专题8.3 三元一次方程组【七大题型】
【人教版】
【题型1 三元一次方程（组）的解】 1
【题型2 用消元法解三元一次方程组】 3
【题型3 用换元法解三元一次方程组】 6
【题型4 构建三元一次方程组解题】 8
【题型5 运用整体思想求值】 10
【题型6 三元一次方程组中的数字问题】 13
【题型7 三元一次方程组的应用】 18
【知识点1 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）
其中t=x+y=2的正整数解有1组，
t=x+y=3的正整数解有2组，
t=x+y=4的正整数解有3组
……，
t=x+y=8的正整数解有7组，
总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．
【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，
把代入方程组，得，
由①+②+③，得，
∴；
故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程的正整数解是________．
【答案】
【分析】由，可得出，，又由 均为正整数，分析即可得到正确答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
同理可得：
又∵ 均为正整数
∴满足条件的解有且只有一组，即
故答案为：
【点睛】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键．
【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个
【答案】C
【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案．
【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；
当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；
当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解；
…
当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解；
∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝＝2001000个
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组的解________．
【答案】
【分析】利用消元法解三元一次方程组即可得．
【详解】解：，
由①②得：④，
由①③得：⑤，
由④⑤得：，
解得，
将代入④得：，
解得，
将，代入③得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
【变式2-1】（2022·全国·八年级单元测试）已知且x＋y＝3，则z的值为( )
A．9 B．－3 C．12 D．不确定
【答案】B
【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解.
【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得,
由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3,
故选B.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键.
【变式2-2】（2022·江苏·七年级专题练习）解下列三元一次方程组：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把①代入②消去y，和③组成关于x、z二元一次方程组求解；
（2）① 3×②消去y组成关于x、z二元一次方程组求解．
【详解】解：（1），
把①代入②得11x＋2z＝23④，
③、④组成方程组得，
解得，代入①得y＝ 3，
所以原方程组的解为；
（4）
① 3×②得4x＋6z＝9④，
④、③组成方程组得，
解得，代入①得y＝，
所以原方程组的解为．
【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，代入消元法和加减消元法是常用的方法，加减消元法是比较简洁的方法．
【变式2-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
【答案】A
【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解．
【详解】解：
由②×3，得
6x+9y+3z=102④，
由④-①，得
3x+7y+2z=63⑤，
由⑤-①，得
5y+z=24，
∴a=24，
由③×3，得
3x+6y+9z=78⑥，
由⑥-①，得
4y+8z=39，
∴b=4，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2022·全国·七年级课时练习）方程组的解是.
【答案】6，12，18
【分析】由于x：y：z=1：2：3，则可设x=t，y=2t，z=3t，再把它们代入第二个方程得到关于t的一次方程，求出t即可得到x、y、z的值．
【详解】解：设x=t，则y=2t，z=3t，
所以t+2t+3t=36，
解得t=6，
所以x=6，y=12，z=18．
故答案为6，12，18．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．
【变式3-1】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程组若设 ，则k= ______．
【答案】2
【详解】分析：求出 代入 得出关于k的方程，求出方程的解即可．
详解：设 则x=2k，y=3k，z=4k，
代入5x 2y+z=16得：10k 6k+4k=16，
解得：k=2，
故答案为2.
点睛：考查解三元一次方程组，根据得出x=2k，y=3k，z=4k，是解题的关键.
【变式3-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【答案】；解方程组过程见解析；；；
【分析】根据换元法可以将原方程组化为，①+②+③得出然后分别求出A、B、C的值即可．
【详解】解：令=A，=B，=C，则方程组可变为：，
①+②+③得，
得：，
得：，
得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程组，根据题意得出，是解题的关键.
【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）若x＋y＋z≠0且，则k＝_________．
【答案】3
【详解】∵，
∴，
∴，即.
又∵，
∴.
