专题2.27实数 中考常考点分类专题提升篇（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版专项讲练

专题2.27 实数（中考常考点分类专题）（提升篇）
一、单选题
【考点1】无理数 无限不循环小数的判定
（2023春·辽宁营口·七年级统考阶段练习）
1．下列各数中，无理数的个数是（ ）
，，， ，，
A． B． C． D．
（2023春·七年级课时练习）
2．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是有理数
【考点2】平方根与算术平方根 求一个数的平方根（算术平方根）
（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）
3．的平方根是x，的立方根是y，则的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或 D．2或
（2019春·广东潮州·七年级统考期中）
4．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．2与
【考点3】平方根与立方根 概念的理解与认识
（2023春·广西崇左·七年级统考期中）
5．下列说法正确的是（ ）
A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根
C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个
（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）
6．若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　）
A．5的平方根是b B．5的平方根是a
C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a
【考点4】平方根与立方根 综合应用
（2023·广东茂名·校联考三模）
7．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．没有立方根
C．的立方根是 D．的算术平方根是
（2023春·七年级课时练习）
8．若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（ ）
A．4 B．4或0 C．6或2 D．6
【考点5】实数 无理数的估算
（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）
9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2022秋·四川内江·八年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）
10．无理数的整数部分是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点6】实数 实数的分类 实数的性质
（2019秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）
11．下列说法正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数 B．实数分为正实数和负实数
C．无限小数是无理数 D．数轴上的点和实数是一一对应的
（2018秋·湖南怀化·八年级统考期末）
12．以下说法正确的是（ ）
A．0不是实数 B．是一个无理数
C．实数的绝对值是正实数 D．的立方根是
【考点7】实数 实数与数轴 实数的大小比较
（2023春·广东湛江·八年级统考期末）
13．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）

A．2．2 B．2．3 C． D．
（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）
14．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为，下列各数中最接近于的是（ ）
A． B． C． D．
【考点8】实数 实数的运算数 规律性问题与新定义
（2023春·江苏南通·七年级统考期中）
15．对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·浙江·七年级假期作业）
16．用计算器探索：已知按一定规则排列的一组数：1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选几个数（ ）
A．3个数 B．4个数 C．5个数 D．6个数
【考点9】实数 二次根式 有意义的条件 二次根式的值
（2023春·福建莆田·八年级统考期中）
17．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是( )
A．0 B．2 C．3 D．7
（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）
18．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
【考点10】实数 二次根式 最简二次根式 同类二次根式
（广东省东莞市松山湖未来学校教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）
19．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2022春·八年级单元测试）
20．下列各组中的两个式子，不属于同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【考点11】二次根式运算 二次根式乘除运算
（2023春·河北廊坊·八年级校考阶段练习）
21．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·全国·八年级专题练习）
22．若，则化简（ ）
A．m B．-m C．n D．-n
【考点12】二次根式运算 二次根式加减运算
（2023春·山东济宁·八年级统考期末）
23．下列算式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）
24．下列事件是必然事件的是（ ）
A．两个不相同无理数的和是无理数 B．两个不相同无理数的差是无理数
C．两个不相同无理数的积是无理数 D．两个不相同无理数的商是无理数
【考点13】二次根式运算 二次根式混合运算
（2023春·天津和平·八年级天津市第五十五中学校考期末）
25．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）
26．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论：
①；
②若，，则；
③，且，则
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点14】二次根式运算 分母有理化 大小比较
（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）
27．已知，，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）
28．已知，那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【考点15】二次根式运算 化简求值
（2023春·全国·八年级期末）
29．若，则的值是（ ）
A． B．4 C．1 D．8
（2023春·山东淄博·八年级统考期中）
30．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点1】无理数 无限不循环小数的判定
（2020秋·浙江金华·七年级校考阶段练习）
31．实数，，，，中属于无理数的是 ．
（2019秋·山西临汾·八年级统考期末）
32．写出一个无理数a，使得|a﹣4|＝4﹣a成立，你写出的a的值是 ．
【考点2】平方根与算术平方根 求一个数的平方根（算术平方根）
（2022春·广东肇庆·七年级校联考期中）
33．已知，则的算术平方根是 ．
（2022春·河北承德·七年级统考期中）
34．64的算术平方根是 ，的平方根是 ．
【考点3】平方根与立方根 概念的理解与认识
（2023·全国·九年级专题练习）
35．若，则
（2023春·七年级单元测试）
36．的四次方根是 ．
【考点4】平方根与立方根 综合应用
（2023·全国·八年级假期作业）
37．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为 ．
（2022秋·全国·八年级专题练习）
38．-8的立方根与的算术平方根的和为 ．
【考点5】实数 无理数的估算
（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）
39．已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 .
