专题2.20二次根式 分层练习培优练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.20 二次根式（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
3．下列计算不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．化简的结果为（　　）
A． B．30 C． D．30
5．下列各式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5） =，其中正确的有（　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若a、b、c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
8．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　）
①只存在一组和使得；
②只存在两组和使得；
③不存在和使得；
④若只存在三组和使得，则的值为49或64
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．a，b为有理数，且，则 ．
12．若的积是有理数，则无理数m的值为 ．
13．已知，则的值为 ．
14．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
15．若，则的值为 ．
16．化简：
17．把中根号外的移入根号内得 ．
18．如图，在中，，是边上的高，图中线段上一动点，若满足，，，则以为边长的正方形面积是 ．

三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算
(1)
(2)
21．已知，，求的值．
22．已知x＋y=－8，xy=8，求的值．
23．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
24．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ．
【详解】解：原式=，
∵49<54<64，
∴，
∵，
∴，
∴最接近7，
∴最接近7-3即4，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．
2．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
3．D
【详解】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知，故正确；
根据二次根式的乘法，可知，故正确；
根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得，故正确；
根据二次根式的加减，可知与不是同类二次根式，故不正确.
故选D.
4．C
【详解】先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得==，
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.
5．B
【详解】根据二次根式的性质和立方根的性质，逐一判断为：=3，=-3，故A正确；
=4，=2，故B不正确；根据被开方数越大，结果越大，可知C正确；，可知D正确.
故选B.
6．B
【详解】根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）不正确；正确，故（2）正确；由=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知，故（4）不正确；根据分母有理化的意义，可知，故（5）正确.
故选B.
7．B
【详解】因 =，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，
故该选项①正确；
②，
当，则
当则．
故选项②正确；
③，
当时，
，所以不存在，
故该选项③正确；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．
9．B
【分析】先估算出，则，然后对进行分母有理化即可判断①；根据推出，正在由为有理数，得到方程组，解方程组即可得到答案；只需要根据，推出，即可判断③；证明，然后对原式裂项即可判断④．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为有理数，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵
，
∴
，故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
10．B
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
11．2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到．
【详解】解：
a，b为有理数
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
12．（答案不唯一）
【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解．
【详解】解：
的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
令，（是有理数）
解得：，
当即，
时，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质．
13．##
【分析】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
14．或或
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
15．2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
16．
【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为0，因此得到被开方数大于0，求出ab<0后，进行二次根式的化简即可．
【详解】解：要使该二次根式有意义，则有
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．
17．
【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据， 然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可．
【详解】根据二次根式有意义的条件可得：且
解得：
则，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．
18．或或
【分析】根据题意，点在线段的垂直平分线上，设的中点为，根据点在上，根据勾股定理解三角形，即可求解．
【详解】解：在中，，是边上的高，
∴，
∵
∴在线段的垂直平分线上，设的中点为
当点在上时，则重合，
∵，，
∴
∴以为边长的正方形面积是，
当在上时，如图所示，

∵，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴为边长的正方形面积是，
当点在上时，如图所示，

则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
为边长的正方形面积是，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，分类讨论是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．
21．970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
22．
【分析】根据已知条件可知，x，y是负数，再由二次根式的性质化简，把原式用x+y和xy表示即可求解．
【详解】解：∵x＋y=－8，xy=8，
∴x＜0，y＜0，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法法则和加减法法则，先要根据式子，找出题目中的隐含条件，判断所含字母或式子的符号，再结合二次根式的定义和运算法则，把式子用x+y和xy表示，再整体代入求值．
23．（1），；（2）；（3）5
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）
故答案为：，；
（2）原式
；
（3），
，
，
即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
24．(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
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