专题2.25二次根式的化简求值50题 分层练习提升练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.25 二次根式的化简求值50题（分层练习）（提升练）
1．已知，，求下列各式的值：
(1)．
(2)．
2．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，试求代数式的值．
3．（1）；
（2）；
（3）已知，求代数式的值．
4．（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
5．已知 ，，求代数式 的值．
6．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)，则　 　．
(2)若，求的值．
7．已知，，求的值．
8．先化简，再求值：，其中．
9．已知，求：
(1)的值；
(2)的值．
10．先化简，再求值：，其中．
11．先化简下式，再求值：，其中．
12．先化简，再求值：，其中，．
13．先化简，再求值：，其中：，．
14．已知．已知．
(1)代数式的值为________；
(2)求代数式值．
15．已知，求代数式的值．
16．（1）已知，求代数式的值
（2）已知，求的值．
17．已知：，，求的平方根．
18．已知，，求下列各式的值．
(1)
(2)
19．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴，即，
∴，
∴，
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
(1)化简：①__________；
②__________；
(2)化简：+…+；
(3)若，求的值．
20．已知，，求和的值．
21．某同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
，
，
，，
，
，
请你根据这位同学的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：
(2)若；
①求的值；
②求的值．
22．（1）计算： ， ；
（2）已知，求代数式的值；
（3）比较大小： ．
23．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以，所以
所以，所以，所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是__________，______；
的有理化因式是________，______；
(2)若，求的值．
24．先化简，再求值：，其中，.
25．先化简，再求值：，其中．
26．已知，
(1)求的值．
(2)若的小数部分为，的整数部分为，求的平方根．
27．已知非零实数a，b满足，求代数式的值．
28．先化简，再求值：，其中，．
29．已知，求．
30．已知．求代数式的值．
31．已知：，求的值．
32．已知，，求的值．
33．（1）已知、为实数，且，求、的值．
（2）已知实数满足，求的值．
34．已知，，求代数式的值．
35．先化简，再求值：，其中．
36．已知，，求代数式的值．
37．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
38．若，为实数，且．求的值．
39．已知，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
40．已知和，求下列各式的值：
(1)
(2)．
41．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简．
(1)例如，∵，
∴______，请完成填空．
(2)仿照上面的例子，请化简；
(3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值．
42．已知，，求的值．
43．先化简，再求值：，其中，．
44．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求值．
45．已知，若，，试求a2+b2+ab的值．
46．（1）已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
① ；
②x2﹣xy+y2；
（2）若＝8，则﹣＝　 　．
47．已知求代数式的值．
48．已知，的整数部分为，小数部分为，求的值．
49．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知，，求下列式子的值：
50．已知，
（1）求的值；
（2）若的小数部分为m，的小数部分为n，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)42
【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可；
（2）先求解再利用完全平方公式进行变形求值即可.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴
.
【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键.
2．（1），；（2）42
【分析】（1）先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解．
（2）先利用x、y的值计算出，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式；
（2）解：∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
3．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）直接把代入中，利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（1）11；（2）
【分析】（1）先计算出值，再根据，代入计算即可得到答案；
（2）设，则，从而可以求出，再由即可得到答案．
【详解】解：（1），，
，，
∴ ；
（2）设，
则，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了运用完全平方公式的变形进行求值，注以及整体思想的运用．
5．
【分析】先将x、y的值分母有理化，再代入到原式计算可得．
【详解】，
，
原式
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式分母有理化的能力．
6．(1)
(2)4
【分析】（1）仿照例题，可以求得所求式子的值；
（2）仿照例题，将的值分母有理化，然后变形，即可求得所求式子的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
，
，
即的值为4．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用类比的方法解答．
7．
【分析】先分母有理化求出的值，再利用完全平方公式将变形为，然后代入求值即可．
【详解】解：，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值和完全平方公式的应用，熟练掌握化简方法和完全平方公式的变形是解题的关键.