【题型4 构建三元一次方程组解题】
【例4】（2022·四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据新定义运算得出，求出，即可求解．
【详解】 ，
，
由①×2-②，得，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算和三元一次方程组，熟练掌握有理数的加减混合运算顺序，解三元一次方程组的方法是解题关键．
【变式4-1】（2022·全国·单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是______．
【答案】6
【详解】由题意得,解得．故x+y+z=6．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）在式子中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为__________．
【答案】1, -2，1
【详解】分析：将已知三对值代入已知等式，得到关于a，b，c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值．
详解：将已知三对值分别代入y=ax2+bx+c得：，
将①代入②得：a+b+1=0，即a+b=-1④；
将①代入③得：a-b+1=4，即a-b=3⑤，
④+⑤得：2a=2，即a=1，
④-⑤得：2b=-4，即b=-2，
则a=1，b=-2，c=1．
点睛：此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式4-3】（2022·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是____．
【答案】4
【分析】由新定义的运算，及，，构造方程组，不难得到参数，，之间的关系．又由有一个非零实数，使得对于任意实数，都有，可以得到一个关于的方程，解方程即可求出满足条件的的值．
【详解】解：，
由，，即，
，．
又由对于任意实数恒成立，
，
为非零实数，
，
．
．
．
．
故答案为：4．
【点睛】本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题．
【题型5 运用整体思想求值】
【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)-1，5
(2)-11
【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；
（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．
（1）
，
由①-②可得：x-y=-1，
由（①+②）可得：x+y=5，
故答案为：-1，5；
（2）
依题意得：，
由可得：a+b+c=-11，
即= a+b+c=-11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．
【变式5-1】（2022·山东日照·七年级期末）已知方程组，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将三个方程相加计算即可．
【详解】因为，
将三个方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，
解得=2，
故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
【变式5-2】（2022·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组
【答案】【完成解答】；【迁移运用】
【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；
（2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解．
【详解】解：（1）【完成解答】把①代入②，得，解得，
把代入①，可得，
∴方程组的解为；
（2）【迁移运用】把①代入③，得，解得，
把代入②，得，解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x y z，满足，求z的值．
【答案】（1）；（2）z=2
【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【详解】解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
【题型6 三元一次方程组中的数字问题】
【例6】（2022·浙江·八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，然后根据交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，列出方程组求解即可
【详解】解：设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
∴这个三位数为100a+10b+c，交换后的三位数为100a+10c+b，
∵交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，
∴
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键．
【变式6-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”．
(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值；
(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图．
填空：a=______，b=______，c=______；
d=______，e=______，f=______．
【答案】(1)x=-1，y=1
(2)0，-1，5；5，4，10
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值．
(1)
由题意得
，
解得
．
(2)
设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得
，
整理得
，
解得
．
