专题9.2 一元一次不等式【七大题型】
【人教版】
【题型1 一元一次不等式的概念】 1
【题型2 一元一次不等式的解法】 3
【题型3 一元一次不等式的整数解问题】 6
【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】 8
【题型5 一元一次不等式的最值问题】 11
【题型6 含绝对值的一元一次不等式】 13
【题型7 方程与不等式的综合求参数范围】 15
【知识点 一元一次不等式】
（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.
（2）解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
【题型1 一元一次不等式的概念】
【例1】（2022·安徽·灵璧县黄湾中学八年级阶段练习）下列不等式中是一元一次不等式的是( )
①2x-1＞1；②3+x＜0；③x≤2.4；④＜5；⑤1＞-2；⑥-1＜0.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：（1）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；
（2）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；
（3）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；
(4) 是分式，故此不等式不是一元一次不等式，故本小题错误；
(5) 此不等式不含未知数,不是一元一次不等式，故本小题错误；
(6)) 符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；
故选:C.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式，熟知含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式1-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）请写出一个解集是x＜1的一元一次不等式：______．
【答案】x-1＜0（答案不唯一）
【分析】根据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．
【详解】移项，得
x-1＜0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．
【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）当时 ______时，不等式 是一元一次不等式.
【答案】-2
【详解】根据用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，可由系数不为0，得k-2≠0，解得k≠2，由未知数的次数为1，得|k|-1=1，解得k=±2，因此可得k=-2.
故答案为-2.
【变式1-3】（2022·山东·聊城市茌平区振兴街道中学八年级阶段练习）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
【答案】m=0， n≠3．
【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值.
【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，
∴二次项系数为零，一次项系数不为零，
又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为:
mx2+(n-3)x≥0
∴解得：m=0，n﹣3≠0．
故m=0，n≠3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键.
【题型2 一元一次不等式的解法】
【例2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【答案】
【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
【变式2-1】（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）不等式5x-1≤2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式移项合并得：3x≤6，
解得：x≤2，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-2】（2022·山东淄博·七年级期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（1）
解：，
5x-2x<-3+9，
3x<6，
x<2；
解集在数轴上表示为：
（2）
解：，
4x-(6x-1)≤6，
4x-6x+1≤6，
4x-6x≤6-1，
-2x≤5，
．
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
【变式2-3】（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式-(3x-2)≥解集并在数轴上表示解集的解答过程：
第一步：(4x-1)-(3x-2)≥；
第二步：×4x-×1 ≥；
第三步：16x-4-18x+12≥5；
第四步：-2x≥-3；
第五步： ．
(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；
(2)第二步变形的依据是 ；
(3)第三步变形的目的是 ．
【答案】(1)见解析
(2)乘法分配律
(3)去分母
【分析】（1）根据不等式的解法解答；
（2）根据乘法分配律解答；
（3）根据不等式的性质求解即可．
（1）
第一步：(4x-1)-(3x-2)≥；
第二步：×4x-×1-×3x+×2≥；
第三步：16x-4-18x+12≥5；
第四步：-2x≥-3；
第五步：x．
在数轴上表示解集：
（2）
第二步变形的依据是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（3）
第三步变形的目的是去分母，
故答案为：去分母．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时不等号要改变．
【题型3 一元一次不等式的整数解问题】
【例3】（2022·贵州黔西·七年级期末）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的最小整数解为12，
把代入方程中，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式3-1】（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）不等式的非负整数解是（ ）
A．0 B．1 C．0和1 D．1和2
【答案】C
【分析】求出不等式的解集，，然后找出整数解，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴不等式的非负整数解是：0和1．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决的关键是正确解出不等式的解集，然后根据限制条件进行解答．
【变式3-2】（2022·湖南衡阳·七年级期末）满足不等式的正整数有___________、___________．
【答案】 1 2
【分析】根据一元一次不等式的解法求出的范围，进而求出满足条件的正整数即可．
【详解】解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
取正整数，
或，
故答案为：、．
【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【变式3-3】（2022·山东枣庄·八年级期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是______．
【答案】1，2
【分析】根据题中的新定义运算列出不等式并求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴该不等式的正整数解为：1，2．
故答案为：1，2．
【点睛】本题主要考查了新定义运算以及解一元一次不等式，熟练掌握新定义运算和解一元一次不等式是解答本题的关键．
【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】
【例4】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知关于x的不等式．
(1)当a＝2022时，求此不等式解集．
(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．
【答案】(1)
(2)当时，原不等式有解，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可；
（2）同（1）将原不等式化为，据此求解即可．
（1）
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：由题意得原不等式可以化成，
∴当，即时，原不等式有解，
当，即时，原不等式的解集为；
当，即时，原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
【变式4-1】（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集为，再根据数轴可得，从而可得，解方程即可得．
【详解】解：解关于的不等式得：，
由数轴可知，这个不等式的解集为，
则，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．
（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．
（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．
【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3，
∴，
故答案为：.