（2023春·四川泸州·七年级统考期末）
40．写出满足条件的m的一个整数值， ．
【考点6】实数 实数的分类 实数的性质
（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）
41．如图，OB＝BA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A2021A2022＝1，∠OBA1＝∠OA1A2＝∠OA2A3＝∠OA3A4＝…＝∠OA2021A2022＝90°．则线段OB、OA1、OA2、OA3、OA4、…、OA2022中，其中长度为无理数的有 条．
（2022春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）
42．如果都是实数，且，则的相反数是
【考点7】实数 实数与数轴 实数的大小比较
（2023春·山东临沂·七年级统考期末）
43．比较大小： （填“>”，“<”或“=”）
（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）
44．如图，在数轴上点表示的数是 ．

【考点8】实数 实数的运算数 规律性问题与新定义
（2023春·福建福州·七年级校考期中）
45．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对2023只需进行 次操作后变为1．
（2023春·北京海淀·七年级校考期中）
46．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是 ．
【考点9】实数 二次根式 有意义的条件 二次根式的值
（2022秋·四川达州·八年级统考期中）
47．已知实数满足，则 ．
（2023春·全国·八年级专题练习）
48．代数式的最小值为 ．
【考点10】实数 二次根式 最简二次根式 同类二次根式
（2023春·八年级课时练习）
49．下列各式：① ② ③ ④ 是最简二次根式的是: （填序号）
（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）
50．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【考点11】二次根式运算 二次根式乘除运算
（2023春·全国·八年级专题练习）
51．已知，，则的值是 ．
（2023春·江苏·八年级专题练习）
52．设，，用含的代数式表示，结果为 ．
【考点12】二次根式运算 二次根式加减运算
（2023春·山东聊城·八年级统考期中）
53．计算的结果是 ．
（2023·全国·八年级假期作业）
54．已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ．
【考点13】二次根式运算 二次根式混合运算
（2023·河南洛阳·统考模拟预测）
55．如图，已知线段，经过点作，使；连接，在上截取，在上截取；则的值为是 ．

（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）
56．已知 ，则 ．
【考点14】二次根式运算 分母有理化 大小比较
（2023·四川成都·校考二模）
57．若是的小数部分，则 ．
（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）
58．比较大小： （填上“＞”或“＜”）
【考点15】二次根式运算 化简求值
（2022秋·八年级单元测试）
59．已知 ，，则 ．
（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）
60．已知，求 ．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数对每个数字逐一分析判断即可．
【详解】解：是有限小数，是分数，是整数，是整数，都属于有理数，
，属于无理数，共计个，
故选：
【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
2．C
【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．
【详解】A. 是有理数，故A选项说法错误；
B. 是无理数，故B选项说法错误；
C. 是无理数，故C选项说法正确；
D. 是无理数，故D选项说法错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．
3．C
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可．
【详解】解：，4的平方根为，即，
，
当，时，，
当，时，，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
4．A
【分析】根据相反数的定义，化简判断即可．
【详解】A、∵，∴与互为相反数，故该项正确，符合题意；
B、∵，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
C、∵与2互为相反数，∴与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
D、∵，∴2与不是相反数，故该项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，求一个数的算术平方根，立方根，熟练掌握相反数的定义，准确进行化简计算是解题的关键．
5．B
【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；
B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；
C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；
D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
6．D
【分析】根据题意，求出a=，b=，再依次进行判断即可．
【详解】解：∵a、b满足方程x2＝5，且a＞b，
∴a=，b=，
∴5的平方根是，故A，B错误，
5的算术平方根是，故C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．
7．D
【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意；
B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；
C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；
D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．
8．C
【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值．
【详解】∵a是的平方根，
∴a=±2，
∵b是的立方根，
∴b=4，
∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．
故选C．
【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键．
9．A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
10．C
【分析】根据，可知，据此即可解答．
【详解】解：，
，
，
的整数部分是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握和运用无理数估算的方法是解决本题的关键．
11．D
【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）、实数的概念（实数分为正实数、零和负实数）、实数与数轴逐项判断即可得．
【详解】解：A、带根号的数不一定是无理数，如，则此项错误，不符合题意；
B、实数分为正实数、零和负实数，则此项错误，不符合题意；
C、无限不循环小数是无理数，则此项错误，不符合题意；
D、数轴上的点和实数是一一对应的，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数、实数、实数与数轴，熟练掌握实数和无理数的概念是解题关键．
12．D
【分析】直接利用实数的相关性质分别判断得出答案．
【详解】A、0是实数，故此选项不合题意；
B、是一个有理数，故此选项不合题意；
C、实数的绝对值是非负实数，故此选项不合题意；
D、=-3的立方根是，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
13．D
【分析】根据勾股定理以及数轴上的点表示的数即可解答．
【详解】解：由题意得，
∴点A所表示的数为．
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理、数轴上的点表示的数等知识点，熟练掌握勾股定理以及数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
14．C
【分析】先把化成小数约为0.618，再把每一个选项化成小数，通过比较大小即可解答．
【详解】解：∵
∵， ，，
∴，
而，，
∵
∴更接近0.75，
即更接近，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，准确熟练地估算无理数的大小是解题的关键．
15．C
【分析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值即可．
【详解】解：∵，．
∴，．
∵a，b是两个连续的正整数．，，
∴，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．
16．C
【分析】通过实数的分母有理化对每项化简，再根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法求出大于3时，即可得答案．
【详解】解：第一个数是1，第二个是，前两项和为；
第三个数是，前三项和为，
第四个数是，前四个数的和为；
第五个数是，前五个数的和为满足条件；
所以可以把这些数加起来，至少要5个数和才大于3，
故选：C
【点睛】本题属于探究类题型，主要是考察实数的化简和对计算器的使用，难度一般.
