专题2.18二次根式 分层练习基础练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.18 二次根式（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列各式属于二次根式的是（　　）
A．1 B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．两个数，5的大小关系是 （ 　 ）
A． B． C． D．无法比较
7．已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（　　）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
8．若，则代数式的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
9．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（　　）

A． B． C．0 D．
10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．14 B．20 C． D．
二、填空题
11．如果式子有意义，则的取值范围为 ．
12．计算： ．
13．写出一个你喜欢的最简二次根式 ．
14．化简＝
15．计算： ．
16．化简： ．
17．若最简二次根式与能合并，则 ．
18．若x，y为实数，且|x+1|+＝0，则（xy）2020的值是 ．
三、解答题
19．计算
(1)（3﹣）（3+）+（2﹣）
(2)
20．计算题：
(1)；
(2)．
21．如图，点所对应的实数为，已知，请求式子的值．
22．解答下列问题．
（1）已知，，求．
（2）已知实数，满足，求的平方根．
23．比较大小：
①_____
②___
24．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴即
∴
∴．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______．
(2)化简；
(3)若，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式的定义：形如，进行判断即可．
【详解】解：1，，，中属于二次根式的是；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的判断．熟练掌握二次根式的定义，是解题的关键．
2．B
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判定即可．
【详解】解：A．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故此选项符合题意；
C．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D．，则不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查对最简二次根式的理解，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次根式的乘除及加减运算法则逐项计算判断即可．
【详解】A、，计算正确，该选项符合题意；
B、与不能相加，计算错误，该选项不符合题意；
C、，计算错误，该选项不符合题意；
D、，计算错误，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除及加减运算法则，牢记二次根式乘除及加减运算法则是解题的关键．
4．B
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
5．B
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B. ，原选项计算正确，故选项B符合题意；
C.，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D.，原选项计算错误，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．A
【分析】把两数都化为只有根式的形式，再根据根号里面的数比较大小.
【详解】∵,5=
则＜
∴＜5
故答案为A.
【点睛】本题考查了无理数的大小比较，解题关键在于通过比较被开方数的大小去比较无理数的大小.
7．D
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的符号，然后再根据来确定、各自的符号，再去根式化简．
【详解】解：由题意：，即，
，
，，
所以原式，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是根据已知条件确定出、的符号，以确保二次根式的双重非负性．
8．C
【分析】将代入计算求解即可
【详解】当时，
故选：C
【点睛】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算．
9．A
【分析】利用数轴表示数的方法得到，，，然后根据二次根式的性质化简后合并即可．
【详解】解：由数轴可知：，，，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用数轴上点的位置和二次根式的性质进行化简．正确的识图，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．
10．C
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴的面积，
故选：C．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算．
11．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
12．##
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的除法运算．分母有理化是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】根据题意可得直接解答即可．
【详解】解：由题意可得
最简二次根式为：．
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义（ 1.被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；2.被开方数不含分母），解决本题的关键是掌握最简二次根式．
14．
【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．
【分析】先化简二次根式，再合并即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，熟记二次根式的加减运算法则是解本题的关键．
16．
【分析】进行分母有理化运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键．
17．1
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
18．1
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵x，y为实数，且|x+1|+＝0，
∴x+1＝0，y-1＝0，
解得：x＝-1，y＝1，
则(xy)2020＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
19．(1)
(2)2
【分析】（1）首先运用运用平方差公式、乘法分配律、根式乘法法则进行计算，再进行加减运算；
（2）首先对二次根式进行化简、合并同类项、然后进行二次根式的除法运算．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算、平方差公式、二次根式化简、二次根式的乘除法，解答本题的关键是熟练掌握以上运算法则进行计算即可．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先进行二次根式的化简，再去掉括号合并即可；
（2）根据二次根式的运算顺序，先进行乘除运算，再合并即可．
【详解】（1）原式
=；
（2）原式
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
21．
【分析】根据题意，即，代入即可．
【详解】解：由题意可知，
∴OA=OB=，
∴，
当时，
原式=，
=，
=．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据题意运用勾股定理求出a的值．
22．（1）19；（2）．
【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y与xy，再将原式配方后，整体代入计算即可，
（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x，y的值，代入求出值，再求平方根即可．
【详解】（1），
．
，
，
．
（2），
，，，
，
6的平方根为．
【点睛】本题考查二次根式的条件求值问题，掌握二次根式的条件求值方法，会分母有理化，会利用被开方数有意义求字母的值是解题关键．
23．①＜；②＜
【分析】①利用作差法比较大小即可；
②利用分子有理化即可比较大小．
【详解】解：①－
=
∵
∴＜0
∴＜
故答案为：＜；
②==
==
∵＞
∴
∴＜
故答案为：＜．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用分母有理化计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）解：
；
（3），
，
∴，即．
∴．
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．
答案第1页，共2页
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