第8章 二元一次方程组章末题型过关卷
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考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·山东日照·七年级统考期末）若等式，是关于，的二元一次方程，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为( ）
A．-2 B．2 C．3 D．- 3
3．（3分）（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）若 是方程的两个解，则的值为（ ）
A．0 B．-2 C．-12 D．12
4．（3分）（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．，2 C．8， D．5，4
5．（3分）（2022秋·江苏南通·七年级校考期中）已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．13 B．9 C． D．
6．（3分）（2022春·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022秋·重庆长寿·七年级统考期末）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．不能确定值
8．（3分）（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）二元一次方程2x+3y＝18的正整数解有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组
9．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022秋·浙江舟山·七年级统考期末）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·广东湛江·七年级统考期末）把方程写成用含x的式子表示y的形式______．
12．（3分）（2022秋·湖北鄂州·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组，其中x，y的值互为相反数，则a的值为______．
13．（3分）（2022秋·山东临沂·七年级校考期末）对，定义一种新运算“”，规定：（其中 ， 均为非零常数），若 ，．则 的值是____．
14．（3分）（2022秋·河北张家口·七年级统考期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为_____________．
15．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
16．（3分）（2022秋·福建龙岩·七年级统考期末）甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球__________个.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022秋·广东惠州·七年级惠州市第九中学校考期末）解方程组：
(1)；
(2)．
18．（6分）（2022秋·广西玉林·七年级统考期末）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，求代数式2b﹣4a的值．
19．（8分）（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考期末）有关于，的方程．
（1）当和时，所得方程组成的方程组是，它的解是______；
（2）当和时，所得方程组成的方程组是______它的解是______；
（3）猜想：无论取何值，关于，的方程一定有一个解是______．
（4）猜想：无论取何值，关于，的方程一定有一个解是______．
20．（8分）（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请问A、B两种型号的汽车各购买多少辆？
21．（8分）（2022春·全国·八年级期末）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
22．（8分）（2022秋·北京怀柔·七年级校考期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
23．（8分）（2022春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）若在意一个三位数，满足各数位上的数字均不为，百位上的数字与十位上的数字的倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的倍之和，则称这个三位数为“双增数”．对于一个“双增数”，规定：，，．
例如，，因为，故是一个“双增数”，，，则．
(1)请判断，是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出的值；
(2)若三位数为“双增数”，的百位数字为，个位数字为（其中，是正整数，且），当各数位上的数字之和与的和能被整除时，求所有满足条件的“双增数”的值．
1第8章 二元一次方程组章末题型过关卷
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·山东日照·七年级统考期末）若等式，是关于，的二元一次方程，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义，得|m|=1，m-1≠0，计算判断即可．
【详解】∵等式，是关于，的二元一次方程，
∴|m|=1，m-1≠0，
解得m=-1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么代数式的值为( ）
A．-2 B．2 C．3 D．- 3
【答案】B
【分析】把方程组的解代入二元一次方程组得到关于a、b的方程组，两式相减得结论．
【详解】解：把代入得，
②-①，得．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关键．
3．（3分）（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）若 是方程的两个解，则的值为（ ）
A．0 B．-2 C．-12 D．12
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义，得m-2n=6，-2m+n=6，故m=-6，n=-6，进而求得m-n．
【详解】解：∵，是方程mx+ny=6的两个解，
∴m-2n=6，-2m+n=6．
∴m=-6，n=-6．
∴m-n=-6-（-6）=0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方程的解的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键．
4．（3分）（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．，2 C．8， D．5，4
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义，把代入，求得的值，进而求出●的值，即可得到答案．
【详解】解：把代入，可得 ，
解得 ，
把，代入可得 ，
则“●”“★”表示的数分别为8，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键．
5．（3分）（2022秋·江苏南通·七年级校考期中）已知关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A．13 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】先解方程组求出该方程组的解，然后把这个解分别代入与即可求出a、b的值，进一步即可求出答案．