17．D
【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)
∴n的最小值是7．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．
18．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
B. 中，的取值范围是，故此项符合题意；
C. 中，的取值范围是，且，故此项不符合题意；
D. 中，的取值范围是，故此项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
19．A
【分析】根据最简二次根式的概念逐项一一判断即可．
【详解】、是最简二次根式，符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是熟记被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
20．C
【分析】将各选项中的二次根化为最简二次根式后判断被 开方数是否相同即可得出结论．
【详解】解：A. ，，被开方数相同，都是2，属于同类二次根式，故选项A不符合题意；
B. 与, ，被开方数相同，都是7，属于同类二次根式，故选项B不符合题意；
C. ，，被开方数不相同，不属于同类二次根式，故选项C符合题意；
D.,，被开方数相同，都是5，属于同类二次根式，故选项D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的判断，正确理解同类二次根式的概念是解答本题的关键．
21．D
【分析】根据二次根式的加减，以及二次根式的乘除法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘除法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
22．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
【详解】解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
=
=
=|m|
=-m，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　
23．D
【分析】利用二次根式的各种运算的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．B
【分析】通过举例计算逐一分析每个选项，结合必然事件与随机事件的含义可得答案.
【详解】解：∵，和是有理数，是无理数，
∴两个不相同无理数的和是无理数是随机事件，故A不符合题意；
两个不相同无理数的差是无理数是必然事件，故B符合题意；
∵，，
∴两个不相同无理数的积是无理数是随机事件，故C不符合题意；
同理：两个不相同无理数的商是无理数是随机事件，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是无理数的和，差，积，商，二次根式的运算，无理数的定义，随机事件与必然事件的含义，熟记运算法则与基本概念是解本题的关键.
25．A
【分析】运用二次根式的运算方法进行逐一计算、辨别．
【详解】、∵，∴此选项符合题意；
、∵，∴此选项不符合题意，排除；
、∵ ，∴此选项不符合题意，排除；
、∵ ，∴此选项不符合题意，排除，
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的运算能力，关键是能准确运用该计算法则进行计算．
26．D
【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断；
②先化简a、b，然后代入求值即可；
③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可．
【详解】解：①，故①正确；
②，
，
∴
，故②正确；
③
，
，
∵，
∴，
∴，
即，
，
∴，
∴，故③正确；
综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
27．C
【分析】化简计算判断即可．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴，
故互为倒数，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键．
28．B
【分析】先求出各数的倒数，然后再根据倒数大的，自身反而小即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较、分母有理化等知识点，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键．
29．A
【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
30．D
【分析】把代入计算解题即可．
【详解】解：
，
故选D．
【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
31．，
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】解：，
在，，，，这5个数中，属于无理数的有，，这2个数，
故答案是：，．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
32．
【分析】负数和0的绝对值是它的相反数，据此可得a-4≤0，写出一个无理数a的值是多少即可．
【详解】解：因为|a﹣4|＝4﹣a成立，
所以a﹣4≤0，
所以a≤4，
因此写出的一个无理数a的值是．（答案不唯一）
故答案为．（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了实数的性质和无理数的含义，解答此题的关键是要明确：负数和0的绝对值是它的相反数．
33．4
【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则，
∴的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．
34． 8
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解：，
的算术平方根是8，
，，
的平方根是，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法是解决本题的关键．
35．或##或
【分析】根据算术平方根的定义与性质得到与的值，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，
且，
，即，
，
①当时，；
②当当时，；
故答案为：或．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到实数运算、算术平根的定义与性质，根据算术平方根的定义与性质求出与的值是解决问题的关键．
36．
【分析】根据分数指数幂的定义直接求解即可
【详解】解：∵
∴的四次方根是：
故答案为：
【点睛】本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键
37．
【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案．
【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5
∴
∴①+②：
∴=16
∴的平方根为
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根．
38．1
