专题2.19二次根式 分层练习提升练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.19 二次根式（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式是（　　）
A． B．π C． D．
2．使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
3．下列各式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
7．已知，，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
8．如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，化简得（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ．
12．若，则 ．
13．最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ．
14．的三边分别是a、b、c，且满足，则当c= 时是直角三角形．
15．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ．
16．比较大小： ．（选填“”、“”或“”）
17．若表示不超过的最大整数，，则______．
18．将一组数，2，，，．．．，，．．．按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，；
……
……
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．下面是小虎同学做的一道题：
解：原式…①
…②
…③
(1)上面的计算过程中最早出现错误的步骤（填序号）是______；
(2)请写出正确的计算过程．
21．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
(1)请用以上两种方法化简：；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
22．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
23．嘉琪同学计算：，部分解题步骤如下．
解：．
(1)在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．
A．等式的基本性质 B．二次根式的化简
C．二次根式的乘法法则 D．通分
(2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．
24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
；

(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：=___________，=___________．
(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．
【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意；
B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；
C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；
D、是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．
2．C
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得：且，
故选C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．B
【分析】根据最简二次根式的定义:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【详解】A、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4．A
【分析】二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．
【详解】解：A. ，与为同类二次根式，符合题意；
B. ，与不是同类二次根式，不符合题意；
C. 与不是同类二次根式，不符合题意；
D. ，与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
6．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　
7．C
【分析】化简计算判断即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴，
故互为倒数，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键．
8．B
【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．　
【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为：
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
9．B
【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．
【详解】解∵，
∴=；
∵，
∴，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形是解答本题的关键．
10．D
【分析】先利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再根据数轴的性质即可得．
【详解】解：在数轴上点表示的数是2，点表示的数是，
，
，
，
，
，
由题意可知，，
则点表示的数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、数轴、二次根式的化简，熟练掌握勾股定理是解题关键．
11．##
【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
12．
【分析】利用实数的除法法则计算即可．
【详解】解：∵
∴A=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的除法法则是解题关键．
13．2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：
∴
∵最简二次根式与是同类最简二次根式
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
14．10或##或
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出，，再分情况根据勾股定理解答即可．
【详解】解∶∵，
∴，，
解得：，，
∴当是以为直角的直角三角形时，，
∴，
当是以为直角的直角三角形时，，
∴，
故答案为： 10或．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，即如果直角三角形的三边长分别为a，b，c，那么 ，注意分情况讨论，不要漏解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【分析】先估算出的大小，从而求出整数部分，再进一步表示出小数部分，然后代值求解即可．
【详解】解：，
，
的整数部分是2，
，
，
，
的整数部分是3，小数部分是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算．
16．
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
17．
【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到，然后根据表示不超过x的最大整数得到．
【详解】解：，那么，
∴，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了取整计算：表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．
18．
【分析】先找出被开方数的规律，再求出的位置即可．
【详解】解：原来的一组数即为
，，，；
，，，；
……
所以，规律为：被开方数为从2开始的偶数，每行4个数，
∵，40是第20个偶数，而，
∴的位置为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的规律探究，找准规律是解题的关键．
19．(1)
(2)7
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．(1)①
(2)见解析
【分析】（1）根据完全平方公式和多项式的乘法法则即可知步骤①计算错误；
（2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，再进行加减计算即可．
【详解】（1）根据完全平方公式和多项式的乘法法则可知上面的计算过程中最早出现错误的步骤是①．
故答案为：①；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式以及多项式的乘法．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
21．(1)，方法见详解；
(2)
(3)
【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
（2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
（3）根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案；
【详解】（1）解：方法一：；
方法二：；
（2）解：由题意可得，
，
；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．
22．(1)5；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
23．(1)BD
(2)
【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；
（2）直接利用乘法分配律把变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：观察可知把变为用到了二次根式的化简，然后把变为用到了通分，
故答案为：BD；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．
24．(1)，
(2)第32个三角形
(3)
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入求出即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【详解】（1）解：因为每一个三角形都是直角三角形，
由勾股定理可求得：，，，
∴，，
∴；
（2）当时，有：，
解之得：
即：说明它是第32个三角形；
（3）
即：的值为．
【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
答案第1页，共2页
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