北师大版七年级下册》第一章 整式的运算》完全平方公式

课件26张PPT。运用公式法（2）
(完全平方公式)1.具备什么特征的多项式是平方差式? 一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异.2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b? 平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ
平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ3.分解因式时,通常先考虑是否能提公因式,然后再考虑能否进一步分解因式.4.分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.温故知新练 习①-9x2+4y2 ②64x2-y2z2(5) 9(m+n)2－(m-n)2解：（5）9(m+n)2－(m-n)2 9(m+n)2－(m-n)2＝[3(m+n)]2－(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)＝(4m+2n) (2m+4n)＝4 (2m+n) (m+2n)想一想:
以前学过两个乘法公式 把两个公式反过来就得到 形如 的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法.具备什么特征的多项式是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.例1:下列各多项式是不是完全平方式?若是,请找出相应的a和b.多项式 －x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点?这样的多项式能否进行因式分解? 分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式. 解：－x2-4y2+4xy
= －(x2－4xy+4y2)
=－[x2－2·x·2y+(2y) 2]
=－(x－2y) 2. 注意：1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.2.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.例2 把(x+y) 2－6(x+y)+9分解因式.分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y) 2和32 ，另一项6(x+y)=2·(x+y)·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为
　　　(x+y) 2－6(x+y)+9=a2－6a+9，
因而能运用完全平方公式，得到(a－3) 2.
在解题过程中，可以把代换这一步骤省略. 解 ：(x+y) 2－6(x+y)+9
=(x+y) 2－2 ·(x+y)·3+32
=(x+y－3) 2. 例3. 把m2-10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式. 问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式?为什么? 答：可以把m2-10m(a+b)+25（a+b)2写成m2-2 · m · 5(a+b)+[5(a+b)]2.这里m相当于完全平方式里的a，5(a+b)相当于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解.
解：m2-10m(a+b)+25(a+b) 2
= m2-2 · m · 5(a+b)+[5(a+b)] 2
= [m-5(a+b)] 2
= (m-5a-5b) 2.
注意：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式 (或数)，也可以是多项式. 例4 把下列各式分解因式：　　(1)3ax2+6axy+3ay2；　　(2)81m4－72m2n2+16n4. 请同学观察和分析，这两个多项式的结构有什么特点?怎样分解因式?
答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2).
括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公式因式分解.
所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，即81m4=(9m2) 2，16n4=(4n2)2，中间项72m2n2=2·9m2·4n2，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解. 解　(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2. 注意：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式. (2)81m4－72m2n2+16n4
=(9m2) 2－2·9m2·4n2+(4n2) 2
=(9m2－4n2) 2.
问：做到这一步还能不能继续再分解?
答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式.
　　　　原式=(9m2－4n2) 2
　　　　　　=[(3m) 2－(2n) 2] 2
　　　　　　 =[(3m+2n)(3m－2n)] 2
　　　　　　=(3m+2n) 2 (3m－2n) 2. 小结　　运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是： 1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行分解因式.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它分解因式.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号， 如果是正号， 则用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号， 则用公式 a2－2ab+b2=(a－b)2.3.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.4.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.5.当给出的多项式的结构比较复杂时，不能直接看出是否为完全平方式的形式，可以通过代换的方法或经过适当的变形(如添括号)，把原多项式化为完全平方式.6.把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式. 当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式； 当一个多项式的两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号； 当多项式可以看作是二次三项式时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.课堂练习P89随堂练习作 业P89习题1
第7题，第8题
同学们再见三、课堂练习 把下列各式分解因式：
(1)(x+y) 2－10(x+y)+25；　(2)－2xy－x2－y2；
(3)ax2+2a2x+a3；　　　　(4)－a2c2－c4+2ac3；
(5)(a+b) 2－16(a+b)+64；(6)(x2+2x) 2+2(x2+2x)+1；
(7)(m2－6) 2 －6(m2－6)+9；(8)a4－8a2b2+16b4. 答案：　　(1)(x+y－5) 2； (2)－(x+y) 2；
(3)a(x+a) 2； (4)－c2 (a－c) 2；
(5)(a+b－8) 2；　 (6)(x+1)4；
(7)(m+3) 2 (m－3) 2；(8)(a+2b) 2 (a－2b) 2. 把以下四个多项式分解因式