8．，．
【分析】先用二次根式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：，
=，
=，
当—2时，
原式=，
=），
=．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用二次根式的混合运算法则化简原式是解答本题的关键．
9．(1)
(2)11
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab，根据二次根式的减法法则求出，根据提公因式法把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【详解】（1）解：，，
，，
则
；
（2）
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．
10．，
【分析】直接利用平方差公式以及二次根式的乘法将原式变形，进而合并同类项，进而把已知代入求出答案．
【详解】解：原式
，
把代入，得，
原式
．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，多项式乘单项式以及二次根式的化简求值，正确化简原式是解题关键．
11．，
【分析】先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．
12．，．
【分析】先确定，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将x，y的值代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
∴，
则
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
13．，．
【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
14．(1)3
(2)8
【分析】（1）将变形为，再代入的值求解即可；
（2）将变形为，再代入，的值利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：3；
（2）解：
，
当时，
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．
15．
【分析】先对a进行分母有理化求出，再把所求式子变形为，再把整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确求出并把所求式子变形为是解题的关键．
16．（1）2；（2）16．
【分析】（1）把化成，再代入数据利用平方差公式计算即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，，求得，，再代入数据计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴
；
（2）∵，即，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
17．
【分析】先将x、y化简，然后即可得到的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
．
∵的平方根为
∴的平方根为．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，求一个数的平方根，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先把a、b进行分母有理化得到，，进而求出，，再根据进行代值求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
；
（2）解：由（1）得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出，是解题的关键．
19．(1)①，②
(2)
(3)5
【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）把各项进行分母有理化，从而可求解；
（3）仿照所给的解答方式进行求解．
【详解】（1）解：①；
②，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．，4
【分析】将a，b的值分别代入要求的式子中，然后按照二次根式运算的法则计算即可．
【详解】；
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键．注意做这类计算题时，一定要细心．
21．(1)
(2)①；②0；
【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母，同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）①将化简，再得到，再整体代入化简后的式子计算即可；②根据，将所求式子变形，再整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①，
，
，
，
，
②由①知，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用平方差和完全平方公式解答．
22．（1），；（2）；（3）＞
【分析】（1）根据二次根式的分母有理化可进行求解；
（2）直接把x的值代入求解即可；
（3）由题意得，进而问题可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为，；
（2）∵，
∴，
∴
；
（3）∵，
∴；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算及分母有理化是解题的关键．
23．(1)；；或；；
(2)7
【分析】（1）根据有理化因式的定义，进行求解即可；
（2）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∴；
∵，
∴的有理化因式是或，
∴；
故答案为：；；或；；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查分母有理化．理解并掌握有理化因式的定义，是解题的关键．
24．，4
【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出，代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴原式．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
25．，3
【分析】根据二次根式的混合运算法则，平方差公式和单项式乘多项式法则计算即可化简，再将代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，涉及二次根式的混合运算，平方差公式和单项式乘多项式．熟练掌握各运算法则是解题关键．
26．(1)20；
(2)．
【分析】（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出和的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；
（2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
∴；
（2）解；∵，
∴，，
∵的小数部分为，的整数部分为，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出和的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键．
27．3
【分析】利用因式分解将已知化为，得出，然后代入所求代数式即可得解．
【详解】解：非零实数a，b满足，
由题意可知，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、因式分解以及分式的性质是解答此题的关键．
28．，
【分析】根据完全平方差公式、多项式乘以多项式运算法则先运算，再根据整式加减运算法则，去括号、合并同类项即可得到化简结果，最后代值利用平方差公式求解即可得到结果．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查整式化简求值，涉及完全平方差公式、多项式乘以多项式、整式加减运算、去括号法则、合并同类项、平方差公式及二次根式运算，熟练掌握相关运算法则及公式是解决问题的关键．
29．．
【分析】根据得，则，，将原式化为，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键．
30．
【分析】把已知数据代入代数式，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
31．
