专题2.16实数 直通中考（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.16 实数（直通中考）
【知识回顾】 核心知识：实数的分类；实数的性质；实数和数轴上的点一一对应．
一、单选题
（2023·河南·统考中考真题）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．－l B．0 C．1 D．
（2022·四川绵阳·统考中考真题）
2．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江·一模）
3．实数2，0，中，最小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．
（2023·山东·统考中考真题）
4．实数中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.5
（2023·江苏扬州·统考中考真题）
5．已知，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）
6．如图，数轴上表示实数的点可能是( )

A．点P B．点Q C．点R D．点S
（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）
7．下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B． C． D．
（2022·贵州铜仁·统考中考真题）
8．在实数，，，中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
（2023·内蒙古·统考中考真题）
9．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
（2023·吉林长春·统考中考真题）
10．实数、、、伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
（2023·吉林·统考中考真题）
11．计算：= .
（2023·山东·统考中考真题）
12．计算： ．
（2023·四川巴中·统考中考真题）
13．在四个数中，最小的实数是 ．
（2023·湖南·统考中考真题）
14．数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 ．（写出一个即可）
（2023·湖南怀化·统考中考真题）
15．定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ．
（2023·四川广安·统考中考真题）
16．定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
（2023·甘肃兰州·统考中考真题）
17．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．

（2023·辽宁大连·统考中考真题）
18．如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
三、解答题
（2023·浙江台州·统考中考真题）
19．计算：．
（2023·四川自贡·统考中考真题）
20．计算：．
（2023·湖南·统考中考真题）
21．计算：
（2023·湖北十堰·统考中考真题）
22．计算：．
（2023·吉林长春·统考中考真题）
23．先化简．再求值：，其中．
（2023·山东枣庄·统考中考真题）
24．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)___________，___________；
(2)若，求x的值．
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参考答案：
1．A
【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．
【详解】解：∵，
∴最小的数是-1．
故选：A
【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2．B
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
3．C
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【详解】解：，
最小的实数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
4．A
【分析】根据无理数的概念求解．
【详解】解：实数中，是无理数，而是有理数；
故选A．
【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
5．C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6．B
【分析】根据先估算的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵
∴，即，
∴数轴上表示实数的点可能是Q，
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出介于哪两个整数之间是解题的关键．
7．A
【分析】根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．
8．C
【分析】根据有理数的定义进行求解即可．
【详解】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选C．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟知有理数和无理数的定义是解题的关键．
9．D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
10．B
【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.
【详解】解：由图可知，，，，，
比较四个数的绝对值排除和，
根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离，
，
这四个数中绝对值最小的是.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.
11．．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】解：|﹣|=，
故答案为．
12．
【分析】根据零次幂、负整数指数幂和立方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和立方根的性质是解题的关键．
13．
【分析】先计算出，再根据比较实数的大小法则即可．
【详解】解：，，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方的定义及比较实数的大小法则，熟练运用比较实数的大小法则是解题的关键．
14．2（答案不唯一）
【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解．
【详解】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数，
则，
∵，即，
∴a可以是或或0．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键．
15．
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵
∴
即
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
16．
【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
17．
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9
∴，
即，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
18．##
【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
为原点，为正方向，则点的横坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．2
【分析】根据绝对值的性质和算术平方根分别进行化简，再按照有理数加减混合运算即可求出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键在于熟练掌握绝对值的性质、算术平方根，乘方的相关运算．
20．
【分析】先化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂，有理数的乘方是解题的关键．
21．
【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法是解题的关键．
22．
【分析】先化简绝对值、计算负整数指数幂、零指数幂，再进行实数混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
23．；
【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，原式
【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
24．(1)1；2；
(2)，
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可．
【详解】（1），
，
；
故答案为：1；2；
（2）若时，即时，则
，
解得：，
若时，即时，则
，
解得：，不合题意，舍去，
，
【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
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