专题2.24二次根式的化简求值50题 分层练习基础练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.24 二次根式的化简求值50题（分层练习）（基础练）
1．已知，，求的值．
2．已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
3．已知：，求代数式的值．
4．已知，，求的值．
5．已知，求代数式的值．
6．已知，，求的值．
7．下面是小明同学对于题目“化简并求值：，其中 ”的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式＝……………第一步
…………………………第二步
……………………第三步
把代入得，原式．……………第四步
任务一：填空：第 　步开始出现错误，错误原因是 ______________________；
任务二：请直接写出代数式正确的值　　．
8．某同学在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与求解的：
先将进行分母有理化，过程如下，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
请你根据上述分析过程，解决如下问题：
(1)若，请将进行分母有理化；
(2)在（1）的条件下，求的值；
(3)在（1）的条件下，求的值
9．先化简，再求值：，其中．
10．已知，求代数式的值．
11．已知：，，求代数式 的值．
12．若、均为实数，而且，求．
13．已知，求：
(1)代数式的值；
(2)代数式的值．
14．已知，，求的值．
15．先化简，再求值：，其中，如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)　 　的解法是错误的；
(2)先化简，再求值：，其中
16．已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)．
17．先化简，再求值：已知，．求代数式的值．
18．已知，，求
(1)
(2)的值．
19．已知，，求的值．
20．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
21．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
因为，所以．
所以，即．所以．
所以．
请根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ；
(2)计算：；
(3)若，求的值．
22．已知 ， ．
(1)求的值．
(2)求的值．
23．（1）当时，化简代数式．
（2）已知：，求的值．
24．已知，，则：
(1) ； ； ．
(2)计算式子的值．
25．已知，求：．
26．已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
27．已知，，则
(1)______；______；______．
(2)根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子的值．
28．已知与满足，求代数式的值．
29．已知，求的值．
30．已知，，求下列各式的值：
(1)
(2)
31．已知，，求的值．
32．已知，，求代数式的值．
33．已知x=，y=，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
34．已知，求的值．
35．已知，求的值．
36．完成下列各小题：
（1）已如，求的值；
（2）已知，求式子的值；
37．解答下列问题．
（1）已知，，求．
（2）已知实数，满足，求的平方根．
38．已知，，求的平方根．
39．先化简，再求值，已知x＝，y＝，求x2﹣2xy﹢y2 的值．
40．计算：；
已知，求的值．
41．已知，，求的值．
42．已知，求的值．
43．已知，，求．
44．已知，求代数式的值．
45．已知，求的值．
46．（1）已知x1，求的值；
（2）已知x﹣2，求代数式(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1的值．
47．已知，化简.
48．（1）已知x=+2，y=﹣2，求x2+2xy+y2的值．
（2），求：（x+y）2019的值．
49．已知实数x满足，求的值.
50．已知a，b，c为实数且c＝+，求代数式c2﹣ab的值．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．
【分析】先求出，然后把所求式子分解因式后再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的代入求值，正确变形、准确计算是解题的关键．
2．(1)
(2)4
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确进行计算．
3．0
【分析】将x和y的值代入，然后利用二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式及二次根式的运算法则．
4．9
【分析】先根据的值计算出，再利用通分和完全平方公式变形得到，最后整体代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，注意整体代入的思想的应用．
5．5
【分析】利用完全平方公式，将变式为，再代入数值解题．
【详解】解：
当时，
原式
．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、二次根式的性质，是重要考点，掌握完全平方公式是解题关键．
6．2
【分析】将原式化为和，再通分，然后将，直接代入求值即可．
【详解】解：由题意可得：，，则，
　代入，，则原式．
【点睛】本题综合性较强，主要考查二次根式的化简以及加法运算，注意判定每一个因式的符号．
7．二；算术平方根必须是非负数；4
【分析】根据算术平方根必须是非负数可得出从第二步开始出现错误，再根据这个化简求值．即可得．
【详解】任务一：第二步开始出错，错误的原因是算术平方根必须是非负数，
任务二：原式＝
，
当时，原式，
故答案为：二，算术平方根必须是非负数，4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
8．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）按照分母有理化的方法进行解答即可；
（2）根据，得出，根据，得出，即可求出结果；
（3）将变形为，将代入得出，再将代入求值即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：根据（2）可知，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想．
9．，
【分析】根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质和运算法则，本题属于基础题型．
10．
【分析】把x的值代入多项式进行计算即可．
【详解】解：．
当时，
原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是先因式分解，再代入后利用平方差公式求解．
11．2
【分析】由与的值求出与，所求式子提取公因式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：提公因式，二次根式的混合运算，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．
【分析】二次根式有意义的条件易得，解得或，而分母不能为0，则，再计算出，然后利用因式分解把原式化简为，再把和的值代入即可．