故答案为：0，-1，5；
设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得
，
整理得
，
解得
．
故答案为：5，4，10．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．
【变式6-2】（2022·重庆巴南·七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记若F（m）能被4整除，则称这样的两位自然数m为“四季数”．例如：15是“四季数”，因为两位自然数15的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为51，同时，而4能被4整除，所以15是“四季数”；74不是“四季数”，因为两位自然数74的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为47，同时，而3不能被4整除，所以74不是“四季数”
（1）判断29、48是否是“四季数”？并说明理由；
（2）已知两位自然数m是“四季数”，m的十位上的数字为a，个位上的数字为c．在m的中间插入一个数b，得到一个三位数n．若n比m的9倍少8，求出所有符合题意的n值
【答案】（1）29 不是“四季数”，见解析；48是“四季数”，见解析；（2）
【分析】（1）根据“四季数”的定义即可计算判断；
（2）先根据“四季数”的定义找到a、c的关系，再根据n比m的9倍少8，得到关于a，b，c的方程故可求解．
【详解】解： （1）29 不是“四季数”，
因为两位自然数29的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为92，，同时7不能被4整除，
所以29不是“四季数”，
48是“四季数”，
因为两位自然数29的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为92，，同时，4能被4整除；
所以48是“四季数”；
（2）依题意可得m=10a+c，m1=10c+a
∴=
∴=4①或=8②
n=100a+10b+c=9(10a+c)-8
化简得5a+5b-4c+4=0③
联立①③解得，
联立②③无符合条件的正整数解，
故．
【点睛】此题主要考查代数式计算及方程组的综合运用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
【变式6-3】（2022·重庆綦江·八年级期末）对于一个三位数,如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于,那么称这个数为“幸福数”．例如：,,是“幸福数”；,,不是“幸福数”．
（1）判断,是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数”的个位数的倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数（例如：若,则）,若也是一个“幸福数”,求满足条件的所有的值．
【答案】（1）是“幸福数”,不是“幸福数”,见解析;（2）满足条件的所有的值为:,
【分析】根据题意可知:（1）要判断一个数是否是“幸福数”,首先要看是否满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于,即可得出答案．（2）若新的三位数是“幸福数”,需要先设设这个“幸福数”,则（,, ,且,,为整数）,根据,,的取值可得出答案．
【详解】解：（1）是“幸福数”,不是“幸福数”
,
是“幸福数”；
,
不是“幸福数”
是“幸福数”,不是“幸福数”．
（2）设这个“幸福数”,则（,, ,且,,为整数）
根据题意得:
解得：
,且为整数,
或
满足条件的所有的值为:,．
【点睛】本题主要考查了实数的加减运算,解三元一次方程组以及学生的运算能力,解题的关键是熟练掌握实数的加减运算法则,三元一次方程组的的解法．
【题型7 三元一次方程组的应用】
【例7】（2022·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，然后根据题意列方程组求出的值即可果．
【详解】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元．
则由题意得
由得
由得
由得
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程组的应用，解答本题的关键是列出方程组以及用加减消元法求出方程组的解．
【变式7-1】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）元．
A．135 B．155 C．185 D．225
【答案】B
【分析】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．
【详解】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22 2 3 1 1 3 2＝10（个），
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，
∴B盒中有多接口优盘（个），蓝牙耳机有（个），迷你音箱有10 5 3＝2（个），
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
由题知：
，
∵①×2 ②得： ，
②×2 ①×3得：，
∴C盒的成本为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查列代数式和代数式的运算，利用A、B盒中的价格关系求出C盒的价格是解题的关键．
【变式7-2】（2022·重庆八中八年级阶段练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条．
【答案】2
【分析】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意列出方程，可得，由乙公司需加工的产品总量比甲公司少，可得，得出，结合，求得，根据是正整数，即可求解．
【详解】设甲租用型生产线分别为条，则乙租用型生产线分别为条，每条生产线每天的产量分别为，则甲租用的生产线每天的产量为，乙租用的生产线每天的产量为，根据题意得：
，是正整数，
，
乙公司需加工的产品总量比甲公司少，
，
即.
