专题2.17二次根式 知识梳理与考点分类讲解（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.17 二次根式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】二次根式相关概念与性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如、、等式子，都叫做二次根式．
要点说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义．
2.二次根式的性质
（1）； （2）； （3）．
要点说明：
（1） 一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a（），如 （）．
（2） 中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义．
（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简．
（4）与的异同
不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
＝，＝a（）．
相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，＝．
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中不含能开方的因数或因式．
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．如等都是最简二次根式．
要点说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
要点说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断．如与，由于，与显然是同类二次根式．
【知识点2】二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法 商的算术平方根化简公式：
要点说明：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如．
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）．如．
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式．
要点说明：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式．如．
【考点一】二次根式的概念和性质
①二次根式相关概念 二次根式及取值范围
【例1】
1．使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【举一反三】
【变式1】
2．化简﹣（）2得（ ）
A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2
【变式2】
3．下列说法正确的是（　　）
A．是最简二次根式 B．与是同类二次根式 C． D．的化简结果是
②二次根式相关概念 复合二次根式的化简
【例2】
4．如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
【变式1】
5．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
【变式2】
6．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
③二次根式相关概念 最简二次根式★★同类二次根式
【例3】
7．阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简 .
【举一反三】
【变式1】
8．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
【变式2】
9．化简：= ．
④二次根式相关概念 分母有理化
【例4】
10．比较大小： ．
【举一反三】
【变式1】
11．若实数满足，求的平方根．
【变式2】
12．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）．
由上述方法化简：．
【考点二】二次根式大小比较
【例5】
13．若最简二次根式与是同类二次根式．求m2+n2的值．
【举一反三】
【变式1】
14．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，这种方法叫分母有理化．
， ①
， ②
， ③
参照③式方法化简：．
【变式2】
15．比较大小：
①_____
②___
【考点三】二次根式的的运算
【例6】
16．计算：
(1)；
(2)．
【举一反三】
【变式1】
17．计算：
(1)；
(2)．
【变式2】
18．计算：
(1)；
(2)．
【例7】
19．计算题
(1)
(2)
【举一反三】
【变式1】
20．计算：（1）； （2）；
【变式2】
21．计算：
【例8】
22．已知，求代数式的值．
【举一反三】
【变式1】
23．已知：y＝＋5，化简并求的值．
【变式2】
24．先化简再求值：，其中．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得：且，
故选C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．C
【分析】根据二次函数的性质求解可得答案.
【详解】解:1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0,
原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x,
故选C.
【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时, =a;当a<0时, =-a.二次根式=a,(a≥0).
3．B
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．
【详解】解：A.不是最简二次根式，原说法错误；
B.，与是同类二次根式，原说法正确；
C.在，的情况下，原说法错误；
D.的化简结果是2，原说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．
4．A
【分析】先把b分母有理化，再比较．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键．
5．D
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
6．．
【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．
【详解】解：由得，
有意义，且，
方程没有实数根，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．
7．,
【分析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可.
【详解】解：
【点睛】本题主要考查学生对完全平方公式的逆运算掌握运用能力.属于基础性题目.
8．3
【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
9．##
【分析】分子，分母同时乘以有理化因式，计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键．
10．
【分析】首先分别求出、的平方，然后根据实数大小比较的方法，判断出、的平方的大小关系，即可判断出、的大小关系．
【详解】解：解：
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
11．
【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
把代入上式得，
∴，
∴的平方根为．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键．
12．
【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法．
【详解】解：
原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．
13．11
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得m2、n2，再代入求值即可；
【详解】解：由题意得：，，
，，
，时，两个二次根式分别为和，符合题意，
∴m2+n2＝8+3＝11；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
14．
【分析】仿照题意进行分母有理化即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意是解题的关键．
15．①＜；②＜
【分析】①利用作差法比较大小即可；
②利用分子有理化即可比较大小．
【详解】解：①－
=
∵
∴＜0
∴＜
故答案为：＜；
②==
==
∵＞
∴
∴＜
故答案为：＜．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．
16．(1)
(2)2
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；
（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．
17．(1)0
(2)
【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；
（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．
18．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法；
（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可；
（2）根据二次根式的运算求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．
21．
【分析】先根据零指数幂的意义，二次根式的乘法和除法法则，以及去括号法则化简，再算加减即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22．
【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．
23．
，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，
∴x=4，
∴y=5，
=
=，
=，
=，
=-4．
【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．
24．，
【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
原式
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式．
答案第1页，共2页
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