【详解】解：根据题意得，
，解得或，
，
，
，
原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干．也考查了二次根式有意义的条件．
13．(1)代数式的值为
(2)代数式的值为
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先提公因式，然后代入字母的值，根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
14．
【分析】先求得，，再利用平方差公式化简，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
15．(1)小亮
(2)化简结果：，代数式的值为：2029
【分析】（1）根据，从而可判断小亮的运算错误；
（2）先化简可得结果为，再结合a的值化简绝对值，再代入计算，从而可得答案．
【详解】（1）解：小亮的解法错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：．
（2）
∵，∴，
∴原式＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，求解代数式的值，掌握是解本题的关键．
16．(1)4
(2)14
【分析】（1）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解；
（2）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
17．
【分析】根据已知得出，将代数式因式分解即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)15
【分析】（1）根据平方差公式因式分解后，代值求解即可得到答案；
（2）利用配方法化简后代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
当，时，
原式
；
（2）解：，
当，时，
，，
原式
．
【点睛】本题考查代数式化简求值，熟练掌握平方差及完全平方公式是解决问题的关键．
19．
【分析】根据已知可得和的值，然后利用完全平方公式将化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴
．
∴的值是．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，运用了整体代入和恒等变换的思想．掌握完全平方公式和平方差公式及相关的运算法则是解题的关键．
20．(1)8
(2)
【分析】（1）将、的值代入原式计算即可；
（2）将、的值代入原式计算即可．
【详解】（1）解：当，时，
原式
；
（2）当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
21．(1)
(2)9
(3)5
【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
（3）首先化简，然后把所求的式子化成代入求解即可．
【详解】（1）
；
（2）原式
；
（3），
则原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
22．(1)47
(2)4
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵， ，
∴，，
则
；
（2）解：

．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
23．（1）3；（2）．
【分析】（1）先判断，，再化简即可求解；
（2）把代入，利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴，，
∴；
（2）∵，
∴
．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减，二次根式的乘法运算进行计算即可求解．
（2）根据（1）的结论，结合完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
，
故答案为：．
（2）解：∵
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
25．
【分析】先求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出，并把随求式子转化成是解题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）将，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键．
27．(1)；；
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减法计算和的值，利用平方差公式计算的值；
（2）先根据完全平方公式变形得出原式，然后再利用整体代入法计算．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
．
故答案为：；；
（2）原式，
把，代入，可得：
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．
28．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进一步求出，再将其代入代数式进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
，
，
∴
．
【点睛】本题考查了代数式求值、二次根式有意义的条件，分母有理化，解题的关键是根据二次根式有意义的条件求出．
29．
【分析】根据非负数的意义求出、的值，再把进行变形，最后把、的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵
∴，，
解得：，，
∵
，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的性质．理解和掌握绝对值，二次根式的性质是解题的关键．
30．(1)
(2)10
【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可；
（2）先求解 再利用完全平方公式进行变形求值即可.
【详解】（1）解： ，，
（2） ，，
【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键.
31．
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式、平方差公式是解题关键．
32．12
【分析】先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；
【详解】解：
当，，
故答案为：12
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
33．（1）24；（2）．
【分析】（1）先求得x+y=2，xy=2，再利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；
（2）直接将x=，y=代入计算即可．
【详解】解：（1）∵x+y=2，xy=2，
∴，
（2）∵x=，y=，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是解题的关键．
34．2021
【分析】利用二次根式和分式有意义的条件：，求出x的值，再代入原式求出y的值，最后算的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴
∴.