，
，
，
是正整数，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2022·全国·八年级课时练习）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____．
【答案】18.75%
【分析】设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x， b + y ，c+z，由一个甲礼盒售价360元，可列3( a +x)+2( b + y )+2( c + z )=360，由一个甲礼盒的利润率为20%，得 ，整理得3c+2y+2z=300，由个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，可得2x+3y+4z+2+2y+z＝610，得：x=40，整理得4b+4c=60，再将一个丁礼盒的润率表示为，整理可得答案．
【详解】解：设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x， b + y ，c+z，
∵甲礼盒装有 A 茶具3个， B 茶具2个， C 茶具2个，一个甲礼盒售价360元，
∴3( a +x)+2(b + y )+2( c + z )=360，
即3a+2b+2c+3x+2y+2z=360①，
∵一个甲礼盒的利润率为20%，
∴ ，
即3a+2b+2c=0.6x+0.4y+0.4z②，将②代入①可得：
0.6x+0.4y+0.4z+3x+2y+2z=360，
即3x+2y+2z=300③，
∵一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，乙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具3个， C 茶具4个，丙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具2个， C 茶具1个，
∴2x+3y+4z+2x+2y+z＝610，即4x+5y+5z=610④，
由③×5-④×2可得：
5(3x+2y+2z)-2(4x+5y+5z)=5×300-2×610，解得：x=40，
∵一个 A 茶具的利润率为25%，
∴ =25%
∴ a =10，
将 a =10和x＝40代入②可得：3×10+2b+2c=0.6×40+0.4y+0.4z，
即4b+4c=0.8y+0.8z-12⑤，
将 x=40代入③可得：
3×40+2y+2z=300，即 y +z=90⑥，
将⑥代入⑤可得：
4b+4c=0.8y+0.8z-12=0.8×90-12=60，
即4b+4c=60⑦，
∴一个丁礼盒的润率为：
=，
故答案为：18.75%．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题干中的等量关系列出算式，化简，将所设未知量转化为已知量．
1专题8.3 三元一次方程组【七大题型】
【人教版】
【题型1 三元一次方程（组）的解】 1
【题型2 用消元法解三元一次方程组】 2
【题型3 用换元法解三元一次方程组】 2
【题型4 构建三元一次方程组解题】 3
【题型5 运用整体思想求值】 3
【题型6 三元一次方程组中的数字问题】 4
【题型7 三元一次方程组的应用】 5
【知识点1 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程（组）的解】
【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程的正整数解是________．
【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（ ）
A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组的解________．
【变式2-1】（2022·全国·八年级单元测试）已知且x＋y＝3，则z的值为( )
A．9 B．－3 C．12 D．不确定
【变式2-2】（2022·江苏·七年级专题练习）解下列三元一次方程组：
（1）；（2）．
【变式2-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2022·全国·七年级课时练习）方程组的解是.
【变式3-1】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程组若设 ，则k= ______．
【变式3-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程：
给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______；
解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______．
【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）若x＋y＋z≠0且，则k＝_________．
【题型4 构建三元一次方程组解题】
【例4】（2022·四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b，c均为常数，且已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式4-1】（2022·全国·单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是______．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）在式子中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为__________．
【变式4-3】（2022·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是____．
【题型5 运用整体思想求值】
【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．
(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【变式5-1】（2022·山东日照·七年级期末）已知方程组，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5-2】（2022·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组
【变式5-3】（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x y z，满足，求z的值．
【题型6 三元一次方程组中的数字问题】
【例6】（2022·浙江·八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式6-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”．
(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值；
(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图．
填空：a=______，b=______，c=______；
d=______，e=______，f=______．
【变式6-2】（2022·重庆巴南·七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记若F（m）能被4整除，则称这样的两位自然数m为“四季数”．例如：15是“四季数”，因为两位自然数15的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为51，同时，而4能被4整除，所以15是“四季数”；74不是“四季数”，因为两位自然数74的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为47，同时，而3不能被4整除，所以74不是“四季数”
（1）判断29、48是否是“四季数”？并说明理由；
（2）已知两位自然数m是“四季数”，m的十位上的数字为a，个位上的数字为c．在m的中间插入一个数b，得到一个三位数n．若n比m的9倍少8，求出所有符合题意的n值
【变式6-3】（2022·重庆綦江·八年级期末）对于一个三位数,如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于,那么称这个数为“幸福数”．例如：,,是“幸福数”；,,不是“幸福数”．
（1）判断,是否为“幸福数”？并说明理由；
（2）若将一个“幸福数”的个位数的倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数（例如：若,则）,若也是一个“幸福数”,求满足条件的所有的值．
【题型7 三元一次方程组的应用】
【例7】（2022·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式7-1】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）元．
A．135 B．155 C．185 D．225
【变式7-2】（2022·重庆八中八年级阶段练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少，则乙公司B型生产线有________条．
【变式7-3】（2022·全国·八年级课时练习）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____．
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