【详解】解方程组，
得，
把代入，
得，
解得：a=2，
把代入，
得，
解得：b=﹣11，
∴a－b=2－（﹣11）=13．
故选：A．
【点睛】本题考查了同解方程组的知识，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
6．（3分）（2022春·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：原方程可整理得：
m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，
根据题意得：
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）（2022秋·重庆长寿·七年级统考期末）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．不能确定值
【答案】A
【分析】方程①乘以3得到方程③，方程②乘以2得到方程④，③-④即可得答案．
【详解】
①×3得：③，
②×2得：④，
③-④得：=-3，
故选：A．
【点睛】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键．
8．（3分）（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）二元一次方程2x+3y＝18的正整数解有（ ）
A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组
【答案】A
【分析】由方程变形得x＝9y，根据x、y都是正整数，且y是2的倍数确定y的值，由此得到x的值，即得方程的正整数解的组数．
【详解】由2x+3y＝18，得x＝9y．
∵x，y都是正整数，
∴y＝2，4；
相应的x＝9，3；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的正整数解，解决问题的关键是熟练掌握把二元一次方程变形为用一个未知数的代数式表示为另一个未知数，根据方程的解的要求赋值计算．
9．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题中的关键性的信息是：若每组人，则余下人；若每组人，则有一组少人．据此即可得出关于，的二元一次方程组．
【详解】解：根据若每组人，则余下人，得方程；
根据若每组人，则有一组少人，得方程．
可列方程组为．
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）（2022秋·浙江舟山·七年级统考期末）若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．
【详解】解：将变形为,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，
因为方程组的解是，
所以，解得：，
所以方程组的解是，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·广东湛江·七年级统考期末）把方程写成用含x的式子表示y的形式______．
【答案】##
【分析】对二元一次方程通过移项变形可得y＝3x﹣1．
【详解】解：∵2x﹣y＝5，
∴﹣y＝1﹣3x，
∴y＝3x﹣1，
故答案为：y＝3x﹣1．
【点睛】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键．
12．（3分）（2022秋·湖北鄂州·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组，其中x，y的值互为相反数，则a的值为______．
【答案】1
【分析】先根据二元一次方程组的解法求出x和y，再根据x，y的值互为相反数列出关于a的方程求解．
【详解】解：在中，
由②-①得，
解得，
把代入②得．
∵x，y的值互为相反数，
∴，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解，求出方程组的解，利用x与y互为相反数列出关于a的方程是解答关键．
13．（3分）（2022秋·山东临沂·七年级校考期末）对，定义一种新运算“”，规定：（其中 ， 均为非零常数），若 ，．则 的值是____．
【答案】9
【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于m、n的方程组，则可求得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：，，
解得：
则 ，
，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）（2022秋·河北张家口·七年级统考期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为_____________．
【答案】9
【分析】将 代入方程求，将代入方程求，从而求出代数式的值．
【详解】解：解：将代入方程，得：，
，
将代入方程，得：，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方程组的解和解一元一次方程．解题的关键是将所求出的解代准确代入对应的方程中．
15．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
【答案】8．
【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．
【详解】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，
，
②﹣①，得9a＝3c，
∴a＝c，
把a＝c代入②，得b＝c，
把a＝c，b＝c，代入③得，
3c+cx﹣5c=0，
∴cx＝8c，
∵c≠0，
∴x＝8．
故答案为8．
【点睛】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的方程组并求解．
16．（3分）（2022秋·福建龙岩·七年级统考期末）甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球__________个.
【答案】110
【详解】设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2，
当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2x+32，乙总共取球的个数为5y+4（17-y）=y+68，
当k=2时，甲总共取球的个数为4x+（16-x）=3x+16，乙总共取球的个数为5y+3（17-y）=2y+51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：
①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；
②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；
④3x+16=2y+51，即 ，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，可得x=13，y=2或x=15，y=5；所以当x=13，y=2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110个；当x=15，y=5，球的个数为3×15+16+2×5+51=122个，所以箱子中至少有球110个.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的整数解，解题时根据实际情况先确定k的值，然后表示出甲取得球的数目和乙取得球的数目，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等列出二元一次方程，求整数解即可，注意分4种情况.