（2）∵的解集中最小整数为-2，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．
【变式4-3】（2022·湖北随州·七年级期末）已知关于x的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）若该不等式有解，求m应满足的条件，并求出不等式的解集
【答案】（1）；（2）当时，原不等式有解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
【分析】（1）当时，通过求解不等式，即可得到答案；
（2）对不等式进行去分母、移项、合并同类项后，根据一元一次不等式的性质，结合m的不同取值范围，即可完成求解．
【详解】（1）当时，
∴；
（2）去分母得：
∴
∴当时，原不等式有解
当时，即，原不等式的解集为；
当时，即，原不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的性质，从而完成求解．
【题型5 一元一次不等式的最值问题】
【例5】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的最小整数是______．
【答案】3
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出k的范围，确定出k的最小整数解即可．
【详解】解：，
①+②，得：3x+3y=3k－3，
则x+y=k－1，
∵x+y＞1，
∴k－1＞1，
解得：k＞2，
则满足条件的k的最小整数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-1】（2022·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）八年级期中）一元一次不等式的最大整数解为_____________；
【答案】-1
【分析】先化简不等式，再求解即可．
【详解】解：，
，
则最大整数解为：-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解
【变式5-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为________．
【答案】
【分析】把当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出的范围即可．
【详解】解：方程，
解得：，
∵关于的方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．
【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值为n，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】解不等式2x-1≤13得到x的范围，就可以求出m的值；同理可以求出n的值，这样所求的不等式就是已知的，就可以解不等式．
【详解】解：解不等式，
解得，
则．
解不等式，
解得，
则．
∴不等式为：，
解得：．
故答案为：.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等式的解是本题的关键．
【题型6 含绝对值的一元一次不等式】
【例6】（2022·江苏·七年级专题练习）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围．
【详解】解：由绝对值的几何意义可得，
把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，
∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，
的最小值为15，
∵，
∴当关于的不等式有解时，
a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值．
【变式6-1】（2022·山东淄博·七年级期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．
【答案】a＞3．
【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围．
【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a，
解得：a＞3；
当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立；
当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立，
综上，实数a的范围为a＞3．
故答案为：a＞3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键．
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）不等式的解集是__________．
【答案】
【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2，
4>2
∴x＜-1，
-1≤x≤3时，
-x+3-x-1＞2，
x<0；
x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.