【分析】根据进行计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，正确根据完全平方公式得到是解题的关键．
32．
【分析】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．
【详解】解：，，
∴a和b均为负数，
【点睛】此题考查的是二次根式的化简和完全平方公式的变形；掌握二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．
33．（1），；（2）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a的值，进而求出b的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值得到，两边平方即可得到答案．
【详解】解：（1）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
34．24
【分析】先计算出，，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，代数式求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式化简二次根式．
35．，
【分析】先根据整式的混合运算法则将所求整式化简，再根据算术平方根和偶次幂的非负性求出a、b，代入即可作答．
【详解】
，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
将，代入中，
原式，
结果为：，．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，其中涉及到了算术平方根的非负性和完全平方公式等，解决本题的关键是牢记整式的混合运算法则．
36．2015
【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案．
【详解】解：∵x，
y，
．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．
37．(1)10
(2)10
【分析】（1）先求出xy及x+y的值，再将因式分解，最后再整体代入求值；
（2）先将通分，再通过完全平方公式变形，最后代入求值．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查与二次根式相关的代数式求值问题，解题的关键是整体思想的应用．
38．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．
39．(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加法法则即可求出，根据二次根式的乘法法则即可求出；
（2）先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
．
∴的值为，的值为．
（2）∵，，
．
∴的值为．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键．
40．(1)
(2)12
【分析】（1）先计算出和，再利用乘法公式得到；
（2）利用乘法公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：和，
，，
；
（2）由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．
41．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果．
（2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．
（3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．
【详解】（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴．
（3）∵
∴
∵
∴
∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：和熟练运用完全平方公式．
42．18
【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴ab＝1，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键．
43． ， ．
【分析】先根据二次根式的运算法则，在根据分式的运算法则计算即可，先化简，再代入，即可．
【详解】解：原式
，
当、时，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式及分式的运算法则，熟练掌握并应用二次根式及分式的运算法则是解答本题的关键．
44．（1）；（2）11
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
（2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得．
【详解】解：（1）原式
，
当时，原式．
（2）∵，，
∴，
，
原式＝x2﹣2xy+y2+xy
＝（x﹣y）2+xy
＝（2）2﹣1
＝12﹣1
＝11．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
45．3x+y，15
【分析】根据题意求出x与y的值，然后根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后将x与y代入原式即可求出答案．
【详解】解：∵有意义
∴且
∴x＝4，
∴y＝3，
∵，，
∴
把x＝4，y＝3代入上式中
原式
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
46．（1）①；②19；（2）±．
【分析】（1）①根据x＝＋2，y＝ 2，可以得到xy、x＋y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x＝＋2，y＝ 2，可以得到xy、x＋y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【详解】解：（1）①＝，
∵x＝＋2，y＝ 2，
∴x＋y＝2，xy＝3，
当x＋y＝2，xy＝3时，原式＝；
②x2 xy＋y2＝（x＋y）2 3xy，
∵x＝＋2，y＝ 2，
∴x＋y＝2，xy＝3，
当x＋y＝，xy＝3时，原式＝（2）2 3×3＝19；
（2）设＝x，＝y，则39 a2＝x2，5＋a2＝y2，
∴x2＋y2＝44，
∵＋＝8，
∴（x＋y）2＝64，
∴x2＋2xy＋y2＝64，
∴2xy＝64 （x2＋y2）＝64 44＝20，
∴（x y）2＝x2 2xy＋y2＝44 20＝24，
∴x y＝±，
即﹣＝±，
故答案为：±．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分式的加减法、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
47．
【分析】先把化简为，再化简得，最后代入求值即可．
【详解】解：
∵
∴
∴
∴
将代入上式得：
原式=
【点睛】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
48．
【分析】首先化简二次根式，即，根据 得到， ，将a、b代入即可计算即可．
【详解】解：∵， ，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的化简及计算，同时也考查了学生的估算能力，夹逼法是估算时常用的一种方法．
49．（1）；；（2）11
【分析】（1）利用乘法公式化简，在代入求值计算即可；
（2）把x，y代入代数式求解即可；
【详解】解：（1）原式，
当时，
原式，
．
（2）由已知可得：，
原式=，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简计算，利用乘法公式化简是解题的关键．
50．（1）13；（2）
【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得和，对所求式子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；
（2）首先利用分母有理化法则求出a，b的值，根据，可得m，n的值，进而代入求值即可．
【详解】（1），
，
；
（2），，
∵，，
∴，，
即，
∴的整数部分是0，小数部分是，即，
的整数部分是3，小数部分是，即，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，根据，得出m，n的值是解题关键，注意要分母有理化．
答案第1页，共2页
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