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022秋·广东惠州·七年级惠州市第九中学校考期末）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可；
（2）先消去未知数z，得到，，再利用加减消元法解方程组即可．
（1）
解：∵，
整理得： ，
①+②得：
②-①得：
∴方程组的解为：
（2）
①+②得：
①+③得：
得：
把代入⑤得：
把代入③得：
∴方程组的解为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组，三元一次方程组的解法，掌握“方程组的解法”是解本题的关键．
18．（6分）（2022秋·广西玉林·七年级统考期末）已知关于x，y的二元一次方程组．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，求代数式2b﹣4a的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）结合（1）把x＝2，y＝﹣1代入方程ax+by＝2，可得2a﹣b＝2，然后两边乘以﹣2即可求代数式2b﹣4a的值．
【详解】解：（1），
②×2﹣①得，
7y＝﹣7，
y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②，得
x＝2，
∴原方程组的解为．
（2）∵上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，
∴把x＝2，y＝﹣1代入，得
2a﹣b＝2，
∴﹣4a+2b＝﹣4，
则代数式2b﹣4a的值为﹣4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
19．（8分）（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考期末）有关于，的方程．
（1）当和时，所得方程组成的方程组是，它的解是______；
（2）当和时，所得方程组成的方程组是______它的解是______；
（3）猜想：无论取何值，关于，的方程一定有一个解是______．
（4）猜想：无论取何值，关于，的方程一定有一个解是______．
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）．
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）将和分别代入方程，得打方程组，再利用加减消元法进行求解即可；
（3）将含有k的项合并，得到，当x=1时，一定有y=1；
（4）同（3），将含有k的项合并，得到，当x=3时，一定有y=4.
【详解】有关于，的方程．
（1）当和时，所得方程组成的方程组是，它的解是；
（2）当和时，所得方程组成的方程组是，它的解是；
（3），变形整理得，
当x=1时，y=1，
则方程一定有一个解是；
（4），变形整理得，
当x=3时，y=4，
则方程一定有一个解是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程（组），解此题的关键在于熟练掌握加减消元法或代入消元法.
20．（8分）（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请问A、B两种型号的汽车各购买多少辆？
【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
(2)A种型号的汽车购买2辆，B种型号的汽车购买5辆；
【分析】（1）根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；
（1）
解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
由题意可得
，
解得，
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
（2）
解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，,
由题意可得25m+10n=100，且m＞0，n＞0，
∴，
∴A种型号的汽车购买2辆，B种型号的汽车购买5辆；
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
21．（8分）（2022春·全国·八年级期末）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
22．（8分）（2022秋·北京怀柔·七年级校考期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
(1)填空：将写成矩阵形式为：；
(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵；
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．
【详解】（1）解：整理方程得，，
因此矩阵形式为：；
（2）根据矩阵形式得到方程组为： ，
将代入上述方程得，，
解得：．
【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．
23．（8分）（2022春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）若在意一个三位数，满足各数位上的数字均不为，百位上的数字与十位上的数字的倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的倍之和，则称这个三位数为“双增数”．对于一个“双增数”，规定：，，．
例如，，因为，故是一个“双增数”，，，则．
(1)请判断，是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出的值；
(2)若三位数为“双增数”，的百位数字为，个位数字为（其中，是正整数，且），当各数位上的数字之和与的和能被整除时，求所有满足条件的“双增数”的值．
【答案】(1)不是“双增数”；是“双增数”，；理由见解析
(2)，
【分析】（1）根据“双增数”的概念判断即可；
（2）根据条件，建立关于，的方程求解．
【详解】（1）解：不是“双增数”，是“双增数”，理由如下：
∵，，
∴，
∴不是“双增数”；
∵，，
∴，
∴是“双增数”，
∴，，
∴．
（2）设的十位数字是，
∵是“双增数”，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
∴各数位上的数字之和与的和：
，
∵各数位上的数字之和与的和能被整除，且，
∴当，符合题意，此时，
当，符合题意，此时．
∴所有满足条件的“双增数”的值为，．
【点睛】本题考查用新定义解题，一次不定方程．理解新定义是求解本题的关键．
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