然后再依据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、-3的相反数是3，故A不符合题意
B、|-3|=3，3的相反数是-3，故B不符合题意；
C、=，的相反数是，故C符合题意；
D、=3，3的相反数是-3，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相反数定义，即相加为0的两个数互为相反数，要注意细心运算每个选项．
4．B
【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．
【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；
B．是一个无理数，故该说法正确，符合题意；
C．，故该说法错误，不符合题意；
D．的相反数为，故该说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，牢记相关概念是解答本题的关键．
5．D
【分析】根据，得出，进而得出的整数部分，小数部分，然后根据实数的混合运算法则，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
A、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
B、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
C、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，故该选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、实数的混合运算，解本题的关键在利用夹逼法正确估算出无理数的大小．
6．C
【分析】估算出，进而得出的范围即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∵，
∴
∵是正整数，则是，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
7．B
【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定．
【详解】解：成立，
，，
，，
故①③正确，④不正确；
②当时，，
故②不正确；
故正确的有：2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决本题的关键．
8．A
【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答．
【详解】解：由题意可得：
2n-5=5-2n=0，
∴m=0+0+2=2，
∴n-m=
故选A．
【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　
9．B
【分析】估算出的取值，再根据精确到个位数所得结果为1，得出0.5≤＜1.5，可得2.5≤a＜5即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵精确到个位数所得结果为1，
∴0.5≤＜1.5，
∴2.5≤a＜5，
∴正整数a可能是3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出的取值范围是解答本题的关键．
10．D
【分析】由纸张的宽为x米，表示出纸的宽和长，根据纸面积为1平方米求出x的值即可．
【详解】解：由图得，当纸张的宽为x米时，纸的宽为米，
∵纸张长与宽的比为，
∴纸的长为米，
∵纸面积为1平方米，
∴，
∴，
∴x的值为的算术平方根．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键．
11．
【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分析得出答案．
【详解】的相反数是；
绝对值等于的数是．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
12．＜
【分析】利用估算思想，计算比较即可．
【详解】∵，
∴；
∵，，
∴
∴
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
13．5
【分析】根据无理数与正数的概念进行解答即可.
【详解】∵无理数有 一个，
∴x=1，
∵正数有0.123、3.1416、 、0.1020020002共4个
∴y=4，
∴x+y=5，
故答案为5
【点睛】本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数，熟练掌握实数的分类是解题关键.
14．2
【分析】根据得到，解得，代入求立方根即可得到答案．
【详解】解：是有理数，且满足等式，
，则，解得，
，
的立方根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求代数式立方根，涉及等式成立的条件、代数式求值、算术平方根及立方根，根据题意求出参数值是解决问题的关键．
15．或
【分析】先求出，进而得到，再分当点C在点B右边时，当点C在点B左边时，两种情况利用数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】解：∵点A，B对应的实数分别为1，，
∴，
∵，
∴，
当点C在点B右边时，则点C表示的数为；
当点C在点B左边时，则点C表示的数为；
综上所述，点C表示的数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．##
【分析】根据勾股定理可得，由题意可得，即，因为，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
则点表示的实数是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．
17．或
【分析】根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∵和全等，
∴，或
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，熟练掌握全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．
【分析】由题意得到，，，……，，求和即可得到的值．
【详解】解：由题意知，，，，
，，，
，，，
……
，，，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理的规律题，还考查了二次根式的运算，熟练掌握勾股定理和二次根式的运算法则是解题的关键．
19．（1）；（2）6．
【分析】（1）计算负整数指数幂，实数的运算，即可求解；
（2）由立方根、算术平方根的运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算法则，负整数指数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
20．（1）；（2）①；②
【分析】（1）先计算乘方运算，算术平方根，立方根，再计算乘法，最后合并即可；
（2）①利用一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解a即可；②利用平方根的含义，先求解x，再求解 最后再求解立方根即可．
【详解】解：（1）
（2）① 正数x的两个平方根分别是．
解得：
②
而的立方根是
的立方根是
【点睛】本题考查的是平方根的含义，立方根的含义，实数的混合运算，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是解本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据点B为原点，利用两点距离公式，求出点A与点C表示的数，然后求三数和即可；
（2）根据两点距离公式，求出三点表示的数，然后求和即可．
【详解】（1）以B为原点，，，
点A表示：，
点C表示：，
（2）当点O在点C的右侧时，
，
点C表示：，
，
点B表示：，
，
点A表示：，
【点睛】本题考查了用数轴上的点表示数、两点距离和实数运算等，掌握两点间距离公式、实数混合运算法则是解题的关键．
22．(1)见详解
(2)
【分析】（1）可证，即可得证；
（2）可求，由（1）即可求解．
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
，
．
（2）解：由题意得
，
，
，
，
的最大值为，
故答案：．
【点睛】本题考查了用作差法证明不等式，勾股定理，掌握方法是解题的关键．
23．(1)BD
(2)
【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；
（2）直接利用乘法分配律把变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，
故答案为：BD；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)A
(3)
(4)2
【分析】（1）一种方法是将x，y的值直接代入；另一种方法是将变形为，再将x，y的值代入求解；
（2）将变形为，再将x，y的值代入求解；
（3）将变形为，再将的值代入求解；
（4）根据可知：小数部分，整数部分，代入求解即可．
【详解】（1）解：方法一：
；
方法二：
∵，
∴，，
∴．
（2）解：
，
故选A；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
（4）解：由题意得：，，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，求无理数的整数、小数部分等，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及完全平方公式的变形．
答案第1页，共2页
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