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握这个式子有意义的条件．
35．2020
【分析】根据二次根式的非负性得到b值，代入求出a，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0，
∴b=2020，
∴，
∴===2020．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，解题的关键是利用非负性得到a，b的值．
36．（1）15；（2）±4
【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
（2）根据已知等式可得，再利用完全平方公式变形可得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴原式=2（x+y）2-xy=15．
（2）∵，
∴，
∴，
∴=±4．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
37．（1）19；（2）．
【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y与xy，再将原式配方后，整体代入计算即可，
（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x，y的值，代入求出值，再求平方根即可．
【详解】（1），
．
，
，
．
（2），
，，，
，
6的平方根为．
【点睛】本题考查二次根式的条件求值问题，掌握二次根式的条件求值方法，会分母有理化，会利用被开方数有意义求字母的值是解题关键．
38．
【分析】根据二次根式的性质进行化简求值，然后再代入求解平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质及平方根，熟练掌握二次根式的性质及平方根是解题的关键．
39．12
【分析】先对x，y进行分母有理化，然后代入求值即可．
【详解】∵x＝，y＝，
∴x＝2+，y＝2-，
∴原式＝ ＝＝＝12．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
40．（1）；（2）3
【分析】根据二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可;
先根据完全平方公式变形，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
．
把代入，
原式．
．
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．
41．
【分析】由已知条件先求解，再把代数式变形，整体代入求值即可．
【详解】解： ，
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式变形的代数式的求值，掌握公式的特点是解题的关键．
42．-4.
【分析】根据已知的等式可知a,b为负数，通过计算出的值，根据二次根式的性质将原式进行化简得，然后带入数据计算即可.
【详解】解：∵，a+b=-4，
，a与b为负数，
.
【点睛】此题主要考查实数的运算，二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简.
43．
【分析】由x＋y＝ 5，xy＝3，得出x＜0，y＜0，利用二次根式的性质化简，整体代入求得答案即可．
【详解】∵x＋y＝ 5，xy＝3，
∴x＜0，y＜0，
∴===．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质，渗透整体代入的思想是解决问题的关键．
44．5+6
【分析】首先把代数式化为，再代入数进行计算即可．
【详解】∵
∴
=
=
=
=5+4+4+2-4
=5+6．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是注意观察，找出解决问题的简便方法．
45．32
【分析】根据x和y的形式，可得xy的值，化简x和y，再将x2+y2变形为（x+y）2-2xy代入即可.
【详解】解：∵，
∴，，，
∴
=
=
=
=32.
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据x和y值得出x+y和xy的值，再把要求的分式转化成只含有x+y和xy的形式.
46．（1）；（2）(x﹣2)2，2．
【分析】（1）利用完全平方公式推出，然后整体代入即可；
（2）先对原代数式利用完全平方公式 进行化简，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）∵，
∴
∵x1，
∴原式=
（2）(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1=(x﹣2)2，
把x﹣2，代入上式可得：原式=()2=2．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．
47．
【分析】利用完全平方公式将被开方数写成完全平方式的形式，再化简.
【详解】解：因为，所以，
所以
【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的结合，灵活应用完全平方公式将被开方数化成乘积的形式是解题的关键.
48．（1）12；（2）-1.
【分析】（1）首先根据完全平方公式，可将原式转化，然后直接代入，即可得解；
（2）首先判断使二次根式有意义的条件，即可得出x=2，进而得出y=-3，代入即可得解．
【详解】（1）原式===12
（2）∵有意义，
∴x=2，y=-3，
∴原式=（2-3）2019=-1．
【点睛】此题主要考查完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
49．10
【分析】先出x的取值范围，再得到无理方程，解方程，再代入求解.
【详解】解：由得x-10≥0,
即x≥10，
所以，
，
解得x=91
所以=10
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是熟练运用二次根式的性质求出未知数的值.
50．12﹣4．
【分析】先依据二次根式有意义的条件，求得a、b的值，然后再代入计算即可．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得：a-3≥0，3-1≥0，-(b+1)2≥0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴c＝2﹣
代入代数式c2﹣ab得：
原式＝，
＝12﹣4．
【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
答案第1页，共2页
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