【分析】－8的立方根为－2，=9，9的算术平方根为3，两数相加即可．
【详解】解：∵－8的立方根为－2，
=9，9的算术平方根为3，
∴－2+3=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查立方根与算术平方根的定义，掌握基本概念是解题的关键．
39．
【分析】根据，可得的大小，根据，可得a、b 的值，根据实数的减法，可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴即
∵a，b分别是的整数部分和小数部分，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据，可得的大小是解题关键．
40．2（2，3，4中的一个均可）
【详解】解：∵，
∴，
则满足条件的m的整数值为2，3，4，
故答案为：2（2，3，4中的一个均可）．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
41．1979
【分析】先利用勾股定理求出OA1，OA2，OA3，进而发现规律，得到OA2022＝，然后估算出的取值范围，可得，，…这2023个数中，共有44个有理数，进而可得无理数的个数，问题得解．
【详解】解：∵OB＝BA1＝1，∠OBA1＝90°，
∴OA1＝，
同理可得：OA2＝，OA3＝，…，
∴OAn＝，
∴OA2022＝，
∵，即，
∴，，…这2023个数中，共有44个有理数，
∴无理数有2023－44＝1979个，
即线段OB、OA1、OA2、OA3、OA4、…、OA2022中，长度为无理数的有1979条，
故答案为：1979．
【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算，实数的分类，根据勾股定理计算后得出规律是解题的关键．
42．
【分析】根据非负数的性质分别求出x、y即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴y的相反数为
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题关键是理解算术平方根的非负性和绝对值的非负性．
43．<
【分析】先比较两数的平方，然后再比较即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握运用平方法比较实数大小是解题的关键．
44．
【分析】如图，先由勾股定理求出，，再根据，然后由点A在负半轴上，即可求得点表示的数是．
【详解】解：如图，

由图可知：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵点A在负半轴上，
∴点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
45．4
【分析】确定2023的范围，即可求得，再依次下去，通过4次操作后可变为1．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
经过4次操作可以变为1；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了新定义，无理数的估算，理解新定义，正确进行估算是解题的关键．
46．
【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：∵，
，
，
…，
，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数类的规律探寻，正确找到规律是解题的关键．
47．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出，然后化简绝对值，整理后可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
48．2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
∴
，
∴的最小值为2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
49．②③
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】② ③ 是最简二次根式，
故答案为②③．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
50．####
【分析】由同类二次根式的定义可知，，从而可求得、的值，最后代入计算即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，．
解得：，．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义得到关于、的方程组是解题的关键．
51．
【分析】先对a、b分母有理化，然后将因式分解，最后将a、b的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答本题的关键．
52．
【分析】将化简后，代入a，b即可．
【详解】解：，
∵，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将化简变形，本题属于中等题型．
53．0
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
54．
【分析】先估算出的大小，从而求出整数部分，再进一步表示出小数部分，然后代值求解即可．
【详解】解：，
，
的整数部分是2，
，
，
，
的整数部分是3，小数部分是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算．
55．
【分析】由勾股定理求得的长，由题意可得的长，从而得，的长，再计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴由勾股定理得：
，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算，理解题意，准确的计算二次根式的除法运算是解本题的关键．
56．2
【分析】先利用完全平方公式将原式变形为，再将代入求解．
【详解】解：
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式的运算和完全平方公式，解题的关键是利用完全平方公式将原式变形为．
57．##
【分析】先估算无理数的大小，得出，然后将值代入，结合二次根式的性质和平方差公式进行化简即可得出答案．．
【详解】，
，
的整数部分是2，小数部分是，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数估算大小，二次根式的性质，平方差公式，熟练掌握相关运算法则和性质是解题关键．
58．＞
【分析】利用它们的倒数来进行比较．
【详解】解：∵，
又∵，
∴．
故答案为：＞
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小．
59．
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再把a、b的值代入，利用二次根式的运算法则进行求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式把整式进行因式分解是解题的关键．
60．
【分析】将进行平方，再将整体代入求值即可．
【详解】解：
将代入得：
∴（负值舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是整体代入法求值．
答案第1页，共2页
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