故答案是:x<0
【点睛】考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础．
【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）或；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当时，则，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，或；
（2）
当，即时，，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
【题型7 方程与不等式的综合求参数范围】
【例7】（2022·吉林长春·七年级期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的范围为_____．
【答案】a＞
【分析】先解出关于的二元一次方程组的解，然后根据列出不等式并求解即可．
【详解】解：解关于的二元一次方程组得
∵
∴，解得：a＞．
故答案为a＞．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式是解答本题的关键．
【变式7-1】（2022·海南鑫源高级中学七年级期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．
【答案】0
【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．
【详解】原方程可化为：，
即7x=7，
解得：x=1，
把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，
解不等式得：，
所以整数a的最小值为0．
【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．
【变式7-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）已知方程组的满足，求m的取值范围．
【答案】
【分析】先求得方程组的解，后根据建立不等式求解即可．
【详解】因为
②×2-①，得3y=3+m，
解得
把代入②，得，
所以方程组的解为，·
因为，
所以≥，
解得．
【点睛】本题考查了方程组的解法，不等式的解法，熟练掌握不等式的解法、方程组的解法是解题的关键．
【变式7-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)当取（1）中最大负整数值时，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据得到关于m的不等式，解不等式即可；
（2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案．
（1）
解：
用②－①得：，解得，
把代入到②得：，解得，
∵，
∴，
解得；
（2）
解：由（1）得，
∵m取最大负整数，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键．
1专题9.2 一元一次不等式【七大题型】
【人教版】
【题型1 一元一次不等式的概念】 1
【题型2 一元一次不等式的解法】 1
【题型3 一元一次不等式的整数解问题】 2
【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】 3
【题型5 一元一次不等式的最值问题】 3
【题型6 含绝对值的一元一次不等式】 3
【题型7 方程与不等式的综合求参数范围】 4
【知识点 一元一次不等式】
（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.
（2）解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
【题型1 一元一次不等式的概念】
【例1】（2022·安徽·灵璧县黄湾中学八年级阶段练习）下列不等式中是一元一次不等式的是( )
①2x-1＞1；②3+x＜0；③x≤2.4；④＜5；⑤1＞-2；⑥-1＜0.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）请写出一个解集是x＜1的一元一次不等式：______．
【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）当时 ______时，不等式 是一元一次不等式.
【变式1-3】（2022·山东·聊城市茌平区振兴街道中学八年级阶段练习）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．
【题型2 一元一次不等式的解法】
【例2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【变式2-1】（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）不等式5x-1≤2x+5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022·山东淄博·七年级期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
【变式2-3】（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式-(3x-2)≥解集并在数轴上表示解集的解答过程：
第一步：(4x-1)-(3x-2)≥；
第二步：×4x-×1 ≥；
第三步：16x-4-18x+12≥5；
第四步：-2x≥-3；
第五步： ．
(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；
(2)第二步变形的依据是 ；
(3)第三步变形的目的是 ．
【题型3 一元一次不等式的整数解问题】
【例3】（2022·贵州黔西·七年级期末）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式3-1】（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）不等式的非负整数解是（ ）
A．0 B．1 C．0和1 D．1和2
【变式3-2】（2022·湖南衡阳·七年级期末）满足不等式的正整数有___________、___________．
【变式3-3】（2022·山东枣庄·八年级期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是______．
【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】
【例4】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知关于x的不等式．
(1)当a＝2022时，求此不等式解集．
(2)a为何值，该不等式有解，并求出其解集．
【变式4-1】（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．
（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．
【变式4-3】（2022·湖北随州·七年级期末）已知关于x的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）若该不等式有解，求m应满足的条件，并求出不等式的解集
【题型5 一元一次不等式的最值问题】
【例5】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则满足条件的的最小整数是______．
【变式5-1】（2022·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）八年级期中）一元一次不等式的最大整数解为_____________；
【变式5-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）已知关于的方程的解是非负数，则的最小值为________．
【题型6 含绝对值的一元一次不等式】
【例6】（2022·江苏·七年级专题练习）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.
【变式6-1】（2022·山东淄博·七年级期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．
【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）不等式的解集是__________．
【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
【题型7 方程与不等式的综合求参数范围】
【例7】（2022·吉林长春·七年级期中）关于的二元一次方程组的解满足，则的范围为_____．
【变式7-1】（2022·海南鑫源高级中学七年级期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．
【变式7-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）已知方程组的满足，求m的取值范围．
【变式7-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于，的二元一次方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)当取（1）中最大负整数值时，求的值．
1
